Ridimensionamento (geometria) - Scaling (geometry)

Ogni iterazione del triangolo di Sierpinski contiene triangoli relativi all'iterazione successiva con un fattore di scala di 1/2

Nella geometria euclidea , la scalatura uniforme (o scala isotropica ) è una trasformazione lineare che allarga (aumenta) o riduce (diminuisce) gli oggetti di un fattore di scala che è lo stesso in tutte le direzioni. Il risultato della scalatura uniforme è simile (in senso geometrico) all'originale. Normalmente è consentito un fattore di scala 1, in modo che anche le forme congruenti siano classificate come simili. Il ridimensionamento uniforme si verifica, ad esempio, quando si ingrandisce o si riduce una fotografia o quando si crea un modello in scala di un edificio, un'auto, un aereo, ecc.

Più generale è il ridimensionamento con un fattore di scala separato per ciascuna direzione dell'asse. Scalatura non uniforme ( anisotropo scalatura ) si ottiene quando almeno uno dei fattori di scala è diverso dagli altri; un caso speciale è il ridimensionamento o l' allungamento direzionale (in una direzione). Il ridimensionamento non uniforme modifica la forma dell'oggetto; es. un quadrato può trasformarsi in un rettangolo, o in un parallelogramma se i lati del quadrato non sono paralleli agli assi di scala (gli angoli tra le linee parallele agli assi vengono mantenuti, ma non tutti gli angoli). Si verifica, ad esempio, quando un cartellone lontano viene visto da un'angolazione obliqua , oppure quando l'ombra di un oggetto piatto cade su una superficie ad esso non parallela.

Quando il fattore di scala è maggiore di 1, il ridimensionamento (uniforme o non uniforme) viene talvolta chiamato anche dilatazione o ingrandimento . Quando il fattore di scala è un numero positivo inferiore a 1, il ridimensionamento è talvolta chiamato anche contrazione .

Nel senso più generale, una scala include il caso in cui le direzioni di scala non sono perpendicolari. Comprende anche il caso in cui uno o più fattori di scala siano uguali a zero ( proiezione ), e il caso di uno o più fattori di scala negativi (una scalatura direzionale di -1 equivale a una riflessione ).

Lo scaling è una trasformazione lineare e un caso speciale di trasformazione omotetica . Nella maggior parte dei casi, le trasformazioni omotetiche sono trasformazioni non lineari.

Rappresentazione matriciale

Un ridimensionamento può essere rappresentato da una matrice di ridimensionamento . Per ridimensionare un oggetto con un vettore v = ( v _x , v _y , v _z ), ogni punto p = ( p _x , p _y , p _z ) dovrebbe essere moltiplicato con questa matrice di scala:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.}$

Come mostrato di seguito, la moltiplicazione darà il risultato atteso:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x }\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z} p_{z}\end{bmatrice}}.}$

Tale ridimensionamento modifica il diametro di un oggetto di un fattore tra i fattori di scala, l' area di un fattore tra il prodotto più piccolo e il più grande di due fattori di scala e il volume del prodotto di tutti e tre.

La scalatura è uniforme se e solo se i fattori di scala sono uguali ( v _x = v _y = v _z ). Se tutti tranne uno dei fattori di scala sono uguali a 1, abbiamo la scala direzionale.

Nel caso in cui v _x = v _y = v _z = k , il ridimensionamento aumenta l'area di qualsiasi superficie di un fattore k ² e il volume di qualsiasi oggetto solido di un fattore k ³ .

Ridimensionamento in dimensioni arbitrarie

Nello spazio dimensionale , la scalatura uniforme di un fattore si ottiene moltiplicando scalare con , cioè moltiplicando ogni coordinata di ciascun punto per . Come caso particolare di trasformazione lineare, si può ottenere anche moltiplicando ogni punto (visto come vettore colonna) con una matrice diagonale i cui ingressi sulla diagonale sono tutti uguali a , cioè . ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle vI}$

La scalatura non uniforme si ottiene moltiplicando con qualsiasi matrice simmetrica . Gli autovalori della matrice sono i fattori di scala e gli autovettori corrispondenti sono gli assi lungo i quali si applica ciascun fattore di scala. Un caso speciale è una matrice diagonale, con numeri arbitrari lungo la diagonale: gli assi di scala sono quindi gli assi delle coordinate e le scale di trasformazione lungo ciascun asse per il fattore . ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots v_{n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

Nella scalatura uniforme con un fattore di scala diverso da zero, tutti i vettori diversi da zero mantengono la loro direzione (come visto dall'origine) o tutti hanno la direzione invertita, a seconda del segno del fattore di scala. Nella scalatura non uniforme solo i vettori che appartengono a un autospazio manterranno la loro direzione. Un vettore che è la somma di due o più vettori diversi da zero appartenenti a differenti autospazi sarà inclinato verso l'autospazio con autovalore più grande.

Usando coordinate omogenee

Nella geometria proiettiva , spesso utilizzata in computer grafica , i punti sono rappresentati utilizzando coordinate omogenee . Per scalare un oggetto con un vettore v = ( v _x , v _y , v _z ), ogni vettore di coordinate omogeneo p = ( p _x , p _y , p _z , 1) dovrebbe essere moltiplicato con questa matrice di trasformazione proiettiva :

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Come mostrato di seguito, la moltiplicazione darà il risultato atteso:

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_ {x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\ \v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Poiché l'ultimo componente di una coordinata omogenea può essere visto come il denominatore degli altri tre componenti, è possibile ottenere una scalatura uniforme mediante un fattore comune s (ridimensionamento uniforme) utilizzando questa matrice di scala:

${\displaystyle S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.}$

Per ogni vettore p = ( p _x , p _y , p _z , 1) avremmo

${\displaystyle S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x }\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},}$

che sarebbe equivalente a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.}$

Funzione dilatazione e contrazione

Dato un punto , la dilatazione lo associa al punto tramite le equazioni ${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle P'(x',y')}$

${\displaystyle {\begin{casi}x'=mx\\y'=ny\end{casi}}}$per .${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} ^{+}}$

Pertanto, data una funzione , l'equazione della funzione dilatata è ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).}$

Casi particolari

Se , la trasformazione è orizzontale; quando , è una dilatazione, quando , è una contrazione. ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle m<1}$

Se , la trasformazione è verticale; quando è una dilatazione, quando è una contrazione. ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n<1}$

Se o , la trasformazione è una mappatura di compressione . ${\displaystyle m=1/n}$${\displaystyle n=1/m}$

Guarda anche

• Dilatazione (spazio metrico)
• Funzione omogenea
• Trasformazione omotetica
• Scala (rapporto)
• Scala (mappa)
• Scale di modelli in scala
• Scala (disambigua)
• Ridimensionamento in gravità
• Mappatura di compressione
• Matrice di trasformazione

Note a piè di pagina

link esterno

• Comprensione del ridimensionamento 2D e Comprensione del ridimensionamento 3D di Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .