Curva piano quartico - Quartic plane curve

Una curva piana quartica è una curva algebrica piana di quarto grado . Può essere definito da un'equazione quartica bivariata:

${\displaystyle Ax^{4}+Per^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}$

con almeno uno tra A, B, C, D, E diverso da zero. Questa equazione ha 15 costanti. Tuttavia, può essere moltiplicato per qualsiasi costante diversa da zero senza modificare la curva; quindi, mediante la scelta di un'opportuna costante di moltiplicazione, uno qualsiasi dei coefficienti può essere impostato a 1, lasciando solo 14 costanti. Pertanto, lo spazio delle curve quartiche può essere identificato con lo spazio proiettivo reale . Segue anche, dal teorema di Cramer sulle curve algebriche , che esiste esattamente una curva quartica che passa per un insieme di 14 punti distinti in posizione generale , poiché una quartica ha 14 gradi di libertà . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}}$

Una curva quartica può avere un massimo di:

• Quattro componenti collegati
• Ventotto bi-tangenti
• Tre punti doppi ordinari .

Si possono anche considerare curve quartiche su altri campi (o anche anelli ), ad esempio i numeri complessi . In questo modo si ottengono superfici di Riemann , che sono oggetti unidimensionali su C , ma sono bidimensionali su R . Un esempio è la quartica di Klein . Inoltre, si possono osservare curve nel piano proiettivo , date da polinomi omogenei.

Esempi

Varie combinazioni di coefficienti nell'equazione di cui sopra danno origine a varie importanti famiglie di curve elencate di seguito.

Curva e commerciale

La curva e commerciale è una curva piana quartica data dall'equazione:

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

Ha genere zero, con tre punti doppi ordinari, tutti nel piano reale.

Curva di fagioli

La curva del fagiolo è una curva piana quartica con l'equazione:

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$

La curva del fagiolo ha genere zero. Ha una singolarità all'origine, un punto triplo ordinario.

Curva premolare

Il premolare è una curva piana quartica con l'equazione

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$

dove a determina la dimensione della curva. Il premolare ha come singolarità solo le due cuspidi, e quindi è una curva di genere uno.

Curva di prua

La curva di prua è una curva piana quartica con l'equazione:

${\displaystyle x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,}$

La curva ad arco ha un unico punto triplo in x =0, y =0, e di conseguenza è una curva razionale, di genere zero.

Curva cruciforme

La curva cruciforme , o curva a croce, è una curva piana quartica data dall'equazione

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

dove un e b sono due parametri che determinano la forma della curva. La curva cruciforme è correlata da una trasformazione quadratica standard, x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y all'ellisse a ² x ² + b ² y ² = 1, ed è quindi una curva algebrica piana razionale di genere zero. La curva cruciforme ha tre punti doppi nel piano proiettivo reale , a x = 0 e y = 0, x = 0 e z = 0, e y = 0 e z = 0.

Poiché la curva è razionale, può essere parametrizzata da funzioni razionali. Ad esempio, se a =1 e b = 2, allora

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5 {2t-2}}}$

parametrizza i punti sulla curva al di fuori dei casi eccezionali in cui un denominatore è zero.

Il teorema di Pitagora inverso si ottiene dall'equazione precedente sostituendo x con AC , y con BC , e ciascuno a e b con CD , dove A , B sono gli estremi dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC e D è il piede di una perpendicolare caduta da C , vertice dell'angolo retto, all'ipotenusa:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\AC^{2 }BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\ \quindi \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}} }\end{allineato}}}$

Sezione spirica

Le sezioni spiriche possono essere definite come curve quartiche bicircolari simmetriche rispetto agli assi x e y . Le sezioni spiriche sono comprese nella famiglia delle sezioni toriche e comprendono la famiglia degli ippopiedi e la famiglia degli ovali Cassini . Il nome deriva da σπειρα che significa toro in greco antico.

L'equazione cartesiana può essere scritta come

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

e l'equazione in coordinate polari come

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

Trifoglio a tre foglie (trifolium)

Il trifoglio tre foglie o Trifolium è la curva quartica

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

Risolvendo per y , la curva può essere descritta dalla seguente funzione:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$

dove le due apparizioni di ± sono indipendenti l'una dall'altra, dando fino a quattro valori distinti di y per ogni x .

L'equazione parametrica della curva è

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$

In coordinate polari ( x = r  cos φ, y = r  sin φ) l'equazione è

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$

È un caso speciale di curva a rosa con k = 3. Questa curva ha un punto triplo all'origine (0, 0) e ha tre doppie tangenti.

Guarda anche

• Ternario quartic
• Bitangenti di una quartica

Riferimenti