Problema di massimizzazione dell'angolo di Regiomontano - Regiomontanus' angle maximization problem

In matematica , il problema di massimizzazione dell'angolo di Regiomontano , è un famoso problema di ottimizzazione posto dal matematico tedesco del XV secolo Johannes Müller (noto anche come Regiomontano ). Il problema è il seguente:

I due punti all'altezza degli occhi sono possibili posizioni dell'occhio dello spettatore.

Un dipinto è appeso a una parete. Data l'altezza della parte superiore e inferiore del dipinto al di sopra del livello degli occhi dello spettatore, quanto lontano dal muro dovrebbe stare lo spettatore per massimizzare l'angolo sotteso dal dipinto e il cui vertice è all'occhio dello spettatore?

Se lo spettatore si trova troppo vicino al muro o troppo lontano dal muro, l'angolo è piccolo; da qualche parte nel mezzo è il più grande possibile.

Lo stesso approccio si applica alla ricerca del punto ottimale da cui calciare un pallone nel rugby. Del resto, non è necessario che l'allineamento dell'immagine sia perpendicolare: potremmo essere di fronte a una finestra della Torre Pendente di Pisa oa un agente immobiliare che mostra i vantaggi di un lucernario in un mansarda inclinata.

Soluzione per geometria elementare

C'è un cerchio unico che passa attraverso la parte superiore e inferiore del dipinto e tangente alla linea all'altezza degli occhi. Per geometria elementare, se la posizione dell'osservatore si spostasse lungo il cerchio, l'angolo sotteso dal dipinto rimarrebbe costante . Tutte le posizioni sulla linea all'altezza degli occhi, tranne il punto di tangenza, sono al di fuori del cerchio, e quindi l'angolo sotteso dal dipinto da quei punti è più piccolo.

Per gli Elementi  III.36 di Euclide (in alternativa il teorema della potenza del punto ), la distanza dal muro al punto di tangenza è la media geometrica delle altezze della parte superiore e inferiore del dipinto. Ciò significa, a sua volta, che se riflettiamo la parte inferiore dell'immagine nella linea all'altezza degli occhi e disegniamo il cerchio con il segmento tra la parte superiore dell'immagine e questo punto riflesso come diametro, il cerchio interseca la linea all'altezza degli occhi. livello nella posizione richiesta (dagli Elementi II.14).

Soluzione per calcolo

Al giorno d'oggi, questo problema è ampiamente noto perché appare come un esercizio in molti libri di calcolo del primo anno (ad esempio quello di Stewart).

Permettere

a = l'altezza del fondo del dipinto sopra il livello degli occhi;

b = l'altezza della parte superiore del dipinto sopra il livello degli occhi;

x = distanza dello spettatore dalla parete;

α = l'angolo di elevazione del fondo del dipinto, visto dalla posizione dell'osservatore;

β = l'angolo di elevazione della parte superiore del dipinto, visto dalla posizione dell'osservatore.

L'angolo che cerchiamo di massimizzare è β − α . La tangente dell'angolo aumenta all'aumentare dell'angolo; quindi è sufficiente massimizzare

${\displaystyle \tan(\beta -\alpha )={\frac {\tan \beta -\tan \alpha {1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b }{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(ba){\ frac {x}{x^{2}+ab}}.}$

Poiché b  −  a è una costante positiva, dobbiamo solo massimizzare la frazione che la segue. Differenziando, otteniamo

${\displaystyle {d \over dx}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2 }+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{} =0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}. \end{casi}}}$

Pertanto l'angolo aumenta come x va da 0 a √ ab e diminuisce x aumenta da √ ab . L'angolo è quindi il più grande possibile proprio quando x  =  √ ab , la media geometrica di a  e  b .

Soluzione per algebra

Abbiamo visto che basta massimizzare

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+ab}}.}$

Ciò equivale a minimizzare il reciproco:

${\displaystyle {\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}.}$

Si osservi che quest'ultima quantità è uguale a

${\displaystyle \left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}} .}$

Questo è il più piccolo possibile proprio quando il quadrato è 0, e ciò accade quando x  =  √ ab . In alternativa, potremmo citare questo come un esempio della disuguaglianza tra le medie aritmetiche e geometriche.

Riferimenti