modello STELLA - STAR model

Funzione di transizione esponenziale per il modello ESTAR con variazione da -10 a +10 e - da 0 a 1.${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle\zeta}$

In statistiche , transizione graduale autoregressiva ( STAR ) modelli sono tipicamente applicata a serie temporali di dati come un'estensione del modello lineare autoregressivo , al fine di consentire una maggiore flessibilità nei parametri del modello attraverso una transizione graduale .

Data una serie temporale di dati x _t , il modello STAR è uno strumento per comprendere e, forse, prevedere valori futuri in questa serie, assumendo che il comportamento della serie cambi a seconda del valore della variabile di transizione . La transizione potrebbe dipendere dai valori passati della serie x (simile ai modelli SETAR ), o da variabili esogene.

Il modello è composto da 2 parti autoregressive (AR) collegate dalla funzione di transizione. Il modello è solitamente indicato come i modelli STAR ( p ) preceduti dalla lettera che descrive la funzione di transizione (vedi sotto) e p è l'ordine della parte autoregressiva . La funzione di transizione più popolare include la funzione esponenziale e le funzioni logistiche del primo e del secondo ordine. Danno origine ai modelli Logistic STAR ( LSTAR ) ed Exponential STAR ( ESTAR ).

Definizione

Modelli AutoRegressivi

Consideriamo un semplice modello AR( p ) per una serie temporale y _t

${\displaystyle y_{t}=\gamma _{0}+\gamma _{1}y_{t-1}+\gamma _{2}y_{t-2}+...+\gamma _{p }y_{tp}+\epsilon _{t}.\,}$

dove:

${\displaystyle \gamma _{i}\,}$per i =1,2,..., p sono coefficienti autoregressivi , assunti costanti nel tempo;

${\displaystyle \epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;\sigma ^{2})\,}$sta per termine di errore del rumore bianco con varianza costante .

scritto nella seguente forma vettoriale:

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}.\,}$

dove:

${\displaystyle \mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2},\ldots,y_{tp})\,}$ è un vettore colonna di variabili;

${\displaystyle \gamma \,}$è il vettore dei parametri : ;${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{p}\,}$

${\displaystyle \epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;1)\,}$sta per termine di errore del rumore bianco con varianza costante .

Funzione di transizione esponenziale per il modello ESTAR con variazione da -10 a +10, da 0 a 1 e due radici esponenziali ( e ) pari a -7 e +3.${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle\zeta}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$

STAR come estensione del modello autoregressivo

I modelli STAR sono stati introdotti e sviluppati in modo completo da Kung-sik Chan e Howell Tong nel 1986 (esp. p. 187), in cui è stato utilizzato lo stesso acronimo. Originariamente sta per Smooth Threshold AutoRegressive. Per un po' di storia di fondo, vedere Tong (2011, 2012). I modelli possono essere pensati in termini di estensione dei modelli autoregressivi discussi sopra, consentendo cambiamenti nei parametri del modello in base al valore della variabile di transizione debolmente esogena z _t . Per i test dei modelli TAR rispetto ai modelli STAR, vedere Gao, Ling e Tong (2018, Statistica Sinica, volume 28, 2857-2883).

Definito in questo modo, il modello STAR può essere presentato come segue:

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}} +G(z_{t},\zeta,c)\mathbf {X_{t}} +\sigma ^{(j)}\epsilon _{ T}\,}$

dove:

${\displaystyle X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2},...,y_{tp})\,}$ è un vettore colonna di variabili;

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)}$ è la funzione di transizione limitata tra 0 e 1.

Struttura basilare

Possono essere intesi come modello SETAR a due regimi con transizione graduale tra regimi o come continuum di regimi. In entrambi i casi la presenza della funzione di transizione è la caratteristica distintiva del modello in quanto consente variazioni dei valori dei parametri.

Funzione di transizione

Funzione di transizione logistica per il modello ESTAR con variazione da -10 a +10 e - da 0 a 1. Calcolata utilizzando il pacchetto GNU R. .${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle\zeta}$

Tre funzioni di transizione di base e il nome dei modelli risultanti sono:

• funzione logistica del primo ordine - risultati nel modello Logistic STAR ( LSTAR ):

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta (z_{t}-c)))^{-1},\zeta >0}$

• funzione esponenziale - risultati nel modello Exponential STAR ( ESTAR ):

${\displaystyle G(z_{t},\zeta,c)=1-exp(-\zeta (z_{t}-c)^{2}),\zeta >0}$

• funzione logistica di secondo ordine:

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta (z_{t}-c_{1})(z_{t}-c_{2})))^{ -1},\zeta >0}$

Guarda anche

• Caratterizzazioni della funzione esponenziale
• Crescita esponenziale
• elevazione a potenza
• Funzione logistica generalizzata
• Distribuzione logistica
• Modelli SETAR

Riferimenti

• Chan, KS; Tong, H. (1986). "Sulla stima delle soglie nei modelli autoregressivi". Journal of Time Series Analysis . 7 (3): 178–190. doi : 10.1111/j.1467-9892.1986.tb00501.x .
• Van Dijk, D.; Terasvirta, T.; Franses, PH (2002). "Modelli autoregressivi a transizione graduale: un'indagine sugli sviluppi recenti" . Recensioni econometriche . 21 (1): 1–47. doi : 10.1081/ETC-120008723 .
• Tong, H. (2011). "Modelli soglia nell'analisi delle serie temporali—30 anni dopo (con discussioni di P. Whittle, M. Rosenblatt, BE Hansen, P. Brockwell, NI Samia e F. Battaglia)" (PDF) . Statistiche e sua interfaccia . 4 (2): 107-118. doi : 10.4310/SII.2011.v4.n2.a1 .
• Hansen, BE (2011). "Autoregressione di soglia in economia" (PDF) . Statistiche e sua interfaccia . 4 (2): 123-127. doi : 10.4310/sii.2011.v4.n2.a4 .
• Tong, H. (2012). "Discussione di 'Un'analisi del riscaldamento globale nella regione alpina basata su modelli di serie temporali non lineari non stazionari' di Battaglia e Protopapa" (PDF) . Metodi statistici e applicazioni . 21 (3): 335-339. doi : 10.1007/s10260-012-0196-1 .