Gravità superficiale - Surface gravity

La gravità superficiale , g , di un oggetto astronomico è l' accelerazione gravitazionale sperimentata sulla sua superficie all'equatore, inclusi gli effetti della rotazione. La gravità superficiale può essere pensata come l' accelerazione di gravità sperimentata da un'ipotetica particella di prova che è molto vicina alla superficie dell'oggetto e che, per non disturbare il sistema, ha massa trascurabile. Per oggetti in cui la superficie è profonda nell'atmosfera e il raggio non è noto, la gravità superficiale è data al livello di pressione di 1 bar nell'atmosfera.

La gravità superficiale è misurata in unità di accelerazione, che, nel sistema SI , sono metri al secondo quadrato . Può anche essere espressa come multiplo della Terra s' gravità superficiale standard , g = 9.80665 m / s². In astrofisica , la gravità superficiale può essere espressa come log g , che si ottiene esprimendo prima la gravità in unità cgs , dove l'unità di accelerazione è centimetri al secondo quadrato, e quindi prendendo il logaritmo in base 10 . Pertanto, la gravità superficiale della Terra potrebbe essere espressa in unità cgs come 980.665 cm/s², con un logaritmo in base 10 (log g ) di 2,992.

La gravità superficiale di una nana bianca è molto alta, e di una stella di neutroni ancora più alta. La gravità superficiale di una nana bianca è di circa 100.000 g (9,84 × 10 ⁵ m/s²) mentre la compattezza della stella di neutroni le conferisce una gravità superficiale fino a 7 × 10 ¹² m/s² con valori tipici dell'ordine di 10 ¹² m/s² (che è più di 10 ¹¹ volte quello della Terra). Una misura di tale immensa gravità è che le stelle di neutroni hanno una velocità di fuga di circa 100.000 km/s , circa un terzo della velocità della luce . Per i buchi neri, la gravità superficiale deve essere calcolata relativisticamente.

Relazione tra gravità superficiale e massa e raggio

Gravità superficiale di vari
corpi del Sistema Solare
(1 g = 9,80665 m/s ² , l'accelerazione gravitazionale superficiale sulla Terra)
Nome	Gravità superficiale
sole	28,02 g
Mercurio	0,377 g
Venere	0,905 g
terra	1 g (medie latitudini)
Luna	0,165 7 g (media)
Marte	0,379 g (medie latitudini)
Phobos	0,000 581 g
Deimos	0,000 306 g
Cerere	0,029 g
Giove	2,528 g (medie latitudini)
io	0,183 g
Europa	0,134 g
Ganimede	0,146 g
Callisto	0,126 g
Saturno	1.065 g (medie latitudini)
Titano	0,138 g
Encelado	0,012 g
Urano	0,886 g (equatore)
Nettuno	1.137 g (medie latitudini)
Tritone	0,08 g
Plutone	0,063 g
Eris	0,084 g
67P-CG	0,000 017 g

Nella teoria newtoniana della gravità , la forza gravitazionale esercitata da un oggetto è proporzionale alla sua massa: un oggetto con il doppio della massa produce il doppio della forza. La gravità newtoniana segue anche una legge dell'inverso del quadrato , così che spostare un oggetto due volte più lontano divide la sua forza gravitazionale per quattro, e spostandolo dieci volte più lontano lo divide per 100. Questo è simile all'intensità della luce , che segue anche una legge del quadrato inverso: in relazione alla distanza, la luce diventa meno visibile. In generale, questo può essere inteso come una diluizione geometrica corrispondente alla radiazione di una sorgente puntiforme nello spazio tridimensionale.

Un oggetto di grandi dimensioni, come un pianeta o una stella , sarà solitamente approssimativamente rotondo, avvicinandosi all'equilibrio idrostatico (dove tutti i punti sulla superficie hanno la stessa quantità di energia potenziale gravitazionale ). Su piccola scala, le parti più alte del terreno sono erose, con materiale eroso depositato nelle parti più basse del terreno. Su larga scala, il pianeta o la stella stessa si deforma fino a raggiungere l'equilibrio. Per la maggior parte degli oggetti celesti, il risultato è che il pianeta o la stella in questione possono essere trattati come una sfera quasi perfetta quando la velocità di rotazione è bassa. Tuttavia, per le stelle giovani e massicce, la velocità azimutale equatoriale può essere piuttosto elevata, fino a 200 km/s o più, causando una notevole quantità di rigonfiamento equatoriale . Esempi di tali stelle in rapida rotazione includono Achernar , Altair , Regulus A e Vega .

Il fatto che molti grandi oggetti celesti siano approssimativamente delle sfere rende più facile calcolare la loro gravità superficiale. La forza gravitazionale all'esterno di un corpo a simmetria sferica è la stessa che se tutta la sua massa fosse concentrata al centro, come stabilito da Sir Isaac Newton . Pertanto, la gravità superficiale di un pianeta o una stella con una data massa sarà approssimativamente inversamente proporzionale al quadrato del suo raggio e la gravità superficiale di un pianeta o una stella con una data densità media sarà approssimativamente proporzionale al suo raggio. Ad esempio, il pianeta scoperto di recente , Gliese 581 c , ha almeno 5 volte la massa della Terra, ma è improbabile che abbia 5 volte la sua gravità superficiale. Se la sua massa non è più di 5 volte quella della Terra, come previsto, e se è un pianeta roccioso con un grande nucleo di ferro, dovrebbe avere un raggio di circa il 50% più grande di quello della Terra. La gravità sulla superficie di un simile pianeta sarebbe circa 2,2 volte più forte di quella sulla Terra. Se è un pianeta ghiacciato o acquoso, il suo raggio potrebbe essere grande quanto il doppio di quello terrestre, nel qual caso la sua gravità superficiale potrebbe essere non più di 1,25 volte più forte di quella terrestre.

Tali proporzionalità possono essere espresse dalla formula:

g\propto {\frac {m}{r^{2}}}

dove g è la gravità superficie di un oggetto, espressa come multiplo della Terra 's, m è la massa, espressa come multiplo della Terra ' massa s (5,976 · 10 ²⁴ kg) ed r il raggio, espresso come multiplo del raggio (medio) della Terra (6.371 km). Ad esempio, Marte ha una massa di 6,4185·10 ²³ kg = 0,107 masse terrestri e un raggio medio di 3,390 km = 0,532 raggi terrestri. La gravità superficiale di Marte è quindi approssimativamente

{\frac {0.107}{0.532^{2}}}=0.38

volte quello della Terra. Senza utilizzare la Terra come corpo di riferimento, la gravità superficiale può essere calcolata anche direttamente dalla legge di gravitazione universale di Newton , che dà la formula

g={\frac {GM}{r^{2}}}

dove M è la massa dell'oggetto, r è il suo raggio e G è la costante gravitazionale . Se indichiamo con ρ = M / V la densità media dell'oggetto, possiamo anche scrivere questo come

g={\frac {4\pi }{3}}G\rho r

cosicché, per densità media fissa, la gravità superficiale g è proporzionale al raggio r .

Poiché la gravità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, una stazione spaziale a 400 km sopra la Terra sente quasi la stessa forza gravitazionale che sentiamo sulla superficie terrestre. Una stazione spaziale non precipita a terra perché si trova in un'orbita di caduta libera .

Giganti gassosi

Per i pianeti giganti gassosi come Giove, Saturno, Urano e Nettuno, dove le superfici sono profonde nell'atmosfera e il raggio non è noto, la gravità superficiale è data al livello di pressione di 1 bar nell'atmosfera.

Oggetti non sferici simmetrici

La maggior parte degli oggetti astronomici reali non sono assolutamente a simmetria sferica. Uno dei motivi è che spesso ruotano, il che significa che sono influenzati dagli effetti combinati della forza gravitazionale e della forza centrifuga . Questo fa sì che le stelle e i pianeti siano oblati , il che significa che la loro gravità superficiale è minore all'equatore che ai poli. Questo effetto è stato sfruttato da Hal Clement nel suo romanzo di fantascienza Mission of Gravity , che tratta di un pianeta massiccio e in rapida rotazione in cui la gravità era molto più alta ai poli che all'equatore.

Nella misura in cui la distribuzione interna della massa di un oggetto differisce da un modello simmetrico, possiamo usare la gravità superficiale misurata per dedurre cose sulla struttura interna dell'oggetto. Questo fatto è stato messo in pratica dal 1915 al 1916, quando la bilancia di torsione di Roland Eötvös è stata utilizzata per prospezioni petrolifere vicino alla città di Egbell (ora Gbely , Slovacchia .) ^{, p.}^1663;^{, P.}^223. Nel 1924, la bilancia di torsione fu usata per localizzare i giacimenti petroliferi di Nash Dome in Texas . ^{, P.}^223.

A volte è utile calcolare la gravità superficiale di semplici oggetti ipotetici che non si trovano in natura. La gravità superficiale di infiniti piani, tubi, linee, gusci cavi, coni e strutture ancora più irrealistiche può essere utilizzata per fornire informazioni sul comportamento delle strutture reali.

Buchi neri

Nella relatività, il concetto newtoniano di accelerazione risulta non essere chiaro. Per un buco nero, che deve essere trattato relativisticamente, non si può definire una gravità superficiale come l'accelerazione sperimentata da un corpo di prova sulla superficie dell'oggetto perché non c'è superficie. Questo perché l'accelerazione di un corpo di prova all'orizzonte degli eventi di un buco nero risulta essere infinita nella relatività. Per questo motivo viene utilizzato un valore rinormalizzato che corrisponde al valore newtoniano nel limite non relativistico. Il valore utilizzato è generalmente l'accelerazione propria locale (che diverge all'orizzonte degli eventi) moltiplicata per il fattore di dilatazione del tempo gravitazionale (che va a zero all'orizzonte degli eventi). Per il caso di Schwarzschild, questo valore si comporta matematicamente bene per tutti i valori diversi da zero di r e M .

Quando si parla della gravità superficiale di un buco nero, si definisce una nozione che si comporta in modo analogo alla gravità superficiale newtoniana, ma non è la stessa cosa. In effetti, la gravità superficiale di un buco nero generale non è ben definita. Tuttavia, si può definire la gravità superficiale per un buco nero il cui orizzonte degli eventi è un orizzonte di Killing.

La gravità superficiale di un Killing Horizon statico è l'accelerazione, esercitata all'infinito, necessaria per mantenere un oggetto all'orizzonte. Matematicamente, se è un vettore di Killing opportunamente normalizzato , allora la gravità superficiale è definita da $\kappa$ $k^{a}$

k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b},

dove l'equazione è valutata all'orizzonte. Per uno spaziotempo statico e asintoticamente piatto, la normalizzazione dovrebbe essere scelta in modo that as , e so that . Per la soluzione di Schwarzschild si assume come traslazione temporale il vettore di Killing , e più in generale per la soluzione di Kerr-Newman si assume , la combinazione lineare della traslazione temporale e dell'asimmetria dei vettori di Killing che è nullo all'orizzonte, dove è la velocità angolare . $k^{a}k_{a}\rightarrow -1$ $r\rightarrow \infty$ $\kappa \geq 0$ $k^{a}$ $k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}$ $k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \varphi}}$ ${\displaystyle\Omega}$

Soluzione di Schwarzschild

Poiché è un vettore Killing implica . In coordinate . L'esecuzione di una modifica delle coordinate alle coordinate Eddington-Finklestein avanzate fa sì che la metrica assuma la forma $k^{a}$ $k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}$ $-k^{a}\,\nabla ^{b}k_{a}=\kappa k^{b}$ $(t,r,\theta,\varphi)$ $k^{a}=(1,0,0,0)$ $v=t+r+2M\ln |r-2M|$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dv^{2}+(\,dv\,dr+\,dr\,dv) +r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).

Sotto un cambiamento generale di coordinate il vettore Killing si trasforma dando i vettori e $k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}$ $k^{a'}=\delta _{v}^{a'}=(1,0,0,0)$ $k_{a'}=g_{a'v}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right).$

Considerando la voce b = for dà l'equazione differenziale $v$ $k^{a}\,\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}$ $-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa .$

Pertanto, la gravità superficiale per la soluzione di Schwarzschild con massa è in unità SI). $M$ $\kappa ={\frac {1}{4M}}(={\frac {c^{4}}{4GM}}$

Soluzione Kerr

La gravità superficiale per il buco nero rotante non caricato è, semplicemente

\kappa =gk,

dove è la gravità superficiale di Schwarzschild ed è la costante elastica del buco nero rotante. è la velocità angolare all'orizzonte degli eventi. Questa espressione fornisce una semplice temperatura di Hawking di . $g={\frac {1}{4M}}$ $k:=M\Omega _{+}^{2}$ $\Omega _{+}$ $2\pi T=gk$

Soluzione Kerr-Newman

La gravità superficiale per la soluzione di Kerr-Newman è

\kappa ={\frac {r_{+}-r_{-}}{2(r_{+}^{2}+a^{2})}}={\frac {\sqrt {M^ {2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}{2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{ 2}-J^{2}/M^{2}}}}},

dove è la carica elettrica, è il momento angolare, che definiamo essere le posizioni dei due orizzonti e . $Q$ $J$ $r_{\pm }:=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}$ $a:=J/M$

Buchi neri dinamici

La gravità superficiale per i buchi neri stazionari è ben definita. Questo perché tutti i buchi neri stazionari hanno un orizzonte che sta uccidendo. Recentemente c'è stato uno spostamento verso la definizione della gravità superficiale dei buchi neri dinamici il cui spaziotempo non ammette un vettore (campo) di Killing . Diverse definizioni sono state proposte negli anni da vari autori. Al momento, non c'è consenso o accordo su quale definizione, se presente, sia corretta.

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