Spazio tridimensionale - Three-dimensional space

Una rappresentazione di un sistema di coordinate cartesiane tridimensionale con l' asse x rivolto verso l'osservatore.

Lo spazio tridimensionale (anche: spazio 3D , 3-spazio o, raramente, spazio tridimensionale ) è un'impostazione geometrica in cui sono richiesti tre valori (chiamati parametri ) per determinare la posizione di un elemento (ovvero punto ). Questo è il significato informale del termine dimensione .

In matematica , una sequenza di n numeri può essere intesa come una posizione nello spazio n -dimensionale. Quando n = 3 , l'insieme di tutte queste locazioni è chiamatospazio euclideo tridimensionale (o semplicemente spazio euclideo quando il contesto è chiaro). È comunemente rappresentato dal simbolo 3 . Questo serve come un modello a tre parametri dell'universo fisico (cioè la parte spaziale, senza considerare il tempo), in cui esiste tutta la materia conosciuta . Sebbene questo spazio rimanga il modo più avvincente e utile per modellare il mondo così come viene vissuto, è solo un esempio di una grande varietà di spazi in tre dimensioni chiamati 3-varietà . In questo esempio classico, quando i tre valori si riferiscono a misurazioni in direzioni diverse ( coordinate ), possono essere scelte tre direzioni qualsiasi, a condizione che i vettori in queste direzioni non giacciano tutti nello stesso 2-spazio ( piano ). Inoltre, in questo caso, questi tre valori possono essere etichettati da una qualsiasi combinazione di tre scelta dai termini larghezza , altezza , profondità e lunghezza .

Nella geometria euclidea

Sistemi di coordinate

In matematica, la geometria analitica (detta anche geometria cartesiana) descrive ogni punto nello spazio tridimensionale mediante tre coordinate. Vengono dati tre assi coordinati , ciascuno perpendicolare agli altri due in corrispondenza dell'origine , punto in cui si incrociano. Di solito sono etichettati x , y e z . Relativamente a questi assi, la posizione di qualsiasi punto nello spazio tridimensionale è data da una tripla ordinata di numeri reali , ogni numero dà la distanza di quel punto dall'origine misurata lungo l'asse dato, che è uguale alla distanza di quel punto punto dal piano determinato dagli altri due assi.

Altri metodi popolari per descrivere la posizione di un punto nello spazio tridimensionale includono coordinate cilindriche e coordinate sferiche , sebbene esistano un numero infinito di metodi possibili. Per ulteriori informazioni, vedere Spazio euclideo .

Di seguito sono riportate le immagini dei suddetti sistemi.

Linee e piani

Due punti distinti determinano sempre un (diritta) linea . Tre punti distinti sono collineari o determinano un piano unico. D'altra parte, quattro punti distinti possono essere collineari, complanari o determinare l'intero spazio.

Due linee distinte possono intersecarsi, essere parallele o oblique . Due linee parallele, o due linee che si intersecano , giacciono su un unico piano, quindi le linee oblique sono linee che non si incontrano e non giacciono su un piano comune.

Due piani distinti possono incontrarsi in una linea comune o essere paralleli (cioè non si incontrano). Tre piani distinti, di cui nessuna coppia è parallela, possono incontrarsi in una linea comune, incontrarsi in un unico punto comune o non avere alcun punto in comune. Nell'ultimo caso, le tre linee di intersezione di ciascuna coppia di piani sono parallele tra loro.

Una linea può giacere in un dato piano, intersecare quel piano in un unico punto o essere parallela al piano. Nell'ultimo caso, ci saranno linee nel piano parallele alla linea data.

Un iperpiano è un sottospazio di una dimensione inferiore alla dimensione dell'intero spazio. Gli iperpiani di uno spazio tridimensionale sono i sottospazi bidimensionali, cioè i piani. In termini di coordinate cartesiane, i punti di un iperpiano soddisfano una singola equazione lineare , quindi i piani in questo 3-spazio sono descritti da equazioni lineari. Una linea può essere descritta da una coppia di equazioni lineari indipendenti, ciascuna rappresentante un piano avente questa linea come intersezione comune.

Il teorema di Varignon afferma che i punti medi di qualsiasi quadrilatero in 3 formano un parallelogramma , e quindi sono complanari.

Sfere e palline

Una proiezione prospettica di una sfera su due dimensioni

Una sfera in 3-spazio (chiamata anche 2-sfera perché è un oggetto 2-dimensionale) consiste nell'insieme di tutti i punti in 3-spazio ad una distanza fissa r da un punto centrale P . Il solido racchiuso dalla sfera si chiama pallina (o, più precisamente, 3-palla ). Il volume della palla è dato da

.

Un altro tipo di sfera nasce da una 4-sfera, la cui superficie tridimensionale è la 3-sfera : punti equidistanti all'origine dello spazio euclideo 4 . Se un punto ha coordinate, P ( x , y , z , w ) , allora x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1 caratterizza quei punti sull'unità 3-sfera centrati nell'origine.

politopi

In tre dimensioni, ci sono nove politopi regolari: i cinque solidi platonici convessi e i quattro poliedri Keplero-Poinsot non convessi .

Politopi regolari in tre dimensioni
Classe Solidi platonici Poliedri di Keplero-Poinsot
Simmetria T d O h I h
Gruppo Coxeter A 3 , [3,3] B 3 , [4,3] H 3 , [5,3]
Ordine 24 48 120

Poliedro regolare
Tetraedro.svg
{3,3}
Hexahedron.svg
{4,3}
Octahedron.svg
{3,4}
Dodecaedro.svg
{5,3}
Icosaedro.svg
{3,5}
SmallStellatedDodecaedro.jpg
{5/2,5}
GrandeDodecaedro.jpg
{5,5/2}
GreatStellatedDodecahedron.jpg
{5/2,3}
GreatIcosahedron.jpg
{3,5/2}

Superfici di rivoluzione

Una superficie generata dalla rivoluzione di una curva piana attorno a una linea fissa nel suo piano come asse è chiamata superficie di rivoluzione . La curva piana è detta generatrice della superficie. Una sezione della superficie, realizzata intersecando la superficie con un piano perpendicolare (ortogonale) all'asse, è un cerchio.

Semplici esempi si verificano quando la generatrice è una linea. Se la generatrice interseca la linea dell'asse, la superficie di rivoluzione è un cono circolare retto con vertice (apice) il punto di intersezione. Tuttavia, se la generatrice e l'asse sono paralleli, la superficie di rivoluzione è un cilindro circolare .

Superfici quadriche

In analogia con le sezioni coniche , l'insieme dei punti le cui coordinate cartesiane soddisfano l'equazione generale di secondo grado, cioè,

dove A , B , C , F , G , H , J , K , L e M sono numeri reali e non tutti A , B , C , F , G e H sono zero, si chiama superficie quadrica .

Esistono sei tipi di superfici quadriche non degeneri :

  1. Ellissoide
  2. Iperboloide di un foglio
  3. Iperboloide di due fogli
  4. Cono ellittico
  5. Paraboloide ellittico
  6. Paraboloide iperbolico

Le superfici quadriche degenerati sono l'insieme vuoto, un unico punto, una singola linea, un singolo piano, una coppia di piani o un cilindro quadratica (una superficie che consiste di una conica non degenere in un piano π e tutte le linee di 3 attraverso quella conica che sono normali a π ). I coni ellittici sono talvolta considerati anche superfici quadriche degenerate.

Sia l'iperboloide di un foglio che il paraboloide iperbolico sono superfici rigate , nel senso che possono essere costituite da una famiglia di linee rette. Infatti ciascuna ha due famiglie di generatrici, i membri di ciascuna famiglia sono disgiunti e ogni membro una famiglia interseca, con una sola eccezione, ogni membro dell'altra famiglia. Ogni famiglia è chiamata regulus .

In algebra lineare

Un altro modo di vedere lo spazio tridimensionale si trova nell'algebra lineare , dove l'idea di indipendenza è cruciale. Lo spazio ha tre dimensioni perché la lunghezza di una scatola è indipendente dalla sua larghezza o larghezza. Nel linguaggio tecnico dell'algebra lineare, lo spazio è tridimensionale perché ogni punto nello spazio può essere descritto da una combinazione lineare di tre vettori indipendenti .

Prodotto scalare, angolo e lunghezza

Un vettore può essere rappresentato come una freccia. La grandezza del vettore è la sua lunghezza e la sua direzione è la direzione in cui punta la freccia. Un vettore in 3 può essere rappresentato da un triplice ordinate di numeri reali. Questi numeri sono chiamati i componenti del vettore.

Il prodotto scalare di due vettori A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] e B = [ B 1 , B 2 , B 3 ] è definito come:

Il modulo di un vettore A è indicato con || A || . Il prodotto scalare di un vettore A = [ A 1 , A 2 , A 3 ] con se stesso è

che dà

la formula per la lunghezza euclidea del vettore.

Senza riferimento alle componenti dei vettori, il prodotto scalare di due vettori euclidei non nulli A e B è dato da

dove θ è l' angolo fra A e B .

Prodotto incrociato

Il prodotto vettoriale o prodotto vettoriale è un'operazione binaria su due vettori nello spazio tridimensionale ed è indicato dal simbolo ×. La croce prodotto un × b dei vettori a e b è un vettore che è perpendicolare ad entrambi e quindi normale al piano che li contiene. Ha molte applicazioni in matematica, fisica e ingegneria .

Lo spazio e il prodotto formano un'algebra su un campo , che non è né commutativoassociativo , ma è un'algebra di Lie con il prodotto vettoriale è la parentesi di Lie.

Si può in n dimensioni prendere il prodotto di n − 1 vettori per produrre un vettore perpendicolare a tutti loro. Ma se il prodotto è limitato a prodotti binari non banali con risultati vettoriali, esiste solo in tre e sette dimensioni .

Il prodotto incrociato rispetto a un sistema di coordinate destrorso

nel calcolo

Gradiente, divergenza e arricciatura

In un sistema di coordinate rettangolari, il gradiente è dato da

La divergenza di un campo vettoriale derivabile in modo continuo F = U i + V j + W k è uguale alla funzione a valori scalari :

Espanso in coordinate cartesiane (vedi Del in coordinate cilindriche e sferiche per rappresentazioni di coordinate sferiche e cilindriche ), il ricciolo ∇ × F è, per F composto da [ F x , F y , F z ]:

dove i , j e k sono i versori rispettivamente per gli assi x -, y - e z . Questo si espande come segue:

Integrali di linea, integrali di superficie e integrali di volume

Per qualche campo scalare f  : UR nR , la linea integrale lungo una curva liscia a tratti CU è definita come

dove r : [a, b] → C è una parametrizzazione biunivoca arbitraria della curva C tale che r ( a ) e r ( b ) diano gli estremi di C e .

Per un campo vettoriale F  : UR nR n , la linea integrale lungo una curva liscia a tratti CU , nella direzione di r , è definita come

dove · è il prodotto scalare e r : [a, b] → C è una parametrizzazione biunivoca della curva C tale che r ( a ) e r ( b ) diano gli estremi di C .

Un integrale di superficie è una generalizzazione di più integrali all'integrazione su superfici . Può essere pensato come l' analogo integrale doppio dell'integrale di linea . Per trovare una formula esplicita per l'integrale di superficie, dobbiamo parametrizzare la superficie di interesse, S , considerando un sistema di coordinate curvilinee su S , come la latitudine e la longitudine su una sfera . Sia una tale parametrizzazione x ( s , t ), dove ( s , t ) varia in qualche regione T nel piano . Allora l'integrale di superficie è dato da

dove l'espressione tra barre sul lato destro è la grandezza del prodotto vettoriale delle derivate parziali di x ( s , t ), ed è noto come la superficie dell'elemento . Dato un campo vettoriale v su S , cioè una funzione che assegna ad ogni x in S un vettore v ( x ), l'integrale di superficie può essere definito componente per componente secondo la definizione dell'integrale di superficie di un campo scalare; il risultato è un vettore.

Un integrale di volume si riferisce a un integrale su un dominio tridimensionale .

Può anche significare un integrale triplo all'interno di una regione D in R 3 di una funzione ed è solitamente scritto come:

Teorema fondamentale degli integrali di linea

Il teorema fondamentale degli integrali di linea , afferma che un integrale di linea attraverso un campo gradiente può essere valutato valutando il campo scalare originale agli estremi della curva.

Lascia . Quindi

Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes mette in relazione l' integrale di superficie del ricciolo di un campo vettoriale F su una superficie nel trispazio euclideo all'integrale di linea del campo vettoriale sul suo confine ∂Σ:

Teorema della divergenza

Supponiamo che V sia un sottoinsieme di (nel caso di n = 3, V rappresenta un volume nello spazio 3D) che è compatto e ha un bordo liscio a tratti S (indicato anche con V = S ). Se F è un campo vettoriale continuamente differenziabile definito su un intorno di V , allora il teorema della divergenza dice:

\oiint

Il lato sinistro è un integrale di volume sul volume V , il lato destro è l' integrale di superficie sul bordo del volume V . La varietà chiusa V è abbastanza generalmente il confine di V orientato dalle normali rivolte verso l'esterno , ed n è il campo normale dell'unità di puntamento verso l'esterno del confine V . ( d S può essere usato come scorciatoia per n dS .)

In topologia

Logo del globo di Wikipedia in 3-D

Lo spazio tridimensionale ha una serie di proprietà topologiche che lo distinguono dagli spazi di altri numeri di dimensione. Ad esempio, sono necessarie almeno tre dimensioni per fare un nodo in un pezzo di spago.

In geometria differenziale gli spazi tridimensionali generici sono 3-varietà , che localmente assomigliano .

In geometria finita

Molte idee di dimensione possono essere verificate con la geometria finita . L'istanza più semplice è PG(3,2) , che ha piani di Fano come sottospazi bidimensionali. È un'istanza della geometria di Galois , uno studio della geometria proiettiva che utilizza campi finiti . Quindi, per ogni campo di Galois GF( q ), esiste uno spazio proiettivo PG(3, q ) di tre dimensioni. Ad esempio, tre linee asimmetriche in PG(3, q ) sono contenute esattamente in un regulus .

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

link esterno