Quadrico - Quadric

In matematica, una superficie quadrica o quadrica ( ipersuperficie quadrica in dimensioni superiori ), è una generalizzazione di sezioni coniche ( ellissi , parabole e iperboli ). È un'ipersuperficie (di dimensione D ) in uno spazio ( D + 1) -dimensionale, ed è definita come l' insieme zero di un polinomio irriducibile di grado due in variabili D + 1 ( D = 1 nel caso di sezioni coniche ). Quando il polinomio che lo definisce non è assolutamente irriducibile , l'insieme zero non è generalmente considerato una quadrica, sebbene sia spesso chiamato quadrica degenere o quadrica riducibile .

Nelle coordinate x 1 , x 2 , ..., x D +1 , la quadrica generale è quindi definita dall'equazione algebrica

che può essere scritto in modo compatto in notazione vettoriale e matriciale come:

dove x = ( x 1 , x 2 , ..., x D +1 ) è un vettore riga , x T è la trasposta di x (un vettore colonna), Q è a ( D + 1) × ( D + 1 ) matrice e P è un vettore riga ( D + 1) -dimensionale e R una costante scalare. I valori Q , P e R sono spesso considerati sopra numeri reali o numeri complessi , ma una quadrica può essere definita su qualsiasi campo .

Una quadrica è una varietà algebrica affine o, se è riducibile, un insieme algebrico affine . Le quadriche possono essere definite anche negli spazi proiettivi ; vedi § Geometria proiettiva , sotto.

piano euclideo

Poiché la dimensione di un piano euclideo è due, le quadriche in un piano euclideo hanno dimensione uno e sono quindi curve piane . Sono chiamate sezioni coniche , o coniche .

Cerchio ( e  = 0), ellisse ( e  = 0,5), parabola ( e  = 1) e iperbole ( e  = 2) con fuoco F fisso e direttrice.

spazio euclideo

Nello spazio euclideo tridimensionale , le quadriche hanno dimensione D  = 2 e sono note come superfici quadriche . Sono classificati e nominati dalle loro orbite sotto trasformazioni affini . Più precisamente, se una trasformazione affine mappa una quadrica su un'altra, appartengono alla stessa classe e condividono lo stesso nome e molte proprietà.

Il teorema dell'asse principale mostra che per ogni quadrica (eventualmente riducibile), un'opportuna trasformazione euclidea o un cambio di coordinate cartesiane permette di porre l' equazione quadratica della quadrica in una delle seguenti forme normali:

dove sono 1, -1 o 0, tranne che assume solo il valore 0 o 1.

Ognuna di queste 17 forme normali corrisponde a una singola orbita sotto trasformazioni affini. In tre casi non ci sono punti reali: ( immaginario ellissoide ), ( immaginario cilindro ellittico ), e (coppia di piani paralleli complessi coniugati , quadrica riducibile). In un caso, il cono immaginario , c'è un solo punto ( ). Se uno ha una retta (infatti due piani complessi coniugati che si intersecano). Per uno ha due piani che si intersecano (quadrica riducibile). Per uno ha un doppio piano. Per uno ha due piani paralleli (quadrica riducibile).

Quindi, tra le 17 forme normali, ci sono nove quadriche vere: un cono, tre cilindri (spesso chiamati quadriche degenerate) e cinque quadriche non degeneri ( ellissoide , paraboloide e iperboloide ), che sono dettagliate nelle tabelle seguenti. Le otto quadriche rimanenti sono l'ellissoide immaginario (nessun punto reale), il cilindro immaginario (nessun punto reale), il cono immaginario (un solo punto reale) e le quadriche riducibili, che sono scomposte in due piani; ci sono cinque di queste quadriche scomposte, a seconda che i piani siano distinti o no, paralleli o no, coniugati reali o complessi.

Superfici quadriche reali non degeneri
    Ellissoide Ellissoide Quadric.png
    Paraboloide ellittico Paraboloide Quadric.Png
    Paraboloide iperbolico Paraboloide iperbolico Quadric.png
   Iperboloide di un foglio
      o
   Iperboloide iperbolico
Iperboloide di un foglio Quadric.png
   Iperboloide di due fogli
      o Iperboloide
   ellittico
Iperboloide di due fogli Quadric.png
Superfici quadriche reali degenerate
    Cono ellittico
      o
   quadrica conica
Cono Ellittico Quadric.Png
    Cilindro ellittico Cilindro ellittico Quadric.png
    Cilindro iperbolico Cilindro iperbolico Quadric.png
    Cilindro parabolico Cilindro Parabolico Quadric.png

Quando due o più dei parametri dell'equazione canonica sono uguali, si ottiene una quadrica di rivoluzione , che rimane invariante quando ruotata attorno ad un asse (o infiniti assi, nel caso della sfera).

Quadriche di rivoluzione
    Oblati e prolate sferoidi (casi particolari di ellissoide) Sferoide Oblato Quadric.pngProlate Sferoide Quadric.png
    Sfera (caso speciale di sferoide) Sfera Quadric.png
    Paraboloide circolare (caso speciale di paraboloide ellittico) Paraboloide circolare Quadric.png
    Iperboloide di rivoluzione di un foglio (caso speciale di iperboloide di un foglio) Iperboloide circolare di un foglio Quadric.png
    Iperboloide di rivoluzione di due fogli (caso speciale di iperboloide di due fogli) Iperboloide circolare di due fogli Quadric.png
    Cono circolare (caso speciale di cono ellittico) Cono circolare Quadric.png
    Cilindro circolare (caso speciale di cilindro ellittico) Cilindro circolare Quadric.png

Definizione e proprietà di base

Una quadrica affine è l'insieme degli zeri di un polinomio di grado due. Quando non specificato diversamente, si suppone che il polinomio abbia coefficienti reali e gli zeri sono punti in uno spazio euclideo . Tuttavia, la maggior parte delle proprietà rimane vera quando i coefficienti appartengono a qualsiasi campo e i punti appartengono a uno spazio affine . Come di solito in geometria algebrica , è spesso utile considerare punti su un campo algebricamente chiuso contenente i coefficienti polinomiali, generalmente i numeri complessi , quando i coefficienti sono reali.

Molte proprietà diventa più facile allo stato (e per dimostrare) estendendo la quadrica allo spazio proiettivo dal completamento proiettiva , consistente nell'aggiunta punti all'infinito . Tecnicamente, se

è un polinomio di grado due che definisce una quadrica affine, allora il suo completamento proiettivo è definito omogeneizzando p in

(questo è un polinomio, perché il grado di p è due). I punti del completamento proiettivo sono i punti dello spazio proiettivo le cui coordinate proiettive sono zeri di P .

Quindi, una quadrica proiettiva è l'insieme degli zeri in uno spazio proiettivo di un polinomio omogeneo di grado due.

Poiché il suddetto processo di omogeneizzazione può essere annullato impostando X 0 = 1 :

è spesso utile non distinguere una quadrica affine dal suo completamento proiettivo, e parlare dell'equazione affine o dell'equazione proiettiva di una quadrica. Tuttavia, questa non è una perfetta equivalenza; è generalmente il caso che includeranno punti con , che non sono anche soluzioni di perché questi punti nello spazio proiettivo corrispondono a punti "all'infinito" nello spazio affine.

Equazione

Una quadrica in uno spazio affine di dimensione n è l'insieme degli zeri di un polinomio di grado 2. Cioè è l'insieme dei punti le cui coordinate soddisfano un'equazione

dove il polinomio p ha la forma

per una matrice con e che va da 0 a . Quando la caratteristica del campo dei coefficienti non è due, generalmente si assume; equivalentemente . Quando la caratteristica del campo dei coefficienti è due, generalmente si assume quando ; equivalentemente è triangolare superiore .

L'equazione può essere accorciata, come l'equazione della matrice

con

L'equazione del completamento proiettivo è quasi identica:

con

Queste equazioni definiscono una quadrica come un'ipersuperficie algebrica di dimensione n – 1 e grado due in uno spazio di dimensione n .

La quadrica si dice non degenere se la matrice è invertibile .

Forma normale delle quadriche proiettive

Nello spazio proiettivo reale , per la legge di inerzia di Sylvester , una forma quadratica non singolare P ( X ) può essere messa nella forma normale

mediante un'opportuna trasformazione proiettiva (le forme normali per le quadriche singolari possono avere zeri oltre che ±1 come coefficienti). Per le superfici bidimensionali (dimensione D  = 2) nello spazio tridimensionale, ci sono esattamente tre casi non degeneri:

Il primo caso è l'insieme vuoto.

Il secondo caso genera l'ellissoide, il paraboloide ellittico o l'iperboloide di due fogli, a seconda che il piano scelto all'infinito tagli la quadrica rispettivamente nell'insieme vuoto, in un punto o in una conica non degenere. Questi hanno tutti una curvatura gaussiana positiva .

Il terzo caso genera il paraboloide iperbolico o l'iperboloide di un foglio, a seconda che il piano all'infinito lo tagli rispettivamente in due rette o in una conica non degenere. Queste sono superfici doppiamente rigate di curvatura gaussiana negativa.

La forma degenerata

genera il cilindro ellittico, il cilindro parabolico, il cilindro iperbolico o il cono, a seconda che il piano all'infinito lo tagli rispettivamente in un punto, una retta, due rette o una conica non degenere. Queste sono superfici rigate singolarmente di curvatura gaussiana zero.

Vediamo che le trasformazioni proiettive non mescolano curvature gaussiane di segno diverso. Questo è vero per le superfici generali.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri diventano indistinguibili l'una dall'altra.

Soluzioni intere e razionali

Ogni soluzione di con un vettore a componenti razionali produce un vettore a componenti intere che soddisfa ; set dove il fattore moltiplicatore è il più piccolo intero positivo che cancella tutti i denominatori delle componenti di .

Inoltre, quando la matrice sottostante è invertibile, una qualsiasi soluzione di for con componenti razionali può essere utilizzata per trovare qualsiasi altra soluzione con componenti razionali, come segue. Sia per alcuni valori di e , entrambi con componenti interi, e valore . Scrivendo per una matrice simmetrica non singolare con componenti intere, si ha che

quando

allora le due soluzioni di , se viste come un'equazione quadratica in , saranno , dove quest'ultima è diversa da zero e razionale. In particolare, se è una soluzione di ed è la corrispondente soluzione non nulla di allora qualsiasi per cui (1) non è ortogonale a e (2) soddisfa queste tre condizioni e fornisce un valore razionale diverso da zero per .

In breve, se si conosce una soluzione con componenti razionali allora si possono trovare molte soluzioni intere dove dipende dalla scelta di . Inoltre, il processo è reversibile! Se soddisfa e soddisfa, allora la scelta di produrrà necessariamente . Con questo approccio si possono generare tutte le terne pitagoriche oi triangoli heroniani .

Quadriche proiettive sui campi

La definizione di quadrica proiettiva in uno spazio proiettivo reale (vedi sopra) può essere formalmente adottata definendo una quadrica proiettiva in uno spazio proiettivo n-dimensionale su un campo . Per omettere di trattare le coordinate si definisce solitamente una quadrica proiettiva partendo da una forma quadratica su uno spazio vettoriale

Forma quadratica

Sia un campo e uno spazio vettoriale su . Una mappatura da a tale che

(Q1) per qualsiasi e .
(Q2) è una forma bilineare .

si chiama forma quadratica . La forma bilineare è simmetrica .

Nel caso della forma bilineare è , cioè e sono reciprocamente determinate in modo univoco. Nel caso di (ciò significa: ) la forma bilineare ha la proprietà , cioè è simplettica .

Per e ( è una base di ) ha la forma familiare

e
.

Per esempio:

spazio proiettivo n- dimensionale su un campo

Lascia che sia un campo, ,

an ( n + 1) - spazio vettoriale dimensionale sul campo
il sottospazio unidimensionale generato da ,
l' insieme dei punti ,
l' insieme delle linee .
è lo spazio proiettivo n- dimensionale sopra .
L'insieme dei punti contenuti in un sottospazio -dimensionale di è un sottospazio -dimensionale di . Un sottospazio bidimensionale è un piano .
Nel caso di un sottospazio dimensionale si parla di iperpiano .

quadrica proiettiva

Per una forma quadratica su uno spazio vettoriale un punto è detto singolare se . Il set

di punti singolari di si chiama quadrica (rispetto alla forma quadratica ).

Esempi in .:
(E1): Per si ottiene una conica . (E2): Per si ottiene la coppia di rette con le equazioni e , rispettivamente. Si intersecano in un punto ;

Per le considerazioni che seguono si assume che .

spazio polare

Per punto il set

è detto spazio polare di (rispetto a ).

Se per qualcuno , si ottiene .

Se per almeno uno , l'equazione è un'equazione lineare non banale che definisce un iperpiano. Quindi

è un iperpiano o .

Intersezione con una linea

Per l'intersezione di una linea con una quadrica è vera l'affermazione familiare:

Per una riga arbitraria si verificano i seguenti casi:
a) e si chiama linea esterna o
b) e si chiama retta tangente o
b′) e si chiama retta tangente o
c) e si chiama retta secante .

Dimostrazione: Sia una linea, che si interseca in un punto ed è un secondo punto su . Da uno si ottiene I) In caso di equazione vale ed è per qualsiasi . Quindi o per any o per any , il che dimostra b) e b'). II) Nel caso si ottiene e l'equazione ha esattamente una soluzione . Quindi: , che dimostra c).


Inoltre la prova mostra:

Una retta passante per un punto è una retta tangente se e solo se .

f -radicale, q -radicale

Nei casi classici o esiste un solo radicale, a causa di e e sono strettamente connessi. Nel caso in cui la quadrica non sia determinata da (vedi sopra) e quindi si ha a che fare con due radicali:

a) è un sottospazio proiettivo. si chiama f- radicale della quadrica .
b) è chiamato singolare radicale o -radical di .
c) In caso di uno ha .

Una quadrica si dice non degenere se .

Esempi in (vedi sopra):
(E1): Per (conica) la forma bilineare è In caso gli spazi polari non sono mai . Quindi . Nel caso della forma bilineare si riduce a e . Quindi in questo caso il radicale f è il punto comune di tutte le tangenti, il cosiddetto nodo . In entrambi i casi e la quadrica (conica) è non degenere . (E2): Per (coppia di linee) la forma bilineare è e il punto di intersezione. In questo esempio la quadrica è degenere .




simmetrie

Una quadrica è un oggetto piuttosto omogeneo:

Per ogni punto esiste una collineazione centrale involutoria con centro e .

Dimostrazione: a causa dello spazio polare è un iperpiano.

La mappatura lineare

induce una collineazione centrale involutoria con asse e centro che lascia invarianti. In caso di mappatura ottiene la forma familiare con e per qualsiasi .

Nota:

a) Una linea esterna, una linea tangente o una linea secante è mappata dall'involuzione su una linea esterna, tangente e secante, rispettivamente.
b) è puntualmente fissato da .

q -sottospazi e indice di una quadrica

Un sottospazio di si chiama -sottospazio se

Ad esempio: punti su una sfera o linee su un iperboloide (v. sotto).

Due sottospazi massimali hanno la stessa dimensione .

Sia la dimensione dei -sottospazi massimali di allora

L'intero è chiamato indice di .

Teorema: (BUEKENHOUT)

Per l'indice di una quadrica non degenere in seguenti condizioni:
.

Sia una quadrica non degenere in , e il suo indice.

In caso di quadrica si chiama sfera (o conica ovale se ).
In caso di quadrica si chiama iperboloide (di un foglio).

Esempi:

a) Quadrico in con forma non è degenere con indice 1.
b) Se il polinomio è irriducibile sulla forma quadratica dà luogo ad una quadrica non degenere in di indice 1 (sfera). Ad esempio: è irriducibile finita (ma non finita  !).
c) Nella forma quadratica genera un iperboloide .

Generalizzazione delle quadriche: insiemi quadratici

Non è ragionevole estendere formalmente la definizione di quadriche agli spazi su veri e propri campi di inclinazione (anelli di divisione). Perché si otterrebbero secanti con più di 2 punti della quadrica che è totalmente diversa dalle solite quadriche. Il motivo è la seguente affermazione.

Un anello di divisione è commutativo se e solo se una qualsiasi equazione ha al massimo due soluzioni.

Ci sono generalizzazioni di quadriche: insiemi quadratici . Un insieme quadratico è un insieme di punti di uno spazio proiettivo con le stesse proprietà geometriche di una quadrica: ogni linea interseca un insieme quadratico in al massimo due punti o è contenuta nell'insieme.

Guarda anche

Riferimenti

Bibliografia

link esterno