Invarianza di scala - Scale invariance

In fisica , matematica e statistica , l'invarianza di scala è una caratteristica di oggetti o leggi che non cambiano se scale di lunghezza, energia o altre variabili, vengono moltiplicate per un fattore comune, e rappresentano quindi un'universalità.

Il termine tecnico per questa trasformazione è dilatazione (nota anche come dilatazione ) e le dilatazioni possono anche far parte di una simmetria conforme più ampia .

• In matematica, l'invarianza di scala di solito si riferisce a un'invarianza di singole funzioni o curve . Un concetto strettamente correlato è l' autosimilarità , in cui una funzione o una curva è invariante rispetto a un sottoinsieme discreto delle dilatazioni. È anche possibile che le distribuzioni di probabilità dei processi casuali mostrino questo tipo di invarianza di scala o autosomiglianza.
• Nella teoria dei campi classica , l'invarianza di scala si applica più comunemente all'invarianza di un'intera teoria sotto dilatazioni. Tali teorie descrivono tipicamente processi fisici classici senza una scala di lunghezza caratteristica.
• Nella teoria quantistica dei campi , l'invarianza di scala ha un'interpretazione in termini di fisica delle particelle . In una teoria invariante di scala, la forza delle interazioni tra particelle non dipende dall'energia delle particelle coinvolte.
• In meccanica statistica , l'invarianza di scala è una caratteristica delle transizioni di fase . L'osservazione chiave è che vicino a una transizione di fase o punto critico , le fluttuazioni si verificano a tutte le scale di lunghezza, e quindi si dovrebbe cercare una teoria esplicitamente invariante di scala per descrivere i fenomeni. Tali teorie sono teorie dei campi statistici invarianti di scala e sono formalmente molto simili alle teorie dei campi quantistici invarianti di scala.
• L'universalità è l'osservazione che sistemi microscopici molto diversi possono mostrare lo stesso comportamento in una transizione di fase. Quindi le transizioni di fase in molti sistemi diversi possono essere descritte dalla stessa teoria sottostante invariante di scala.
• In generale, le quantità adimensionali sono invarianti di scala. Il concetto analogo in statistica sono i momenti standardizzati , che sono statistiche invarianti di scala di una variabile, mentre i momenti non standardizzati non lo sono.

Curve invarianti di scala e autosimilarità

In matematica, si possono considerare le proprietà di scala di una funzione o curva f ( x ) sotto ridimensionamento della variabile x . Cioè, uno è interessato alla forma di f ( λx ) per qualche fattore di scala λ , che può essere considerato un ridimensionamento della lunghezza o delle dimensioni. Il requisito per f ( x ) di essere invariante in tutti i riscalamenti è generalmente considerato

${\ Displaystyle f (\ lambda x) = \ lambda ^ {\ Delta } f (x)}$

per qualche scelta di esponente Δ , e per tutte le dilatazioni λ . Ciò equivale a f   essendo una funzione omogenea di grado Δ .

Esempi di funzioni invarianti di scala sono i monomi , per i quali Δ = n , in quanto chiaramente ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.}$

Un esempio di curva invariante di scala è la spirale logaritmica , un tipo di curva che appare spesso in natura. In coordinate polari ( r , θ ) , la spirale può essere scritta come

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.}$

Tenendo conto delle rotazioni della curva, è invariante sotto tutti i riscalamenti λ ; cioè θ ( λr ) è identico a una versione ruotata di θ ( r ) .

Geometria proiettiva

L'idea di invarianza di scala di un monomio generalizza in dimensioni superiori all'idea di un polinomio omogeneo , e più in generale a una funzione omogenea . Le funzioni omogenee sono gli abitanti naturali dello spazio proiettivo ei polinomi omogenei sono studiati come varietà proiettive nella geometria proiettiva . La geometria proiettiva è un campo particolarmente ricco della matematica; nelle sue forme più astratte, la geometria degli schemi , ha collegamenti con vari argomenti della teoria delle stringhe .

frattali

A volte si dice che i frattali sono invarianti di scala, anche se più precisamente si dovrebbe dire che sono auto-similari . Un frattale è uguale a se stesso in genere solo per un insieme discreto di valori λ , e anche allora potrebbe essere necessario applicare una traslazione e una rotazione per abbinare il frattale a se stesso.

Così, ad esempio, la curva di Koch scala con ∆ = 1 , ma la scala vale solo per valori di λ = 1/3 ⁿ per n intero . Inoltre, la curva di Koch scala non solo all'origine, ma, in un certo senso, "ovunque": copie in miniatura di se stessa si possono trovare lungo tutta la curva.

Alcuni frattali possono avere più fattori di scala in gioco contemporaneamente; tale scaling viene studiato con l' analisi multifrattale .

I raggi periodici esterni ed interni sono curve invarianti.

Invarianza di scala nei processi stocastici

Se P ( f ) è la potenza media attesa alla frequenza f , il rumore si ridimensiona come

${\ Displaystyle P (f) = \ lambda ^ {-\ Delta } P (\ lambda f)}$

con Δ = 0 per il rumore bianco , Δ = −1 per il rumore rosa , e Δ = -2 per il rumore browniano (e più in generale, moto browniano ).

Più precisamente, lo scaling nei sistemi stocastici riguarda la probabilità di scegliere una particolare configurazione dall'insieme di tutte le possibili configurazioni casuali. Questa probabilità è data dalla distribuzione di probabilità .

Esempi di distribuzioni invarianti di scala sono la distribuzione di Pareto e la distribuzione di Zipfian .

Distribuzioni Tweedie invarianti di scala

Le distribuzioni di Tweedie sono un caso speciale dei modelli di dispersione esponenziale , una classe di modelli statistici utilizzati per descrivere le distribuzioni di errore per il modello lineare generalizzato e caratterizzati da chiusura sotto convoluzione additiva e riproduttiva e trasformazione sotto scala. Questi includono una serie di distribuzioni comuni: la distribuzione normale , la distribuzione di Poisson e la distribuzione gamma , così come le distribuzioni più insolite come la distribuzione composta di Poisson-gamma, le distribuzioni stabili positivee le distribuzioni stabili estreme. Conseguentemente alla loro invarianza di scala intrinseca, le variabili casuali di Tweedie Y dimostrano una varianza var( Y ) per significare E( Y ) legge di potenza:

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$,

dove a e p sono costanti positive. Questa variazione rispetto alla legge di potenza è nota nella letteratura fisica come scala di fluttuazione e nella letteratura ecologica come legge di Taylor .

Le sequenze casuali, governate dalle distribuzioni di Tweedie e valutate con il metodo dell'espansione dei bin, mostrano una relazione bicondizionale tra la varianza della legge di potenza media e le autocorrelazioni della legge di potenza . Il teorema di Wiener-Khinchin implica inoltre che per qualsiasi sequenza che mostra una varianza alla legge di potenza media in queste condizioni si manifesterà anche rumore 1/f .

Il teorema di convergenza di Tweedie fornisce una spiegazione ipotetica per l'ampia manifestazione della scalatura delle fluttuazioni e del rumore 1/f . Richiede, in sostanza, che qualsiasi modello di dispersione esponenziale che manifesti asintoticamente una varianza alla legge di potenza media sarà richiesto di esprimere una funzione di varianza che rientri nel dominio di attrazione di un modello di Tweedie. Quasi tutte le funzioni di distribuzione con funzioni generatrici cumulative finite si qualificano come modelli di dispersione esponenziale e la maggior parte dei modelli di dispersione esponenziale manifesta funzioni di varianza di questa forma. Quindi molte distribuzioni di probabilità hanno funzioni di varianza che esprimono questo comportamento asintotico e le distribuzioni di Tweedie diventano focolai di convergenza per un'ampia gamma di tipi di dati.

Proprio come il teorema del limite centrale richiede che alcuni tipi di variabili casuali abbiano come punto focale di convergenza la distribuzione gaussiana ed esprimano il rumore bianco , il teorema di convergenza di Tweedie richiede alcune variabili casuali non gaussiane per esprimere il rumore 1/f e la scala delle fluttuazioni.

Cosmologia

In cosmologia fisica , lo spettro di potenza della distribuzione spaziale del fondo cosmico a microonde è vicino ad essere una funzione invariante di scala. Sebbene in matematica questo significhi che lo spettro è una legge di potenza, in cosmologia il termine "invariante di scala" indica che l'ampiezza, P ( k ) , delle fluttuazioni primordiali in funzione del numero d' onda , k , è approssimativamente costante, cioè uno spettro piatto. Questo modello è coerente con la proposta dell'inflazione cosmica .

Invarianza di scala nella teoria dei campi classica

Teoria di campo classica è genericamente descritto da un campo, o un insieme di campi, φ , che dipendono coordinate, x . Configurazioni di campo valide sono quindi determinate risolvendo le equazioni differenziali per φ , e queste equazioni sono noti come equazioni di campo .

Affinché una teoria sia invariante di scala, le sue equazioni di campo dovrebbero essere invarianti rispetto a un ridimensionamento delle coordinate, combinato con un ridimensionamento specificato dei campi,

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x~,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.}$

Il parametro Δ è noto come la dimensione di scala del campo, e il suo valore dipende dalla teoria in esame. L'invarianza di scala in genere si mantiene a condizione che nella teoria non compaia una scala di lunghezza fissa. Al contrario, la presenza di una scala di lunghezza fissa indica che una teoria non è invariante di scala.

Una conseguenza dell'invarianza di scala è che data una soluzione di un'equazione di campo invariante di scala, possiamo trovare automaticamente altre soluzioni ridimensionando opportunamente sia le coordinate che i campi. In termini tecnici, dato una soluzione, φ ( x ), si ha sempre altre soluzioni della forma

${\ Displaystyle \ lambda ^ {\ Delta } \ varphi (\ lambda x)}$.

Invarianza di scala delle configurazioni di campo

Per una particolare configurazione di campo, φ ( x ), per essere scala-invariante, è necessario che

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta}\varphi (\lambda x)}$

dove Δ è, ancora una volta, la dimensione di scala del campo.

Notiamo che questa condizione è piuttosto restrittiva. In generale, le soluzioni anche di equazioni di campo invarianti di scala non saranno invarianti di scala, e in tali casi si dice che la simmetria è rotta spontaneamente .

Elettromagnetismo classico

Un esempio di una teoria di campo classica invariante di scala è l' elettromagnetismo senza cariche o correnti. I campi sono i campi elettrico e magnetico, E ( x , t ) e B ( x , t ), mentre le loro equazioni di campo sono le equazioni di Maxwell .

Senza cariche o correnti, queste equazioni di campo assumono la forma di equazioni d' onda

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^ {2}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^ {2}}}}$

dove c è la velocità della luce.

Queste equazioni di campo sono invarianti rispetto alla trasformazione

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

Inoltre, date le soluzioni delle equazioni di Maxwell, E ( x , t ) e B ( x , t ), vale che anche E (λ x , λ t ) e B (λ x , λ t ) sono soluzioni.

Teoria del campo scalare senza massa

Un altro esempio di una teoria di campo classica invariante di scala è il campo scalare senza massa (si noti che il nome scalare non è correlato all'invarianza di scala). Il campo scalare, φ ( x , t ) è una funzione di un insieme di variabili spaziali, x , e un tempo variabile, t .

Consideriamo prima la teoria lineare. Come le equazioni del campo elettromagnetico sopra, anche l'equazione del moto per questa teoria è un'equazione d'onda,

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi = 0,}$

ed è invariante rispetto alla trasformazione

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

Il nome senza massa si riferisce all'assenza di un termine nell'equazione di campo. Tale termine viene spesso definito termine di "massa" e interromperebbe l'invarianza sotto la trasformazione di cui sopra. Nelle teorie di campo relativistiche , una scala di massa, m è fisicamente equivalente a una scala di lunghezza fissa attraverso ${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

e quindi non dovrebbe sorprendere che la teoria dei campi scalari massivi non sia invariante di scala.

φ ⁴ teoria

Le equazioni di campo negli esempi sono indicati lineare nei campi, che ha fatto sì che la dimensione di scala , Δ , non è stato così importante. Tuttavia, di solito richiede che il campo scalare azione è adimensionale, e questo risolve il dimensione di scala di φ . In particolare,

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}},}$

dove D è il numero combinato di dimensioni spaziali e temporali.

Data questa dimensione di scala per φ , ci sono alcune modifiche non lineari della teoria massless campo scalare che sono anche scala-invariante. Un esempio è priva di massa φ ⁴ teoria per D = 4. L'equazione di campo è

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi + g\varphi ^{3}=0.}$

(Si noti che il nome φ ⁴ deriva dalla forma della Lagrangiana , che contiene la quarta potenza di φ .)

Quando D =4 (ad es. tre dimensioni spaziali e una dimensione temporale), la dimensione di scala del campo scalare è Δ =1. L'equazione di campo è quindi invariante sotto la trasformazione

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t,}$

${\displaystyle \varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).}$

Il punto chiave è che il parametro g deve essere adimensionale, altrimenti si introduce una scala di lunghezza fissa nella teoria: Per la teoria φ ⁴ , questo è solo il caso in D =4. Si noti che sotto queste trasformazioni l'argomento della funzione φ rimane invariato.

Invarianza di scala nella teoria quantistica dei campi

La dipendenza dalla scala di una teoria quantistica dei campi (QFT) è caratterizzata dal modo in cui i suoi parametri di accoppiamento dipendono dalla scala energetica di un dato processo fisico. Questa dipendenza energetica è descritta dal gruppo di rinormalizzazione ed è codificata nelle funzioni beta della teoria.

Perché un QFT sia invariante di scala, i suoi parametri di accoppiamento devono essere indipendenti dalla scala di energia, e questo è indicato dalla scomparsa delle funzioni beta della teoria. Tali teorie sono anche note come punti fissi del corrispondente flusso del gruppo di rinormalizzazione.

Elettrodinamica quantistica

Un semplice esempio di QFT invariante di scala è il campo elettromagnetico quantizzato senza particelle cariche. Questa teoria in realtà non ha parametri di accoppiamento (poiché i fotoni sono privi di massa e non interagenti) ed è quindi invariante di scala, proprio come la teoria classica.

Tuttavia, in natura il campo elettromagnetico è accoppiato a particelle cariche, come gli elettroni . La QFT che descrive le interazioni di fotoni e particelle cariche è l'elettrodinamica quantistica (QED) e questa teoria non è invariante di scala. Possiamo vederlo dalla funzione beta QED . Questo ci dice che la carica elettrica (che è il parametro di accoppiamento nella teoria) aumenta con l'aumentare dell'energia. Pertanto, mentre il campo elettromagnetico quantizzato senza particelle cariche è invariante di scala, QED non è invariante di scala.

Teoria del campo scalare senza massa

La teoria dei campi scalari quantizzati liberi e privi di massa non ha parametri di accoppiamento. Pertanto, come la versione classica, è invariante di scala. Nel linguaggio del gruppo di rinormalizzazione, questa teoria è nota come punto fisso gaussiano .

Tuttavia, anche se la teoria classica senza massa φ ⁴ è invariante di scala in D = 4, la versione quantizzata non è invariante di scala. Possiamo vederlo dalla funzione beta per il parametro di accoppiamento, g .

Anche se la massa nulla quantizzato φ ⁴ non è scala-invariante, non esistono scala-invariante quantizzato teorie scalari diversi gaussiana punto fisso. Un esempio è il punto fisso Wilson-Fisher , sotto.

Teoria del campo conforme

I QFT invarianti di scala sono quasi sempre invarianti sotto la piena simmetria conforme e lo studio di tali QFT è la teoria del campo conforme (CFT). Gli operatori in un CFT hanno una dimensione di scala ben definita , analoga alla dimensione di scala , ∆ , di un campo classico discusso sopra. Tuttavia, le dimensioni di scala degli operatori in un CFT differiscono tipicamente da quelle dei campi nella corrispondente teoria classica. I contributi aggiuntivi che compaiono nel CFT sono noti come dimensioni di ridimensionamento anomale .

Anomalie di scala e conformi

L' esempio della teoria φ ⁴ sopra dimostra che i parametri di accoppiamento di una teoria quantistica dei campi possono essere dipendenti dalla scala anche se la corrispondente teoria dei campi classica è invariante di scala (o conforme invariante). Se questo è il caso, l'invarianza di scala classica (o conforme) si dice anomala . Una teoria di campo invariante di scala classica, in cui l'invarianza di scala è interrotta da effetti quantistici, fornisce una spiegazione dell'espansione quasi esponenziale dell'universo primordiale chiamata inflazione cosmica , purché la teoria possa essere studiata attraverso la teoria delle perturbazioni .

Transizioni di fase

In meccanica statistica , quando un sistema subisce una transizione di fase , le sue fluttuazioni sono descritte da una teoria del campo statistico invariante di scala . Per un sistema in equilibrio (cioè indipendente dal tempo) in D dimensioni spaziali, la corrispondente teoria del campo statistico è formalmente simile a una CFT D -dimensionale. Le dimensioni di scala in tali problemi sono solitamente indicate come esponenti critici e in linea di principio si possono calcolare questi esponenti nel CFT appropriato.

Il modello di Ising

Un esempio che collega molte delle idee in questo articolo è la transizione di fase del modello di Ising , un semplice modello di sostanze ferromagnetiche . Questo è un modello di meccanica statistica, che ha anche una descrizione in termini di teoria del campo conforme. Il sistema è costituito da una serie di siti reticolari, che formano un reticolo periodico D- dimensionale. Associato a ciascun sito reticolare è un momento magnetico , o spin , e questo spin può assumere il valore +1 o -1. (Questi stati sono anche chiamati rispettivamente su e giù.)

Il punto chiave è che il modello di Ising ha un'interazione spin-spin, il che rende energeticamente favorevole l'allineamento di due spin adiacenti. D'altra parte, le fluttuazioni termiche introducono tipicamente una casualità nell'allineamento degli spin. Ad una certa temperatura critica, T _c , si dice che avvenga la magnetizzazione spontanea . Ciò significa che al di sotto di T _c l'interazione spin-spin inizierà a dominare, e c'è un certo allineamento netto di spin in una delle due direzioni.

Un esempio del tipo di quantità fisiche che si vorrebbe calcolare a questa temperatura critica è la correlazione tra gli spin separati da una distanza r . Questo ha il comportamento generico:

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

per un valore particolare di , che è un esempio di esponente critico. ${\displaystyle\eta}$

Descrizione CFT

Le fluttuazioni alla temperatura T _c sono invarianti di scala, e quindi il modello di Ising a questa transizione di fase dovrebbe essere descritto da una teoria di campo statistica invariante di scala. In realtà, questa teoria è il punto fisso di Wilson-Fisher , una particolare teoria del campo scalare invariante di scala .

In questo contesto, G ( r ) è inteso come una funzione di correlazione di campi scalari,

${\displaystyle \langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.}$

Ora possiamo mettere insieme alcune delle idee già viste.

Da quanto sopra, si vede che l'esponente critico, η , per questa transizione di fase, è anche una dimensione anomala . Questo perché la dimensione classica del campo scalare,

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}}$

viene modificato per diventare

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},}$

dove D è il numero di dimensioni del reticolo del modello di Ising.

Quindi questa dimensione anomala nella teoria del campo conforme è la stessa di un particolare esponente critico della transizione di fase del modello di Ising.

Si noti che per dimensione D ≡ 4- ε , η può essere calcolato approssimativamente, usando l' espansione epsilon , e si trova che

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})}$.

Nel caso fisicamente interessante di tre dimensioni spaziali, abbiamo ε =1, e quindi questa espansione non è strettamente affidabile. Tuttavia, una previsione semi-quantitativa è che η è numericamente piccolo in tre dimensioni.

Nel caso bidimensionale, invece, il modello di Ising è esattamente solubile. In particolare, è equivalente a uno dei modelli minimi , una famiglia di CFT ben compresa, ed è possibile calcolare esattamente η (e gli altri esponenti critici),

${\displaystyle \eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}}$.

Evoluzione di Schramm-Loewner

Le dimensioni anomale in alcuni CFT bidimensionali possono essere correlate alle tipiche dimensioni frattali delle passeggiate casuali, dove le passeggiate casuali sono definite tramite l'evoluzione di Schramm-Loewner (SLE). Come abbiamo visto sopra, i CFT descrivono la fisica delle transizioni di fase, e quindi si possono mettere in relazione gli esponenti critici di alcune transizioni di fase a queste dimensioni frattali. Gli esempi includono il 2 d modello di Ising critico e il più generale 2 d critici Potts modello . Correlare altri 2 d CFT a SLE è un'area di ricerca attiva.

Universalità

Un fenomeno noto come universalità è osservato in una grande varietà di sistemi fisici. Esprime l'idea che fisica microscopica diversa può dare origine allo stesso comportamento di scala in una transizione di fase. Un esempio canonico di universalità coinvolge i seguenti due sistemi:

• La transizione di fase del modello di Ising , descritta sopra.
• La transizione liquido - vapore nei fluidi classici.

Anche se la fisica microscopica di questi due sistemi è completamente diversa, i loro esponenti critici risultano essere gli stessi. Inoltre, si possono calcolare questi esponenti utilizzando la stessa teoria statistica dei campi. L'osservazione chiave è che in una transizione di fase o punto critico , le fluttuazioni si verificano su tutte le scale di lunghezza, e quindi si dovrebbe cercare una teoria del campo statistico invariante di scala per descrivere i fenomeni. In un certo senso, l'universalità è l'osservazione che ci sono relativamente poche teorie di scala invariante.

L'insieme di diverse teorie microscopiche descritte dalla stessa teoria degli invarianti di scala è noto come classe di universalità . Altri esempi di sistemi che appartengono a una classe di universalità sono:

• Valanghe in cumuli di sabbia. La probabilità di una valanga è in proporzione alla legge di potenza alla dimensione della valanga e si osserva che si verificano valanghe a tutte le scale di grandezza.
• La frequenza delle interruzioni di rete su Internet , in funzione delle dimensioni e della durata.
• La frequenza delle citazioni di articoli di riviste, considerata nella rete di tutte le citazioni tra tutti gli articoli, in funzione del numero di citazioni in un determinato articolo.
• La formazione e la propagazione di crepe e strappi in materiali che vanno dall'acciaio alla roccia alla carta. Le variazioni della direzione dello strappo, o la rugosità di una superficie fratturata, sono in proporzione alla legge di potenza rispetto alla scala dimensionale.
• La rottura elettrica dei dielettrici , che assomigliano a crepe e strappi.
• La percolazione di fluidi attraverso mezzi disordinati, come petrolio attraverso letti rocciosi fratturati, o acqua attraverso carta da filtro, come nella cromatografia . La scala della legge di potenza collega la velocità del flusso alla distribuzione delle fratture.
• La diffusione delle molecole in soluzione e il fenomeno dell'aggregazione per diffusione limitata .
• La distribuzione di rocce di diverse dimensioni in una miscela aggregata che viene agitata (con la gravità che agisce sulle rocce).

L'osservazione chiave è che, per tutti questi diversi sistemi, il comportamento assomiglia a una transizione di fase e che il linguaggio della meccanica statistica e della teoria dei campi statistici invarianti di scala può essere applicato per descriverli.

Altri esempi di invarianza di scala

Meccanica dei fluidi newtoniana senza forze applicate

In determinate circostanze, la meccanica dei fluidi è una teoria di campo classica invariante di scala. I campi sono la velocità del flusso del fluido, , la densità del fluido , e la pressione del fluido, . Questi campi devono soddisfare sia l' equazione di Navier-Stokes che l' equazione di continuità . Per un fluido newtoniano questi assumono le rispettive forme ${\ Displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x}, t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x},t)}$${\displaystyle P(\mathbf {x},t)}$

${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left( \nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial\rho}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

dove è la viscosità dinamica . ${\displaystyle\mu}$

Per dedurre l'invarianza di scala di queste equazioni si specifica un'equazione di stato , che mette in relazione la pressione del fluido con la densità del fluido. L'equazione di stato dipende dal tipo di fluido e dalle condizioni a cui è sottoposto. Ad esempio, consideriamo il gas ideale isotermico , che soddisfa

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho,}$

dove è la velocità del suono nel fluido. Data questa equazione di stato, Navier-Stokes e l'equazione di continuità sono invarianti sotto le trasformazioni ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u}.}$

Date le soluzioni e , abbiamo automaticamente che e sono anche soluzioni. ${\ Displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {x}, t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x},t)}$${\ Displaystyle \ lambda \ mathbf {u} (\ lambda \ mathbf {x}, \ lambda ^ {2}t)}$${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x},\lambda ^{2}t)}$

Visione computerizzata

Nella visione artificiale e nella visione biologica , le trasformazioni di scala sorgono a causa della mappatura dell'immagine prospettica e a causa di oggetti che hanno dimensioni fisiche diverse nel mondo. In queste aree, l'invarianza di scala si riferisce a descrittori di immagine locali o rappresentazioni visive dei dati dell'immagine che rimangono invarianti quando viene modificata la scala locale nel dominio dell'immagine. Il rilevamento di massimi locali su scale di risposte derivate normalizzate fornisce un quadro generale per ottenere l'invarianza di scala dai dati di immagine. Esempi di applicazioni includono il rilevamento di blob , rilevamento angolo , rilevamento cresta , e il riconoscimento di oggetti tramite la funzione di scala-invariante trasformare .

Guarda anche

• Potenziale quadrato inverso
• legge di potenza
• Rete senza scale

Riferimenti

Ulteriori letture

• Zinn-Justin, Jean (2002). Teoria quantistica dei campi e fenomeni critici . La stampa dell'università di Oxford. Ampia discussione sull'invarianza di scala nelle teorie di campo quantistiche e statistiche, applicazioni ai fenomeni critici e all'espansione di epsilon e argomenti correlati.
• Di Francesco, P.; Mathieu, P.; Senechal, D. (1997). Teoria del campo conforme . Springer-Verlag.
• Mussardo, G. (2010). Teoria del campo statistico. Un'introduzione a modelli di fisica statistica risolti esattamente . La stampa dell'università di Oxford.