Legge di Stefan-Boltzmann - Stefan–Boltzmann law

Grafico di una funzione dell'energia totale emessa da un corpo nero proporzionale alla sua temperatura termodinamica . In blu è un'energia totale secondo l' approssimazione di Wien ,${\displaystyle j^{\star }}$${\displaystyle T\,}$${\displaystyle j_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\circa 0,924\,\sigma T^{4}\!\,}$

La legge di Stefan-Boltzmann descrive la potenza irradiata da un corpo nero in termini di temperatura . In particolare, la legge di Stefan-Boltzmann afferma che l' energia totale irradiata per unità di superficie di un corpo nero attraverso tutte le lunghezze d'onda per unità di tempo (nota anche come emittanza radiante del corpo nero ) è direttamente proporzionale alla quarta potenza della termodinamica del corpo nero temperatura T : ${\displaystyle j^{\star }}$

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}.}$

La costante di proporzionalità σ , chiamata costante di Stefan-Boltzmann , è derivata da altre costanti fisiche note . Dal 2019 , il valore della costante è

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670374\ldots \times 10^{-8}\, \mathrm {W\,m^{-2}\,K^{-4}} ,}$

dove k è la costante di Boltzmann , h è la costante di Planck e c è la velocità della luce nel vuoto . La radianza da un angolo di vista specificato (watt per metro quadrato per steradiante ) è data da

${\displaystyle L={\frac {j^{\star }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}T^{4}.}$

Un corpo che non assorbe tutta la radiazione incidente (noto anche come corpo grigio) emette meno energia totale di un corpo nero ed è caratterizzato da un'emissività , : ${\displaystyle \varepsilon <1}$

${\displaystyle j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.}$

L'emittanza radiante ha dimensioni di flusso di energia (energia per unità di tempo per unità di area) e le unità di misura SI sono joule al secondo per metro quadrato, o equivalentemente, watt per metro quadrato. L'unità SI per la temperatura assoluta T è il kelvin . è l' emissività del corpo grigio; se è un corpo nero perfetto, . Nel caso ancora più generale (e realistico), l'emissività dipende dalla lunghezza d'onda, . ${\displaystyle j^{\star }}$${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle \varepsilon =1}$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\lambda)}$

Per trovare la potenza totale irradiata da un oggetto, moltiplicare per la sua superficie, : ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P=Aj^{\star }=A\varepsilon \sigma T^{4}.}$

Le particelle, i metamateriali e altre nanostrutture a scala di lunghezza d'onda e di lunghezza d'onda inferiore non sono soggetti a limiti di raggi ottici e possono essere progettati per superare la legge di Stefan-Boltzmann.

Storia

Nel 1864, John Tyndall presentò misurazioni dell'emissione infrarossa di un filamento di platino e del colore corrispondente del filamento. La proporzionalità alla quarta potenza della temperatura assoluta fu dedotta da Josef Stefan (1835–1893) nel 1879 sulla base delle misurazioni sperimentali di Tyndall, nell'articolo Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( Sulla relazione tra radiazione termica e temperatura ) nei Bollettini delle sessioni dell'Accademia delle scienze di Vienna.

Una derivazione del diritto da considerazioni teoriche fu presentata da Ludwig Boltzmann (1844-1906) nel 1884, attingendo all'opera di Adolfo Bartoli . Bartoli nel 1876 aveva derivato l'esistenza della pressione di radiazione dai principi della termodinamica . Seguendo Bartoli, Boltzmann considerò come materia di lavoro un motore termico ideale che utilizzasse la radiazione elettromagnetica invece di un gas ideale.

La legge è stata quasi immediatamente verificata sperimentalmente. Heinrich Weber nel 1888 indicò deviazioni a temperature più elevate, ma la perfetta accuratezza entro le incertezze di misurazione fu confermata fino a temperature di 1535 K entro il 1897. La legge, inclusa la previsione teorica della costante di Stefan-Boltzmann in funzione della velocità della luce , la costante di Boltzmann e la costante di Planck , è una diretta conseguenza della legge di Planck formulata nel 1900.

A partire dalla ridefinizione del 2019 delle unità di base SI , che fissa i valori della costante di Boltzmann k , della costante di Planck h e della velocità della luce c , la costante di Stefan-Boltzmann è esattamente

${\displaystyle \sigma ={\frac {5454781984210512994952000000\ \pi ^{5}}{29438455734650141042413712126365436049}}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \,.}$

= 5.670 374 419 184 429 453 970 996 731 889 230 875 840 122 970 291 30 ... × 10 ⁻⁸  W/m ² K ⁴ .

Esempi

Temperatura del sole

Con la sua legge Stefan determinò anche la temperatura della superficie del Sole . Ha dedotto dai dati di Jacques-Louis Soret (1827-1890) che la densità di flusso di energia dal Sole è 29 volte maggiore della densità di flusso di energia di una certa lamella metallica riscaldata (una lastra sottile). Una lamella rotonda è stata posta a una distanza tale dal dispositivo di misurazione che sarebbe stata vista con lo stesso angolo del Sole. Soret stimò che la temperatura della lamella fosse compresa tra circa 1900 °C e 2000 °C. Stefan ipotizzò che del flusso di energia dal Sole fosse assorbito dall'atmosfera terrestre , quindi prese per il flusso di energia del Sole corretto un valore 3/2 volte maggiore del valore di Soret, cioè 29 × 3/2 = 43,5.

Misure precise dell'assorbimento atmosferico non furono effettuate fino al 1888 e 1904. La temperatura ottenuta da Stefan era un valore mediano delle precedenti, 1950 °C e quella termodinamica assoluta 2200 K. Poiché 2,57 ⁴ = 43,5, dalla legge segue che la temperatura del Sole è 2,57 volte maggiore della temperatura della lamella, quindi Stefan ha ottenuto un valore di 5430 °C o 5700 K (il valore moderno è 5778 K). Questo è stato il primo valore sensibile per la temperatura del Sole. Prima di questo, sono stati rivendicati valori che vanno da un minimo di 1800 °C a un massimo di 13.000.000 °C. Il valore inferiore di 1800 °C è stato determinato da Claude Pouillet (1790-1868) nel 1838 utilizzando la legge Dulong-Petit . Pouillet ha anche preso solo la metà del valore del flusso di energia corretto del Sole.

Temperatura delle stelle

La temperatura di stelle diverse dal Sole può essere approssimata usando un mezzo simile trattando l'energia emessa come una radiazione di corpo nero. Così:

${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma {T_{e}}^{4}}$

dove L è la luminosità , σ è la costante di Stefan-Boltzmann , R è il raggio stellare e T è la temperatura effettiva . Questa stessa formula può essere utilizzata per calcolare il raggio approssimativo di una stella della sequenza principale rispetto al sole:

${\displaystyle {\frac {R}{R_{\odot }}}\circa \left({\frac {T_{\odot}}{T}}\right)^{-2}}$

dove è il raggio solare e così via. ${\displaystyle R_{\odot }}$

Con la legge di Stefan-Boltzmann, gli astronomi possono facilmente dedurre i raggi delle stelle. La legge è soddisfatta anche nella termodinamica dei buchi neri nella cosiddetta radiazione di Hawking .

Temperatura effettiva della Terra

Allo stesso modo possiamo calcolare la temperatura effettiva della Terra T _⊕ eguagliando l'energia ricevuta dal Sole e l'energia irradiata dalla Terra, sotto l'approssimazione del corpo nero (la produzione di energia della Terra è abbastanza piccola da essere trascurabile). La luminosità del Sole, L _⊙ , è data da:

${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot}^{4}}$

La Terra, questa energia attraversa una sfera con un raggio di un ₀ , la distanza tra la Terra e il Sole, e l' irradianza (potenza per unità di area ricevuti) è dato da

${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$

La Terra ha un raggio di R _⊕ , e quindi ha una sezione trasversale di . Il flusso radiante (cioè energia solare) assorbito dalla Terra è quindi dato da: ${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$

${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }:}$

Poiché la legge di Stefan-Boltzmann utilizza una quarta potenza, ha un effetto stabilizzante sullo scambio e il flusso emesso dalla Terra tende ad essere uguale al flusso assorbito, vicino allo stato stazionario dove:

${\displaystyle {\begin{allineato}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\ oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\ pi a_{0}^{2}}}\\\end{allineato}}}$

T _⊕ può quindi essere trovato:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot}^{2}T_{\odot}^{4}}{4a_{0}^{ 2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\ rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}} }}\\&\circa 279\;{\rm {K}}\end{allineato}}}$

dove T _⊙ è la temperatura del sole, R _⊙ il raggio del sole, e un ₀ è la distanza tra la Terra e il Sole Ciò fornisce una temperatura effettiva di 6 °C sulla superficie della Terra, supponendo che assorba perfettamente tutte le emissioni che cadono su di essa e non abbia atmosfera.

La Terra ha un'albedo di 0,3, il che significa che il 30% della radiazione solare che colpisce il pianeta viene dispersa nello spazio senza assorbimento. L'effetto dell'albedo sulla temperatura può essere approssimato assumendo che l'energia assorbita sia moltiplicata per 0,7, ma che il pianeta irradi ancora come un corpo nero (quest'ultimo per definizione di temperatura effettiva , che è quello che stiamo calcolando). Questa approssimazione riduce la temperatura di un fattore di 0,7 ^1/4 , dando 255 K (-18 ° C).

La temperatura sopra è quella della Terra vista dallo spazio, non la temperatura del suolo ma una media su tutti i corpi emettitori della Terra dalla superficie all'alta quota. A causa dell'effetto serra , la temperatura superficiale media effettiva della Terra è di circa 288 K (15 ° C), che è superiore alla temperatura effettiva di 255 K e persino superiore alla temperatura di 279 K che avrebbe un corpo nero.

Nella discussione di cui sopra, abbiamo assunto che l'intera superficie della terra sia ad una temperatura. Un'altra domanda interessante è chiedersi quale sarebbe la temperatura di una superficie di un corpo nero sulla terra supponendo che raggiunga l'equilibrio con la luce solare che cade su di essa. Questo ovviamente dipende dall'angolo del sole sulla superficie e da quanta aria ha attraversato la luce del sole. Quando il sole è allo zenit e la superficie è orizzontale, l'irraggiamento può raggiungere i 1120 W/m ² . La legge di Stefan-Boltzmann dà quindi una temperatura di

${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\circa 375{\text{ K} }}$

o 102 °C. (Sopra l'atmosfera, il risultato è ancora più alto: 394 K.) Possiamo pensare alla superficie terrestre come "cercando" di raggiungere la temperatura di equilibrio durante il giorno, ma essendo raffreddata dall'atmosfera, e "cercando" di raggiungere l'equilibrio con la luce delle stelle e possibilmente al chiaro di luna di notte, ma essendo riscaldato dall'atmosfera.

Origine

Derivazione termodinamica della densità di energia

Il fatto che la densità di energia della scatola contenente la radiazione sia proporzionale a può essere derivato usando la termodinamica. Questa derivazione usa la relazione tra la pressione di radiazione pe la densità di energia interna , una relazione che può essere mostrata usando la forma del tensore elettromagnetico stress-energia . Questa relazione è: ${\displaystyle T^{4}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$

Ora, dalla relazione termodinamica fondamentale

${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$

otteniamo la seguente espressione, dopo aver diviso e fissato  : ${\displaystyle dV}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_ {T}-p=T\sinistra({\frac {\partial p}{\parziale T}}\destra)_{V}-p.}$

L'ultima uguaglianza deriva dalla seguente relazione di Maxwell :

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{ V}.}$

Dalla definizione di densità di energia segue che

${\displaystyle U=uV}$

dove la densità di energia della radiazione dipende solo dalla temperatura, quindi

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_ {T}=u.}$

Ora, l'uguaglianza

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_ {V}-p,}$

dopo sostituzione di e per le espressioni corrispondenti, può essere scritta come ${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}} .}$

Poiché la derivata parziale può essere espressa come una relazione tra solo e (se la si isola da un lato dell'uguaglianza), la derivata parziale può essere sostituita dalla derivata ordinaria. Dopo aver separato i differenziali l'uguaglianza diventa ${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$

che porta immediatamente a , con come una costante di integrazione. ${\displaystyle u=AT^{4}}$${\displaystyle A}$

Derivazione dalla legge di Planck

Derivazione della legge di Stefan-Boltzmann utilizzando la legge di Planck .

La legge può essere derivata considerando una piccola superficie piana di un corpo nero che si irradia in una semisfera. Questa derivazione utilizza coordinate sferiche , con θ l'angolo zenitale e φ come l'angolo azimutale; e la piccola superficie piatta del corpo nero giace sul piano xy, dove θ = ^π / ₂ .

L'intensità della luce emessa dalla superficie del corpo nero è data dalla legge di Planck  :

${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}- 1}}.}$

dove

• ${\displaystyle I(\nu ,T)\,}$è la quantità di potenza per unità di superficie per unità di angolo solido per unità di frequenza emessa ad una frequenza da un corpo nero alla temperatura T .${\displaystyle \nu \,}$
• ${\displaystyle h\,}$è la costante di Planck
• ${\displaystyle c\,}$è la velocità della luce , e
• ${\displaystyle k\,}$è la costante di Boltzmann .

La quantità è la potenza irradiata da una superficie dell'area A attraverso un angolo solido dΩ nella gamma di frequenza tra ν e ν  +  dν . ${\displaystyle I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega }$

La legge di Stefan-Boltzmann dà la potenza emessa per unità di superficie del corpo emittente,

${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty}I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega \, }$

Si noti che il coseno appare perché i corpi neri sono lambertiani (ovvero obbediscono alla legge del coseno di Lambert ), il che significa che l'intensità osservata lungo la sfera sarà l'intensità effettiva moltiplicata per il coseno dell'angolo zenitale. Per derivare la legge di Stefan-Boltzmann, dobbiamo integrare sulla semisfera e integrare da 0 a ∞. ${\textstyle d\Omega =\sin\theta\d\theta d\varphi}$${\displaystyle\nu}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0} ^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^ {\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{allineato}}}$

Quindi colleghiamo per I :

${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{ 3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$

Per valutare questo integrale, fai una sostituzione,

${\displaystyle {\begin{allineato}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{allineato} }}$

che dà:

${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4 }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$

L'integrale a destra è standard e ha molti nomi: è un caso particolare di un integrale di Bose-Einstein , il polilogaritmo o la funzione zeta di Riemann . Il valore dell'integrale è , dando il risultato che, per una superficie di corpo nero perfetta: ${\displaystyle \zeta(s)}$${\displaystyle 6\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{ 3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$

Infine, questa prova è iniziata considerando solo una piccola superficie piana. Tuttavia, qualsiasi superficie differenziabile può essere approssimata da un insieme di piccole superfici piane. Finché la geometria della superficie non fa sì che il corpo nero riassorbi la propria radiazione, l'energia totale irradiata è solo la somma delle energie irradiate da ciascuna superficie; e l'area della superficie totale è solo la somma delle aree di ciascuna superficie, quindi questa legge vale anche per tutti i corpi neri convessi , purché la superficie abbia la stessa temperatura dappertutto. La legge si estende alla radiazione da corpi non convessi sfruttando il fatto che l' involucro convesso di un corpo nero si irradia come se fosse esso stesso un corpo nero.

Densita 'energia

La densità di energia totale U può essere calcolata in modo simile, eccetto che l'integrazione è sull'intera sfera e non c'è coseno, e il flusso di energia (U c) dovrebbe essere diviso per la velocità c per dare la densità di energia U :

${\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega \,}$

Così è sostituito da , dando un ulteriore fattore di 4. ${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

Quindi, in totale:

${\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$

Guarda anche

• Legge sullo spostamento di Vienna
• Legge di Rayleigh-Jeans
• splendore
• Modelli a dimensione zero
• Corpo nero
• Equazione di Sakuma-Hattori
• Radó von Kövesligethy

Appunti

Riferimenti

• Stefan, J. (1879), "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [Sulla relazione tra radiazione termica e temperatura] (PDF) , Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (in tedesco), 79 : 391–428
• Boltzmann, L. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivazione della piccola legge di Stefan sulla dipendenza della radiazione termica dalla temperatura della teoria elettromagnetica della luce], Annalen der Physik und Chemie (in tedesco), 258 (6): 291–294, Bibcode : 1884AnP...258..291B , doi : 10.1002/andp.18842580616