Auto-similarità - Self-similarity

Una curva di Koch ha un'autosomiglianza che si ripete all'infinito quando viene ingrandita.

Auto-similarità standard (banale).

In matematica , un oggetto autosimilare è esattamente o approssimativamente simile a una parte di se stesso (cioè, il tutto ha la stessa forma di una o più parti). Molti oggetti nel mondo reale, come le coste , sono statisticamente auto-simili: parti di essi mostrano le stesse proprietà statistiche a molte scale. L'autosimilarità è una proprietà tipica dei frattali . L'invarianza di scala è una forma esatta di autosomiglianza in cui a qualsiasi ingrandimento c'è un pezzo più piccolo dell'oggetto che è simile al tutto. Ad esempio, un lato del fiocco di neve di Koch è sia simmetrico che invariante di scala; può essere continuamente ingrandito 3 volte senza cambiare forma. La somiglianza non banale evidente nei frattali si distingue per la loro struttura fine, o dettaglio su scale arbitrariamente piccole. Come controesempio , mentre qualsiasi porzione di una linea retta può assomigliare all'insieme, non vengono rivelati ulteriori dettagli.

Si dice che un fenomeno che si sviluppa nel tempo esibisce auto-similarità se il valore numerico di una certa quantità osservabile misurata in tempi diversi è diverso ma la corrispondente quantità adimensionale a un dato valore di rimane invariante. Succede se la quantità mostra un ridimensionamento dinamico . L'idea è solo un'estensione dell'idea di somiglianza di due triangoli. Si noti che due triangoli sono simili se i valori numerici dei loro lati sono diversi, tuttavia le corrispondenti quantità adimensionali, come i loro angoli, coincidono. ${\displaystyle f(x,t)}$${\displaystyle x/t^{z}}$${\displaystyle f(x,t)}$

Peitgen et al. spiega il concetto in questo modo:

Se le parti di una figura sono piccole repliche del tutto, allora la figura è detta autosimilare ....Una figura è strettamente autosimilare se la figura può essere scomposta in parti che sono repliche esatte dell'intero. Ogni parte arbitraria contiene una replica esatta dell'intera figura.

Poiché matematicamente, un frattale può mostrare autosomiglianza sotto ingrandimento indefinito, è impossibile ricrearlo fisicamente. Peitgen et al. suggerire di studiare l'autosomiglianza usando approssimazioni:

Per dare un significato operativo alla proprietà di autosimilarità, ci si limita necessariamente a trattare approssimazioni finite della figura limite. Questo viene fatto usando il metodo che chiameremo box autosimilarità in cui le misurazioni vengono effettuate su stadi finiti della figura utilizzando griglie di varie dimensioni.

Questo vocabolario è stato introdotto da Benoit Mandelbrot nel 1964.

auto-affinità

Un frattale autoaffine con dimensione di Hausdorff = 1,8272.

In matematica , l' autoaffinità è una caratteristica di un frattale i cui pezzi sono ridimensionati di quantità diverse nelle direzioni x e y. Ciò significa che per apprezzare l'autosomiglianza di questi oggetti frattali, devono essere ridimensionati utilizzando una trasformazione affine anisotropa .

Definizione

Un compatto spazio topologico X è auto-similare se esiste un insieme finito S indicizzare una serie di non suriettive omeomorfismi per cui ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Se , chiamiamo X autosimilare se è l'unico sottoinsieme non vuoto di Y tale che l'equazione precedente vale per . Noi chiamiamo ${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle \{f_{s}:s\in S\}}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})}$

una struttura auto-similare . Gli omeomorfismi possono essere iterati , risultando in un sistema di funzioni iterate . La composizione delle funzioni crea la struttura algebrica di un monoide . Quando l'insieme S ha solo due elementi, il monoide è detto monoide diadico . Il monoide diadico può essere visualizzato come un albero binario infinito ; più in generale, se l'insieme S ha p elementi, allora il monoide può essere rappresentato come un albero p-adico .

L' automorfismo del monoide diadico è il gruppo modulare ; gli automorfismi possono essere rappresentati come rotazioni iperboliche dell'albero binario.

Una nozione più generale di auto-similarità è auto-affinità .

Esempi

Auto-similarità nel Mandelbrot set mostrato con lo zoom in sul punto Feigenbaum a (-1,401155189 ..., 0)

Un'immagine della felce di Barnsley che mostra un'affine autosomiglianza

L' insieme di Mandelbrot è anche autosimile intorno ai punti di Misiurewicz .

L'autosimilarità ha importanti conseguenze per la progettazione delle reti di computer, poiché il traffico di rete tipico ha proprietà autosimili. Ad esempio, nell'ingegneria del teletraffico , i modelli di traffico dati a commutazione di pacchetto sembrano essere statisticamente auto-simili. Questa proprietà significa che i modelli semplici che utilizzano una distribuzione di Poisson sono imprecisi e che è probabile che le reti progettate senza tenere in considerazione l'autosimilarità funzionino in modi imprevisti.

Allo stesso modo, i movimenti del mercato azionario sono descritti come mostrano auto-affinità , cioè appaiono auto-similari quando trasformati tramite un'appropriata trasformazione affine per il livello di dettaglio mostrato. Andrew Lo descrive l'autosomiglianza del rendimento del registro del mercato azionario in econometria .

Le regole di suddivisione finita sono una tecnica potente per costruire insiemi autosimilari, inclusi l' insieme di Cantor e il triangolo di Sierpinski .

Un triangolo suddiviso ripetutamente utilizzando la suddivisione baricentrica . Il complemento dei grandi cerchi diventa un tappeto Sierpinski

Nella cibernetica

Il modello di sistema vitale di Stafford Beer è un modello organizzativo con una gerarchia affine auto-similare, in cui un dato sistema vitale è un elemento del Sistema Uno di un sistema vitale un livello ricorsivo più in alto, e per il quale gli elementi del suo Sistema Uno sono sistemi vitali un livello ricorsivo più in basso.

In natura

Primo piano di un broccolo romanesco .

L'autosomiglianza si può trovare anche in natura. A destra c'è un'immagine di una felce generata matematicamente, perfettamente auto-simile , che ha una marcata somiglianza con le felci naturali. Altre piante, come il broccolo romanesco , mostrano una forte autosomiglianza.

Nella musica

• I canoni rigorosi mostrano vari tipi e quantità di autosomiglianza, così come le sezioni delle fughe .
• Un tono di Shepard è auto-simile nei domini della frequenza o della lunghezza d'onda.
• Il compositore danese Per Nørgård ha fatto uso di una sequenza intera autosimilare chiamata "serie infinita" in gran parte della sua musica.
• Nel campo della ricerca sul recupero delle informazioni musicali , l'autosomiglianza si riferisce comunemente al fatto che la musica spesso consiste di parti che si ripetono nel tempo. In altre parole, la musica è autosimilare sotto la traduzione temporale, piuttosto che (o in aggiunta a) sotto il ridimensionamento.

Guarda anche

Riferimenti

link esterno

• "Copperplate Chevrons" — un film zoom frattale autosimile
• "Autosimilarità" — Nuovi articoli sull'autosomiglianza. Algoritmo valzer

auto-affinità

• Mandelbrot, Benoit B. (1985). "Autoaffinità e dimensione frattale" (PDF) . Fisica Scripta . 32 (4): 257-260. Bibcode : 1985PhyS...32..257M . doi : 10.1088/0031-8949/32/4/001 .
• Sapozhnikov, Victor; Foufoula-Georgiou, Efi (maggio 1996). "Autoaffinità nei fiumi intrecciati" (PDF) . Ricerca sulle risorse idriche . 32 (5): 1429–1439. doi : 10.1029/96wr00490 . Archiviato (PDF) dall'originale il 30 luglio 2018 . Estratto il 30 luglio 2018 .
• Benoît B. Mandelbrot (2002). Autoaffinità gaussiana e frattali: Globalità, Terra, Rumore 1/F e R/S . ISBN 978-0387989938.