Tunneling quantistico - Quantum tunnelling

Il tunneling quantistico o tunneling (US) è ​​il fenomeno della meccanica quantistica in cui una funzione d'onda può propagarsi attraverso una potenziale barriera .

La trasmissione attraverso la barriera può essere finita e dipende in modo esponenziale dall'altezza e dalla larghezza della barriera. La funzione d'onda può scomparire da un lato e riapparire dall'altro. La funzione d'onda e la sua derivata prima sono continue . Nello stato stazionario, il flusso di probabilità nella direzione in avanti è spazialmente uniforme. Nessuna particella o onda è persa. Il tunneling si verifica con barriere di spessore intorno a 1-3 nm e inferiori.

Alcuni autori identificano anche la mera penetrazione della funzione d'onda nella barriera, senza trasmissione dall'altra parte, come un effetto tunnel. Il tunneling quantistico non è previsto dalle leggi della meccanica classica in cui il superamento di una potenziale barriera richiede energia potenziale.

Il tunneling quantistico svolge un ruolo essenziale nei fenomeni fisici, come la fusione nucleare . Ha applicazioni nel diodo tunnel , nel calcolo quantistico e nel microscopio a scansione tunnel .

L'effetto è stato previsto all'inizio del XX secolo. La sua accettazione come fenomeno fisico generale arrivò a metà del secolo.

Si prevede che il tunneling quantistico crei limiti fisici alle dimensioni dei transistor utilizzati nella microelettronica , poiché gli elettroni sono in grado di scavalcare transistor troppo piccoli.

Il tunneling può essere spiegato in termini del principio di indeterminazione di Heisenberg in quanto un oggetto quantistico può essere conosciuto come un'onda o come una particella in generale. In altre parole, l'incertezza nell'esatta posizione delle particelle di luce permette a queste particelle di infrangere le regole della meccanica classica e di muoversi nello spazio senza oltrepassare la potenziale barriera energetica.

Il tunneling quantistico può essere uno dei meccanismi del decadimento del protone .

Storia

Il tunneling quantistico è stato sviluppato dallo studio della radioattività, scoperto nel 1896 da Henri Becquerel . La radioattività fu esaminata ulteriormente da Marie Curie e Pierre Curie , per i quali ottennero il Premio Nobel per la Fisica nel 1903. Ernest Rutherford ed Egon Schweidler ne studiarono la natura, che fu poi verificata empiricamente da Friedrich Kohlrausch . L'idea dell'emivita e la possibilità di prevedere il decadimento è stata creata dal loro lavoro.

Nel 1901, Robert Francis Earhart scoprì un regime di conduzione inaspettato mentre studiava la conduzione dei gas tra elettrodi ravvicinati utilizzando l' interferometro di Michelson . JJ Thomson ha commentato che la scoperta ha giustificato ulteriori indagini. Nel 1911 e poi nel 1914, l'allora laureato Franz Rother misurò direttamente le correnti di emissione di campo costante. Ha impiegato il metodo di Earhart per controllare e misurare la separazione degli elettrodi, ma con un galvanometro a piattaforma sensibile . Nel 1926, Rother misurò le correnti di emissione di campo in un vuoto "duro" tra elettrodi ravvicinati .

Il tunneling quantistico fu notato per la prima volta nel 1927 da Friedrich Hund mentre stava calcolando lo stato fondamentale del potenziale del doppio pozzo . Leonid Mandelstam e Mikhail Leontovich lo scoprirono indipendentemente nello stesso anno. Stavano analizzando le implicazioni dell'allora nuova equazione d'onda di Schrödinger .

La sua prima applicazione fu una spiegazione matematica per il decadimento alfa , sviluppata nel 1928 da George Gamow (che era a conoscenza delle scoperte di Mandelstam e Leontovich) e indipendentemente da Ronald Gurney e Edward Condon . Questi ultimi ricercatori hanno risolto simultaneamente l'equazione di Schrödinger per un potenziale nucleare modello e hanno derivato una relazione tra l' emivita della particella e l'energia di emissione che dipendeva direttamente dalla probabilità matematica di tunneling.

Dopo aver frequentato un seminario Gamow, Max Born ha riconosciuto la generalità del tunneling. Si rese conto che non era limitato alla fisica nucleare , ma era un risultato generale della meccanica quantistica che si applicava a molti sistemi diversi. Poco dopo, entrambi i gruppi hanno preso in considerazione il caso di particelle che penetrano nel nucleo. Lo studio dei semiconduttori e lo sviluppo di transistor e diodi portarono all'accettazione del tunneling elettronico nei solidi nel 1957. Leo Esaki , Ivar Giaever e Brian Josephson predissero il tunneling delle coppie Cooper superconduttrici , per cui ricevettero il Premio Nobel per la Fisica nel 1973 Nel 2016 è stato scoperto il tunneling quantistico dell'acqua .

Introduzione al concetto

Animazione che mostra l'effetto tunnel e la sua applicazione a un STM

Il tunneling quantistico rientra nel dominio della meccanica quantistica : lo studio di ciò che accade su scala quantistica . Il tunneling non può essere percepito direttamente. Gran parte della sua comprensione è modellata dal mondo microscopico, che la meccanica classica non può spiegare. Per comprendere il fenomeno , le particelle che tentano di attraversare una potenziale barriera possono essere paragonate a una palla che cerca di rotolare su una collina.

La meccanica quantistica e la meccanica classica differiscono nel trattamento di questo scenario. La meccanica classica prevede che le particelle che non hanno energia sufficiente per superare classicamente una barriera non possono raggiungere l'altro lato. Quindi, una palla senza energia sufficiente per superare la collina rotolerebbe indietro. Una palla che non ha l'energia per penetrare un muro rimbalza indietro. In alternativa, la palla potrebbe diventare parte del muro (assorbimento).

In meccanica quantistica, queste particelle possono, con una piccola probabilità, tunnel verso l'altro lato, attraversando così la barriera. La palla, in un certo senso, prende in prestito energia dall'ambiente circostante per attraversare il muro. Quindi ripaga l'energia rendendo gli elettroni riflessi più energetici di quanto non sarebbero stati altrimenti.

La ragione di questa differenza deriva dal trattare la materia come avente proprietà di onde e particelle . Un'interpretazione di questa dualità implica il principio di indeterminazione di Heisenberg , che definisce un limite su come con precisione la posizione e la quantità di moto di una particella possono essere conosciute simultaneamente. Ciò implica che nessuna soluzione ha una probabilità esattamente zero (o uno), sebbene possa avvicinarsi all'infinito. Se, per esempio, il calcolo della sua posizione fosse preso come probabilità 1, la sua velocità dovrebbe essere infinita (un'impossibilità). Quindi, la probabilità dell'esistenza di una data particella sul lato opposto di una barriera interposta è diversa da zero e tali particelle appariranno sul lato "altro" (una parola semanticamente difficile in questo caso) in proporzione a questa probabilità.

Il problema del tunnel

Una simulazione di un pacchetto d'onda incidente su una potenziale barriera. In unità relative, l'energia della barriera è 20, maggiore dell'energia media del pacchetto d'onda di 14. Una parte del pacchetto d'onda passa attraverso la barriera.

La funzione d' onda di una particella riassume tutto ciò che si può sapere su un sistema fisico . Pertanto, i problemi di meccanica quantistica analizzano la funzione d'onda del sistema. Utilizzando formulazioni matematiche, come l'equazione di Schrödinger , si può dedurre la funzione d'onda. Il quadrato del valore assoluto di questa funzione d'onda è direttamente correlato alla distribuzione di probabilità della posizione della particella, che descrive la probabilità che la particella si trovi in ​​un dato luogo. Più ampia è la barriera e maggiore è l'energia della barriera, minore è la probabilità di tunneling.

Un semplice modello di barriera a tunnel, come la barriera rettangolare , può essere analizzato e risolto algebricamente. Nella teoria canonica dei campi, il tunneling è descritto da una funzione d'onda che ha un'ampiezza diversa da zero all'interno del tunnel; ma lì la corrente è nulla perché la fase relativa dell'ampiezza della funzione d'onda coniugata (la derivata temporale) è ad essa ortogonale .

La simulazione mostra uno di questi sistemi.

Un pacchetto d'onda di elettroni diretto a una barriera potenziale. Notare il punto debole sulla destra che rappresenta gli elettroni tunnel.

La seconda illustrazione mostra il principio di indeterminazione all'opera. Un'onda colpisce la barriera; la barriera lo costringe a diventare più alto e più stretto. L'onda diventa molto più delocalizzata: ora è su entrambi i lati della barriera, è più ampia su ciascun lato e più bassa in ampiezza massima ma uguale in ampiezza totale. In entrambe le illustrazioni, la localizzazione dell'onda nello spazio provoca la localizzazione dell'azione della barriera nel tempo, disperdendo così l'energia/momento dell'onda.

I problemi nella vita reale spesso non ne hanno uno, quindi sono stati sviluppati metodi "semiclassici" o "quasiclassici" per offrire soluzioni approssimate, come l' approssimazione WKB . Probabilità possono essere ricavati con precisione arbitraria, come vincolato da risorse computazionali, via Feynman 's integrale percorso metodo. Tale precisione è raramente richiesta nella pratica ingegneristica.

Tunneling dinamico

Oscillazioni di probabilità di tunneling quantistico in un doppio pozzo integrabile di potenziale, visto nello spazio delle fasi.

Il concetto di tunneling quantistico può essere esteso a situazioni in cui esiste un trasporto quantistico tra regioni che sono classicamente non connesse anche se non esiste una potenziale barriera associata. Questo fenomeno è noto come tunneling dinamico.

Tunneling nello spazio delle fasi

Il concetto di tunneling dinamico è particolarmente adatto per affrontare il problema del tunneling quantistico in dimensioni elevate (d>1). Nel caso di un sistema integrabile , dove le traiettorie classiche limitate sono confinate su tori nello spazio delle fasi , il tunneling può essere inteso come il trasporto quantistico tra stati semiclassici costruito su due tori distinti ma simmetrici.

Tunneling assistito dal caos

Oscillazioni di tunneling assistite dal caos tra due tori regolari immersi in un mare caotico, visti nello spazio delle fasi

Nella vita reale, la maggior parte dei sistemi non è integrabile e mostra vari gradi di caos. Si dice quindi che la dinamica classica è mista e lo spazio delle fasi del sistema è tipicamente composto da isole di orbite regolari circondate da un grande mare di orbite caotiche. L'esistenza del mare caotico, dove il trasporto è classicamente consentito, tra i due tori simmetrici favorisce quindi il tunneling quantistico tra di essi. Questo fenomeno è indicato come tunneling assistito dal caos. ed è caratterizzato da forti risonanze della velocità di tunneling al variare di qualsiasi parametro del sistema.

Tunneling assistito dalla risonanza

Quando è piccola rispetto alle dimensioni delle isole regolari, la struttura fine dello spazio delle fasi classico gioca un ruolo chiave nel tunneling. In particolare i due tori simmetrici sono accoppiati "tramite una successione di transizioni classicamente proibite attraverso risonanze non lineari" che circondano le due isole.

Fenomeni correlati

Diversi fenomeni hanno lo stesso comportamento del tunneling quantistico e possono essere accuratamente descritti dal tunneling. Esempi includono il tunneling di un'associazione onda particella classica, accoppiamento onda evanescente (applicazione di onda equazione di Maxwell alla luce ) e l'applicazione del non dispersivo onda equazione da acustica applicata a "onde su stringhe" . L'accoppiamento di onde evanescenti, fino a poco tempo fa, era chiamato solo "tunneling" in meccanica quantistica; ora è usato in altri contesti.

Questi effetti sono modellati in modo simile alla barriera potenziale rettangolare . In questi casi, un mezzo di trasmissione attraverso il quale si propaga l' onda è lo stesso o quasi in tutto, e un secondo mezzo attraverso il quale l'onda viaggia in modo diverso. Questa può essere descritta come una regione sottile del mezzo B tra due regioni del mezzo A. L'analisi di una barriera rettangolare mediante l'equazione di Schrödinger può essere adattata a questi altri effetti a condizione che l'equazione delle onde abbia soluzioni di onde viaggianti nel mezzo A ma soluzioni esponenziali reali nel mezzo B.

In ottica , il mezzo A è il vuoto mentre il mezzo B è il vetro. In acustica, il mezzo A può essere un liquido o un gas e il mezzo B un solido. In entrambi i casi, il mezzo A è una regione dello spazio in cui l' energia totale della particella è maggiore della sua energia potenziale e il mezzo B è la barriera potenziale. Questi hanno un'onda in arrivo e onde risultanti in entrambe le direzioni. Ci possono essere più mezzi e barriere, e le barriere non devono essere discrete. Le approssimazioni sono utili in questo caso.

Applicazioni

Il tunneling è la causa di alcuni importanti fenomeni fisici macroscopici. Il tunneling quantistico ha importanti implicazioni sul funzionamento della nanotecnologia .

Elettronica

Il tunneling è una fonte di dispersione di corrente nell'elettronica di integrazione su scala molto ampia (VLSI) e provoca il notevole assorbimento di potenza e gli effetti di riscaldamento che affliggono tali dispositivi. È considerato il limite inferiore su come possono essere realizzati elementi di dispositivi microelettronici. Il tunneling è una tecnica fondamentale utilizzata per programmare i floating gate della memoria flash .

Emissione di freddo

L'emissione a freddo di elettroni è rilevante per i semiconduttori e la fisica dei superconduttori . È simile all'emissione termoionica , in cui gli elettroni saltano casualmente dalla superficie di un metallo per seguire una polarizzazione di tensione perché statisticamente finiscono con più energia della barriera, attraverso collisioni casuali con altre particelle. Quando il campo elettrico è molto grande, la barriera diventa abbastanza sottile da consentire agli elettroni di uscire dallo stato atomico, portando a una corrente che varia approssimativamente in modo esponenziale con il campo elettrico. Questi materiali sono importanti per la memoria flash , i tubi a vuoto e alcuni microscopi elettronici.

Giunzione a tunnel

Una semplice barriera può essere creata separando due conduttori con un isolante molto sottile . Queste sono giunzioni tunnel, il cui studio richiede la comprensione del tunneling quantistico. Le giunzioni Josephson sfruttano il tunneling quantistico e la superconduttività di alcuni semiconduttori per creare l' effetto Josephson . Questo ha applicazioni nelle misurazioni di precisione delle tensioni e dei campi magnetici , così come nella cella solare multigiunzione .

Automi cellulari a punti quantici

QCA è una tecnologia di sintesi logica binaria molecolare che opera tramite il sistema di tunneling elettronico tra le isole. Si tratta di un dispositivo a bassissima potenza e veloce che può funzionare a una frequenza massima di 15 PHZ .

Diodo tunnel

Un meccanismo di funzionamento di un dispositivo a diodo tunneling risonante , basato sul fenomeno del tunneling quantistico attraverso le potenziali barriere.

I diodi sono dispositivi elettrici a semiconduttore che consentono il flusso di corrente elettrica in una direzione più dell'altra. Il dispositivo dipende da uno strato di svuotamento tra di tipo N e di tipo P semiconduttori per servire allo scopo. Quando questi sono pesantemente drogati, lo strato di esaurimento può essere abbastanza sottile per il tunneling. Quando viene applicata una piccola polarizzazione diretta, la corrente dovuta al tunneling è significativa. Questo ha un massimo nel punto in cui la polarizzazione della tensione è tale che il livello di energia delle bande di conduzione p e n sono uguali. All'aumentare della polarizzazione di tensione, le due bande di conduzione non si allineano più e il diodo agisce tipicamente.

Poiché la corrente di tunneling diminuisce rapidamente, è possibile creare diodi tunnel che hanno un intervallo di tensioni per le quali la corrente diminuisce all'aumentare della tensione. Questa proprietà peculiare è utilizzata in alcune applicazioni, come i dispositivi ad alta velocità in cui la caratteristica probabilità di tunneling cambia rapidamente quanto la tensione di polarizzazione.

Il diodo tunnel risonante utilizza il tunneling quantistico in un modo molto diverso per ottenere un risultato simile. Questo diodo ha una tensione risonante per la quale molta corrente favorisce una particolare tensione, ottenuta accostando due strati sottili con banda di conduttanza ad alta energia uno vicino all'altro. Questo crea un pozzo di potenziale quantistico che ha un livello di energia più basso discreto . Quando questo livello di energia è superiore a quello degli elettroni, non si verifica alcun tunneling e il diodo è in polarizzazione inversa. Una volta che le due energie di tensione si allineano, gli elettroni fluiscono come un filo aperto. Man mano che la tensione aumenta ulteriormente, il tunneling diventa improbabile e il diodo si comporta nuovamente come un normale diodo prima che diventi evidente un secondo livello di energia.

Transistor ad effetto di campo a tunnel

Un progetto di ricerca europeo ha dimostrato transistor ad effetto di campo in cui il gate (canale) è controllato tramite tunneling quantistico anziché mediante iniezione termica, riducendo la tensione di gate da 1 volt a 0,2 volt e riducendo il consumo energetico fino a 100 volte. Se questi transistor possono essere scalati in chip VLSI , migliorerebbero le prestazioni per potenza dei circuiti integrati .

Fusione nucleare

Il tunneling quantistico è un fenomeno essenziale per la fusione nucleare. La temperatura nei nuclei delle stelle è generalmente insufficiente per consentire ai nuclei atomici di superare la barriera di Coulomb e ottenere la fusione termonucleare . Il tunneling quantico aumenta la probabilità di penetrare questa barriera. Sebbene questa probabilità sia ancora bassa, il numero estremamente elevato di nuclei nel nucleo di una stella è sufficiente per sostenere una reazione di fusione stabile.

Decadimento radioattivo

Il decadimento radioattivo è il processo di emissione di particelle ed energia dal nucleo instabile di un atomo per formare un prodotto stabile. Questo viene fatto attraverso il tunneling di una particella fuori dal nucleo (un tunnel di elettroni nel nucleo è la cattura di elettroni ). Questa è stata la prima applicazione del tunneling quantistico. Il decadimento radioattivo è un problema rilevante per l' astrobiologia poiché questa conseguenza del tunneling quantistico crea una fonte di energia costante su un ampio intervallo di tempo per ambienti al di fuori della zona abitabile circumstellare dove l'insolazione non sarebbe possibile ( oceani sotto la superficie ) o efficace.

Astrochimica nelle nuvole interstellari

Includendo il tunneling quantistico, si possono spiegare le sintesi astrochimiche di varie molecole nelle nuvole interstellari , come la sintesi dell'idrogeno molecolare , dell'acqua ( ghiaccio ) e dell'importante formaldeide prebiotica .

Biologia quantistica

Il tunneling quantistico è tra gli effetti quantistici non banali centrali nella biologia quantistica . Qui è importante sia come tunneling elettronico che come tunneling protonico . Il tunneling elettronico è un fattore chiave in molte reazioni redox biochimiche ( fotosintesi , respirazione cellulare ) e catalisi enzimatica. Il tunneling protonico è un fattore chiave nella mutazione spontanea del DNA .

La mutazione spontanea si verifica quando la normale replicazione del DNA avviene dopo che un protone particolarmente significativo è passato attraverso il tunnel. Un legame idrogeno unisce le coppie di basi del DNA. Un potenziale doppio pozzo lungo un legame idrogeno separa una potenziale barriera energetica. Si ritiene che il potenziale del doppio pozzo sia asimmetrico, con un pozzo più profondo dell'altro in modo tale che il protone si trovi normalmente nel pozzo più profondo. Perché si verifichi una mutazione, il protone deve aver scavato un tunnel nel pozzo meno profondo. Il movimento del protone dalla sua posizione regolare è chiamato transizione tautomerica . Se la replicazione del DNA avviene in questo stato, la regola di accoppiamento delle basi per il DNA può essere compromessa, causando una mutazione. Per-Olov Lowdin fu il primo a sviluppare questa teoria della mutazione spontanea all'interno della doppia elica . Si ritiene che altri casi di mutazioni indotte dal tunneling quantistico in biologia siano causa di invecchiamento e cancro.

Conducibilità quantistica

Sebbene il modello di conduttività elettrica di Drude-Lorentz fornisca eccellenti previsioni sulla natura degli elettroni che conducono nei metalli, può essere ulteriormente approfondito utilizzando il tunneling quantistico per spiegare la natura delle collisioni degli elettroni. Quando un pacchetto di onde di elettroni liberi incontra una lunga serie di barriere uniformemente distanziate , la parte riflessa del pacchetto di onde interferisce uniformemente con quella trasmessa tra tutte le barriere in modo che diventi possibile una trasmissione al 100%. La teoria prevede che se i nuclei carichi positivamente formano una matrice perfettamente rettangolare, gli elettroni passeranno attraverso il metallo come elettroni liberi, portando a una conduttanza estremamente elevata e che le impurità nel metallo lo interrompono in modo significativo.

Microscopio a scansione a effetto tunnel

Il microscopio a effetto tunnel (STM), inventato da Gerd Binnig e Heinrich Rohrer , può consentire l'imaging di singoli atomi sulla superficie di un materiale. Funziona sfruttando la relazione tra il tunneling quantistico con la distanza. Quando la punta dell'ago dell'STM viene avvicinata a una superficie conduttiva che ha una polarizzazione di tensione, la misurazione della corrente degli elettroni che si muovono tra l'ago e la superficie rivela la distanza tra l'ago e la superficie. Utilizzando barre piezoelettriche che cambiano di dimensione quando viene applicata la tensione, l'altezza della punta può essere regolata per mantenere costante la corrente di tunneling. Le tensioni variabili nel tempo che vengono applicate a queste aste possono essere registrate e utilizzate per visualizzare la superficie del conduttore. Gli STM sono precisi a 0,001 nm, o circa l'1% del diametro atomico.

Effetto isotopico cinetico

Nella cinetica chimica , la sostituzione di un isotopo leggero di un elemento con uno più pesante si traduce tipicamente in una velocità di reazione più lenta. Questo è generalmente attribuito alle differenze nelle energie vibrazionali di punto zero per i legami chimici contenenti gli isotopi più leggeri e più pesanti ed è generalmente modellato utilizzando la teoria dello stato di transizione . Tuttavia, in alcuni casi, si osservano grandi effetti isotopi che non possono essere spiegati da un trattamento semi-classico ed è necessario il tunneling quantistico. RP Bell ha sviluppato un trattamento modificato della cinetica di Arrhenius comunemente usato per modellare questo fenomeno.

Più veloce della luce

Alcuni fisici hanno affermato che è possibile che le particelle con spin zero viaggino più velocemente della velocità della luce durante il tunneling. Ciò apparentemente viola il principio di causalità , poiché esiste quindi un sistema di riferimento in cui la particella arriva prima di essere partita. Nel 1998, Francis E. Low ha passato in rassegna brevemente il fenomeno del tunneling a tempo zero. Più recentemente, Günter Nimtz ha pubblicato dati sperimentali sul tempo di tunneling di fononi , fotoni ed elettroni .

Altri fisici, come Herbert Winful , hanno contestato queste affermazioni. Winful ha sostenuto che il pacchetto d'onda di una particella tunnel si propaga localmente, quindi una particella non può attraversare la barriera in modo non locale. Winful ha anche sostenuto che gli esperimenti che si presume mostrino la propagazione non locale sono stati interpretati erroneamente. In particolare, la velocità di gruppo di un pacchetto d'onda non misura la sua velocità, ma è correlata alla quantità di tempo in cui il pacchetto d'onda è immagazzinato nella barriera. Ma il problema rimane che la funzione d'onda sale ancora all'interno della barriera in tutti i punti contemporaneamente. In altre parole, in qualsiasi regione inaccessibile alla misurazione, la propagazione non locale è ancora matematicamente certa.

Un esperimento fatto nel 2020, supervisionato da Aephraim Steinberg, ha mostrato che le particelle dovrebbero essere in grado di scavare tunnel a velocità apparenti più veloci della luce.

Discussione matematica

Tunneling quantistico attraverso una barriera. L'energia della particella tunnel è la stessa ma l'ampiezza di probabilità è diminuita.

L'equazione di Schrödinger

L' equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per una particella in una dimensione può essere scritta come

o

dove

  • è la costante di Planck ridotta ,
  • m è la massa della particella,
  • x rappresenta la distanza misurata nella direzione del moto della particella,
  • è la funzione d'onda di Schrödinger,
  • V è l' energia potenziale della particella (misurata rispetto a qualsiasi livello di riferimento conveniente),
  • E è l'energia della particella associata al movimento sull'asse x (misurata rispetto a V),
  • M(x) è una quantità definita da V(x) – E che non ha un nome accettato in fisica.

Le soluzioni dell'equazione di Schrödinger assumono forme diverse per diversi valori di x, a seconda che M(x) sia positivo o negativo. Quando M(x) è costante e negativo, allora l'equazione di Schrödinger può essere scritta nella forma

Le soluzioni di questa equazione rappresentano onde in movimento, con costante di fase + k o - k . In alternativa, se M(x) è costante e positivo, allora l'equazione di Schrödinger può essere scritta nella forma

Le soluzioni di questa equazione sono esponenziali crescenti e decrescenti sotto forma di onde evanescenti . Quando M(x) varia con la posizione, si verifica la stessa differenza di comportamento, a seconda che M(x) sia negativo o positivo. Ne consegue che il segno di M(x) determina la natura del mezzo, con M(x) negativo corrispondente al mezzo A e M(x) positivo corrispondente al mezzo B. Ne consegue quindi che l'accoppiamento ad onde evanescenti può verificarsi se una regione di M(x) positivo è racchiuso tra due regioni di M(x) negativo, creando così una potenziale barriera.

La matematica di affrontare la situazione in cui M(x) varia con x è difficile, tranne in casi speciali che di solito non corrispondono alla realtà fisica. Una trattazione matematica completa appare nella monografia del 1965 di Fröman e Fröman. Le loro idee non sono state incorporate nei libri di testo di fisica, ma le loro correzioni hanno scarso effetto quantitativo.

L'approssimazione WKB

La funzione d'onda è espressa come esponenziale di una funzione:

, dove

viene quindi separato in parti reali e immaginarie:

, dove A(x) e B(x) sono funzioni a valori reali.

Sostituendo la seconda equazione nella prima e utilizzando il fatto che la parte immaginaria deve essere 0 si ottiene:

.
Tunneling quantistico nella formulazione dello spazio delle fasi della meccanica quantistica. Funzione di Wigner per il tunneling attraverso la potenziale barriera in unità atomiche (au). Le linee continue rappresentano l' insieme dei livelli dell'Hamiltoniana .

Per risolvere questa equazione usando l'approssimazione semiclassica, ogni funzione deve essere espansa come una serie di potenze in . Dalle equazioni, la serie di potenze deve iniziare con almeno un ordine di per soddisfare la parte reale dell'equazione; per un buon limite classico è preferibile partire dalla più alta potenza della costante di Planck possibile, che porta a

e

,

con i seguenti vincoli ai termini di ordine più basso,

e

.

A questo punto si possono considerare due casi estremi.

Caso 1 Se l'ampiezza varia lentamente rispetto alla fase e

che corrisponde al moto classico. Risolvere il prossimo ordine di rendimenti di espansione

Caso 2

Se la fase varia lentamente rispetto all'ampiezza, e
che corrisponde al tunneling. Risolvere il prossimo ordine dei rendimenti di espansione

In entrambi i casi è evidente dal denominatore che entrambe queste soluzioni approssimate sono cattive vicino ai classici punti di svolta . Lontano dalla collina potenziale, la particella agisce come un'onda libera e oscillante; al di sotto della collina potenziale, la particella subisce variazioni esponenziali di ampiezza. Considerando il comportamento a questi limiti ea questi classici punti di svolta, si può trovare una soluzione globale.

Per iniziare, viene scelta una svolta classica, che viene ampliata in una serie di potenze circa :

Mantenere solo il termine del primo ordine garantisce la linearità:

.

Usando questa approssimazione, l'equazione vicino diventa un'equazione differenziale :

.

Questo può essere risolto usando le funzioni di Airy come soluzioni.

Prendendo queste soluzioni per tutti i classici punti di svolta, si può formare una soluzione globale che colleghi le soluzioni limitanti. Dati i due coefficienti su un lato di un punto di svolta classico, i due coefficienti sull'altro lato di un punto di svolta classico possono essere determinati utilizzando questa soluzione locale per collegarli.

Quindi, le soluzioni della funzione di Airy asintoteranno in funzioni seno, coseno ed esponenziale nei limiti propri. Le relazioni tra e sono

e

Tunneling quantistico attraverso una barriera. All'origine (x=0), c'è una barriera di potenziale molto alta, ma stretta. Si può osservare un significativo effetto tunnel.

Con i coefficienti trovati, si può trovare la soluzione globale. Pertanto, il coefficiente di trasmissione per un tunnel di particelle attraverso una singola barriera potenziale è

,

dove sono i due classici punti di svolta per la potenziale barriera.

Per una barriera rettangolare, questa espressione si semplifica in:

.

Guarda anche

Riferimenti

Ulteriori letture

link esterno