Triangolo - Triangle

Triangolo equilatero
Poligono regolare 3 annotato.svg
Un triangolo regolare
Tipo Poligono regolare
Bordi e vertici 3
Schläfli simbolo {3}
Diagramma di Coxeter CDel nodo 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Gruppo di simmetria Diedro (D 3 ), ordine 2×3
Angolo interno ( gradi ) 60°
Doppio poligono Se stesso
Proprietà Convesso , ciclico , equilatero , isogonale , isotossale
Triangolo
Triangolo illustration.svg
Un triangolo
Bordi e vertici 3
Schläfli simbolo {3} (per equilatero)
La zona vari metodi;
vedi sotto
Angolo interno ( gradi ) 60° (per equilatero)
triangolo, tri, tre, angolo
Triangolo = Tri (tre) + Angolo

Un triangolo è un poligono con tre lati e tre vertici . È una delle forme fondamentali della geometria . Un triangolo con vertici A , B , e C è indicata .

Nella geometria euclidea , tre punti qualsiasi, quando non collineari , determinano un unico triangolo e contemporaneamente un unico piano (cioè uno spazio euclideo bidimensionale ). In altre parole, c'è un solo piano che contiene quel triangolo, e ogni triangolo è contenuto in qualche piano. Se l'intera geometria è solo il piano euclideo , c'è un solo piano e tutti i triangoli sono contenuti in esso; tuttavia, negli spazi euclidei di dimensioni superiori, questo non è più vero. Questo articolo riguarda i triangoli nella geometria euclidea e, in particolare, il piano euclideo, eccetto dove diversamente indicato.

Tipi di triangolo

Diagramma di Eulero dei tipi di triangoli, usando la definizione che i triangoli isosceli hanno almeno 2 lati uguali (cioè, i triangoli equilateri sono isosceli).

La terminologia per categorizzare i triangoli ha più di duemila anni, essendo stata definita nella primissima pagina degli Elementi di Euclide . I nomi usati per la classificazione moderna sono una traslitterazione diretta del greco di Euclide o delle loro traduzioni latine.

Per lunghezze di lati

Il matematico greco antico Euclide definì tre tipi di triangolo in base alla lunghezza dei loro lati:

Greco : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , lit. "Delle figure trilaterali, un triangolo isopleuron [equilatero] è quello che ha i tre lati uguali, un isoscele quello che ha solo due dei suoi lati uguali, e uno scaleno quello che ha i tre lati disuguali."

  • Un triangolo equilatero ( greco : ἰσόπλευρον , romanizzatoisópleuron , letteralmente "lati uguali") ha tre lati della stessa lunghezza. Un triangolo equilatero è anche un poligono regolare con tutti gli angoli che misurano 60°.
  • Un triangolo isoscele ( greco : ἰσοσκελὲς , romanizzatoisoskelés , letteralmente "gambe uguali") ha due lati di uguale lunghezza. Un triangolo isoscele ha anche due angoli della stessa misura, cioè gli angoli opposti ai due lati della stessa lunghezza. Questo fatto è il contenuto del teorema del triangolo isoscele , che era conosciuto da Euclide . Alcuni matematici definiscono un triangolo isoscele per avere esattamente due lati uguali, mentre altri definiscono un triangolo isoscele come uno con almeno due lati uguali. Quest'ultima definizione renderebbe tutti i triangoli equilateri triangoli isosceli. Il triangolo rettangolo 45-45-90, che appare nella piastrellatura quadrata tetrakis , è isoscele.
  • Un triangolo scaleno ( greco : σκαληνὸν , romanizzatoskalinón , letteralmente "disuguale") ha tutti i lati di lunghezze diverse. Equivalentemente, ha tutti gli angoli di misura diversa.

I segni di tratteggio , chiamati anche segni di graduazione, vengono utilizzati nei diagrammi di triangoli e altre figure geometriche per identificare i lati di uguale lunghezza. Un lato può essere contrassegnato con un motivo di "zecche", brevi segmenti di linea sotto forma di segni di conteggio ; due lati hanno lunghezze uguali se sono entrambi contrassegnati con lo stesso motivo. In un triangolo, il modello di solito non supera i 3 tick. Un triangolo equilatero ha lo stesso schema su tutti e 3 i lati, un triangolo isoscele ha lo stesso schema su solo 2 lati e un triangolo scaleno ha schemi diversi su tutti i lati poiché nessun lato è uguale.

Allo stesso modo, i modelli di 1, 2 o 3 archi concentrici all'interno degli angoli sono usati per indicare angoli uguali: un triangolo equilatero ha lo stesso modello su tutti e 3 gli angoli, un triangolo isoscele ha lo stesso modello su solo 2 angoli e un triangolo scaleno ha modelli diversi su tutti gli angoli, poiché nessun angolo è uguale.

Per angoli interni

La prima pagina degli Elementi di Euclide , dalla prima versione stampata al mondo (1482), che mostra la sezione "definizioni" del Libro I. Il triangolo rettangolo è etichettato " orthogonius ", e i due angoli mostrati sono "acutus" e "angulus obtusus" .

I triangoli possono anche essere classificati in base ai loro angoli interni , qui misurati in gradi .

  • Un triangolo rettangolo (o triangolo rettangolo , precedentemente chiamato triangolo rettangolo ) ha uno dei suoi angoli interni che misurano 90° (un angolo retto ). Il lato opposto all'angolo retto è l' ipotenusa , il lato più lungo del triangolo. Gli altri due lati sono chiamati gambe o cateti (singolare: cateto ) del triangolo. I triangoli rettangoli obbediscono al teorema di Pitagora : la somma dei quadrati delle lunghezze dei due cateti è uguale al quadrato della lunghezza dell'ipotenusa: a 2 + b 2 = c 2 , dove a e b sono le lunghezze dei cateti e c è la lunghezza dell'ipotenusa. I triangoli rettangoli speciali sono triangoli rettangoli con proprietà aggiuntive che semplificano i calcoli che li coinvolgono. Uno dei due più famosi è il triangolo rettangolo 3-4-5, dove 3 2 + 4 2 = 5 2 . Il triangolo 3-4-5 è anche conosciuto come triangolo egiziano. In questa situazione, 3, 4 e 5 sono una terna pitagorica . L'altro è un triangolo isoscele che ha 2 angoli che misurano 45 gradi (triangolo 45-45-90).
  • Un triangolo con tutti gli angoli interni che misurano meno di 90° è un triangolo acuto o triangolo acutangolo . Se c è la lunghezza del lato più lungo, allora a 2 + b 2 > c 2 , dove a e b sono le lunghezze degli altri lati.
  • Un triangolo con un angolo interno che misura più di 90° è un triangolo ottuso o triangolo ottuso . Se c è la lunghezza del lato più lungo, allora a 2 + b 2 < c 2 , dove a e b sono le lunghezze degli altri lati.
  • Un triangolo con un angolo interno di 180° (e vertici collineari ) è degenere . Un triangolo rettangolo degenere ha vertici collineari, due dei quali sono coincidenti.

Un triangolo che ha due angoli della stessa misura ha anche due lati della stessa lunghezza, e quindi è un triangolo isoscele. Ne segue che in un triangolo in cui tutti gli angoli hanno la stessa misura, tutti e tre i lati hanno la stessa lunghezza, e quindi è equilatero.

Triangolo rettangolo triangolo ottuso triangolo acuto
Destra Ottuso acuto
 
  Obliquo

Fatti basilari

Un triangolo, che mostra l'angolo esterno d.

Si presume che i triangoli siano figure piane bidimensionali , a meno che il contesto non disponga diversamente (vedi Triangoli non planari , sotto). Nei trattamenti rigorosi, un triangolo è quindi chiamato 2- simplesso (vedi anche Polytope ). Fatti elementari sui triangoli sono stati presentati da Euclide , nei libri 1-4 dei suoi Elementi , scritti intorno al 300 a.C.

Le misure degli angoli interni del triangolo si sommano sempre fino a 180 gradi (stesso colore per indicare che sono uguali).

La somma delle misure degli angoli interni di un triangolo in spazio euclideo è sempre 180 gradi. Questo fatto è equivalente al postulato parallelo di Euclide . Questo permette di determinare la misura del terzo angolo di qualsiasi triangolo, data la misura di due angoli. Un angolo esterno di un triangolo è un angolo che è una coppia lineare (e quindi supplementare ) di un angolo interno. La misura di un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma delle misure dei due angoli interni che non sono adiacenti ad esso; questo è il teorema dell'angolo esterno . La somma delle misure dei tre angoli esterni (uno per ogni vertice) di ogni triangolo è 360 gradi.

Somiglianza e congruenza

Due triangoli si dicono simili se ogni angolo di un triangolo ha la stessa misura dell'angolo corrispondente nell'altro triangolo. I lati corrispondenti di triangoli simili hanno lunghezze che sono nella stessa proporzione, e anche questa proprietà è sufficiente per stabilire la somiglianza.

Alcuni teoremi di base sui triangoli simili sono:

  • Se e solo se una coppia di angoli interni di due triangoli ha la stessa misura e anche un'altra coppia ha la stessa misura, i triangoli sono simili.
  • Se e solo se una coppia di lati corrispondenti di due triangoli sono nella stessa proporzione di un'altra coppia di lati corrispondenti, e i loro angoli inclusi hanno la stessa misura, allora i triangoli sono simili. (L' angolo incluso per qualsiasi due lati di un poligono è l'angolo interno tra quei due lati.)
  • Se e solo se tre coppie di lati corrispondenti di due triangoli sono tutte nella stessa proporzione, allora i triangoli sono simili.

Due triangoli congruenti hanno esattamente le stesse dimensioni e forma: tutte le coppie di angoli interni corrispondenti sono uguali in misura e tutte le coppie di lati corrispondenti hanno la stessa lunghezza. (Questo è un totale di sei uguaglianze, ma spesso tre sono sufficienti per dimostrare la congruenza.)

Alcune condizioni individualmente necessarie e sufficienti affinché una coppia di triangoli sia congruente sono:

  • Postulato SAS: due lati in un triangolo hanno la stessa lunghezza di due lati nell'altro triangolo e gli angoli inclusi hanno la stessa misura.
  • ASA: Due angoli interni e il lato incluso in un triangolo hanno rispettivamente la stessa misura e lunghezza di quelli dell'altro triangolo. (Il lato incluso per una coppia di angoli è il lato che è comune a loro.)
  • SSS: ogni lato di un triangolo ha la stessa lunghezza del lato corrispondente dell'altro triangolo.
  • AAS: Due angoli e un lato corrispondente (non incluso) in un triangolo hanno rispettivamente la stessa misura e lunghezza di quelli dell'altro triangolo. (Questo è a volte indicato come AAcorrS e quindi include ASA sopra.)

Alcune condizioni individualmente sufficienti sono:

  • Teorema ipotenusa-gamba (HL): L'ipotenusa e un cateto in un triangolo rettangolo hanno la stessa lunghezza di quelli in un altro triangolo rettangolo. Questo è anche chiamato RHS (angolo retto, ipotenusa, lato).
  • Teorema ipotenusa-angolo: L'ipotenusa e l'angolo acuto in un triangolo rettangolo hanno la stessa lunghezza e misura, rispettivamente, di quelli dell'altro triangolo rettangolo. Questo è solo un caso particolare del teorema AAS.

Una condizione importante è:

  • Condizione Lato-Lato-Angolo (o Angolo-Lato-Lato): Se due lati e un corrispondente angolo non compreso di un triangolo hanno la stessa lunghezza e misura, rispettivamente, di quelli di un altro triangolo, allora questo non è sufficiente per dimostrare congruenza; ma se l'angolo dato è opposto al lato maggiore dei due lati, allora i triangoli sono congruenti. Il teorema ipotenusa-gamba è un caso particolare di questo criterio. La condizione Lato-Lato-Angolo non garantisce di per sé che i triangoli siano congruenti perché un triangolo potrebbe essere ottuso e l'altro acuto.

Utilizzando i triangoli rettangoli e il concetto di similarità, si possono definire le funzioni trigonometriche seno e coseno. Queste sono funzioni di un angolo che vengono studiate in trigonometria .

Triangoli rettangoli

Il teorema di Pitagora

Un teorema centrale è il teorema di Pitagora , che afferma in ogni triangolo rettangolo , il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze degli altri due lati. Se l'ipotenusa ha lunghezza c e i cateti hanno lunghezza a e b , allora il teorema afferma che

È vero il contrario: se le lunghezze dei lati di un triangolo soddisfano l'equazione precedente, allora il triangolo ha un angolo retto opposto al lato c .

Alcuni altri fatti sui triangoli rettangoli:

  • Se le gambe di un triangolo rettangolo hanno la stessa lunghezza, allora gli angoli opposti a quelle gambe hanno la stessa misura. Poiché questi angoli sono complementari, ne consegue che ciascuno misura 45 gradi. Per il teorema di Pitagora, la lunghezza dell'ipotenusa è la lunghezza di una gamba volte 2 .
  • In un triangolo rettangolo con angoli acuti di 30 e 60 gradi, l'ipotenusa è il doppio della lunghezza del cateto minore, e il cateto maggiore è uguale alla lunghezza del cateto minore per 3 :

Per tutti i triangoli, angoli e lati sono legate dalla legge dei coseni e legge dei seni (detta anche la regola coseno e regola sinusoidale ).

Esistenza di un triangolo

Condizione sui lati

La disuguaglianza triangolare afferma che la somma delle lunghezze di due lati qualsiasi di un triangolo deve essere maggiore o uguale alla lunghezza del terzo lato. Tale somma può eguagliare la lunghezza del terzo lato solo nel caso di un triangolo degenere, uno con vertici collineari. Non è possibile che tale somma sia inferiore alla lunghezza del terzo lato. Un triangolo con tre lati positivi dati esiste se e solo se tali lunghezze soddisfano la disuguaglianza triangolare.

Condizioni sugli angoli

Tre angoli dati formano un triangolo non degenere (e in effetti un'infinità di essi) se e solo se valgono entrambe queste condizioni: (a) ciascuno degli angoli è positivo e (b) la somma degli angoli a 180°. Se sono ammessi triangoli degeneri, sono ammessi angoli di 0°.

Condizioni trigonometriche

Tre angoli positivi α , β e γ , ciascuno inferiore a 180°, sono gli angoli di un triangolo se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

l'ultima uguaglianza si applica solo se nessuno degli angoli è 90° (quindi il valore della funzione tangente è sempre finito).

Punti, linee e cerchi associati a un triangolo

Ci sono migliaia di costruzioni diverse che trovano un punto speciale associato (e spesso all'interno) di un triangolo, che soddisfa alcune proprietà uniche: vedere l'articolo Encyclopedia of Triangle Centers per un loro catalogo. Spesso vengono costruite trovando tre rette associate in modo simmetrico ai tre lati (o vertici) e poi dimostrando che le tre rette si incontrano in un unico punto: uno strumento importante per dimostrare l'esistenza di queste è il teorema di Ceva , che dà una criterio per determinare quando tre di tali linee sono concorrenti . Allo stesso modo, le linee associate a un triangolo sono spesso costruite dimostrando che tre punti costruiti simmetricamente sono collineari : qui il teorema di Menelao fornisce un utile criterio generale. In questa sezione vengono spiegate solo alcune delle costruzioni più comuni.

Il circocentro è il centro di una circonferenza passante per i tre vertici del triangolo.

Una bisettrice perpendicolare di un lato di un triangolo è una retta passante per il punto medio del lato ed essendo ad esso perpendicolare, cioè formando con esso un angolo retto. Le tre bisettrici perpendicolari si incontrano in un unico punto, il circocentro del triangolo , solitamente indicato con O ; questo punto è il centro del circumcircle , il cerchio passante per tutti e tre i vertici. Il diametro di questo cerchio, chiamato circumdiametro , può essere ricavato dalla legge dei seni di cui sopra. Il raggio del circumcircle è chiamato circumradius .

Il teorema di Talete implica che se il circocentro si trova su un lato del triangolo, allora l'angolo opposto è retto. Se il circocentro si trova all'interno del triangolo, allora il triangolo è acuto; se il circocentro si trova all'esterno del triangolo, allora il triangolo è ottuso.

L'intersezione delle altitudini è l' ortocentro .

L' altezza di un triangolo è una retta passante per un vertice e perpendicolare (cioè formando un angolo retto con) il lato opposto. Questo lato opposto è chiamato base dell'altitudine, e il punto in cui l'altitudine interseca la base (o la sua estensione) è chiamato piede dell'altitudine. La lunghezza dell'altezza è la distanza tra la base e il vertice. Le tre quote si intersecano in un unico punto, detto ortocentro del triangolo, solitamente indicato con H . L'ortocentro è interno al triangolo se e solo se il triangolo è acuto.

L'intersezione delle bisettrici degli angoli è il centro dell'incerchio .

La bisettrice di un triangolo è una retta passante per un vertice che taglia a metà l'angolo corrispondente. I tre bisettrici intersecano in un unico punto, l'incenter , generalmente indicata con I , il centro del triangolo incircle . L'incircle è il cerchio che si trova all'interno del triangolo e tocca tutti e tre i lati. Il suo raggio è chiamato inradius . Ci sono altri tre cerchi importanti, gli excircles ; giacciono fuori dal triangolo e toccano un lato così come le estensioni degli altri due. I centri degli in ed excircles formano un sistema ortocentrico .

L'intersezione delle mediane è il baricentro .

La mediana di un triangolo è una retta passante per un vertice e per il punto medio del lato opposto e divide il triangolo in due aree uguali. Le tre mediane si intersecano in un unico punto, il baricentro del triangolo o baricentro geometrico, solitamente indicato con G . Il baricentro di un oggetto triangolare rigido (tagliato da un sottile foglio di densità uniforme) è anche il suo centro di massa : l'oggetto può essere bilanciato sul suo baricentro in un campo gravitazionale uniforme. Il baricentro taglia ogni mediana nel rapporto 2:1, cioè la distanza tra un vertice e il baricentro è il doppio della distanza tra il baricentro e il punto medio del lato opposto.

Il cerchio di nove punti mostra una simmetria in cui sei punti giacciono sul bordo del triangolo.

I punti medi dei tre lati e i piedi delle tre altezze giacciono tutti su un unico cerchio, il cerchio di nove punte del triangolo . I restanti tre punti da cui prende il nome sono i punti medi della porzione di quota compresa tra i vertici e l' ortocentro . Il raggio del cerchio di nove punti è la metà di quello del circumcircle. Tocca l'incircle (al punto Feuerbach ) ei tre excircles .

La retta di Eulero è una retta passante per l'ortocentro (blu), il centro del cerchio di nove punti (rosso), il baricentro (arancione) e il circocentro (verde)

L'ortocentro (punto blu), il centro del cerchio di nove punti (rosso), il baricentro (arancione) e il circocentro (verde) giacciono tutti su un'unica linea, nota come linea di Eulero (linea rossa). Il centro del cerchio di nove punti si trova nel punto medio tra l'ortocentro e il circocentro, e la distanza tra il baricentro e il circocentro è la metà di quella tra il baricentro e l'ortocentro.

Il centro dell'incircle non è generalmente situato sulla linea di Eulero.

Se si riflette una mediana nella bisettrice dell'angolo che passa per lo stesso vertice, si ottiene una simmedia . I tre simmediani si intersecano in un unico punto, il punto simmediano del triangolo.

Calcolo dei lati e degli angoli

Esistono vari metodi standard per calcolare la lunghezza di un lato o la misura di un angolo. Alcuni metodi sono adatti per calcolare i valori in un triangolo rettangolo; metodi più complessi possono essere richiesti in altre situazioni.

Rapporti trigonometrici in triangoli rettangoli

Un triangolo rettangolo include sempre un angolo di 90° (π/2 radianti), qui con l'etichetta C. Gli angoli A e B possono variare. Le funzioni trigonometriche specificano le relazioni tra le lunghezze dei lati e gli angoli interni di un triangolo rettangolo.

Nei triangoli rettangoli , i rapporti trigonometrici di seno, coseno e tangente possono essere utilizzati per trovare gli angoli sconosciuti e le lunghezze dei lati sconosciuti. I lati del triangolo sono conosciuti come segue:

  • L' ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto, o definito come il lato più lungo di un triangolo rettangolo, in questo caso h .
  • Il lato opposto è il lato opposto all'angolo che ci interessa, in questo caso a .
  • Il lato adiacente è il lato che è in contatto con l'angolo che ci interessa e l'angolo retto, da cui il nome. In questo caso il lato adiacente è b .

Seno, coseno e tangente

Il seno di un angolo è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza dell'ipotenusa. Nel nostro caso

Questo rapporto non dipende dal particolare triangolo rettangolo scelto, purché contenga l'angolo A , poiché tutti quei triangoli sono simili .

Il coseno di un angolo è il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa. Nel nostro caso

La tangente di un angolo è il rapporto tra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente. Nel nostro caso

L'acronimo " SOH-CAH-TOA " è un utile mnemonico per questi rapporti.

Funzioni inverse

Le funzioni trigonometriche inverse possono essere utilizzate per calcolare gli angoli interni di un triangolo rettangolo con la lunghezza di due lati qualsiasi.

Arcsin può essere utilizzato per calcolare un angolo dalla lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.

Arcos può essere utilizzato per calcolare un angolo dalla lunghezza del cateto adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa.

Arctan può essere utilizzato per calcolare un angolo dalla lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente.

Nei corsi introduttivi di geometria e trigonometria, la notazione sin −1 , cos −1 , ecc., è spesso usata al posto di arcsin, arccos, ecc. Tuttavia, la notazione arcsin, arccos, ecc. è standard nella matematica superiore dove la trigonometria le funzioni sono comunemente elevate a poteri, in quanto ciò evita confusione tra inverso moltiplicativo e inverso compositivo .

Regole di seno, coseno e tangente

Un triangolo con lati di lunghezza a, b e c e angoli di α, β e γ rispettivamente.

La legge dei seni , o regola del seno, afferma che il rapporto tra la lunghezza di un lato e il seno del suo corrispondente angolo opposto è costante, cioè

Questo rapporto è uguale al diametro del cerchio circoscritto del triangolo dato. Un'altra interpretazione di questo teorema è che ogni triangolo con angoli α, β e γ è simile a un triangolo con lati di lunghezza uguale a sin α, sin β e sin γ. Questo triangolo può essere costruito costruendo prima un cerchio di diametro 1 e inscrivendovi due degli angoli del triangolo. La lunghezza dei lati di quel triangolo sarà sin α, sin β e sin γ. Il lato la cui lunghezza è sin α è opposto all'angolo la cui misura è α, ecc.

La legge dei coseni , o regola del coseno, collega la lunghezza di un lato sconosciuto di un triangolo alla lunghezza degli altri lati e l'angolo opposto al lato sconosciuto. Come da legge:

Per un triangolo di lunghezza dei lati a , b , c e angoli rispettivamente di α, β, γ, date due lunghezze note di un triangolo a e b , e l'angolo tra i due lati noti γ (o l'angolo opposto all'incognito lato c ), per calcolare il terzo lato c , si può utilizzare la seguente formula:

Se si conoscono le lunghezze di tutti e tre i lati di qualsiasi triangolo, si possono calcolare i tre angoli:

La legge delle tangenti , o regola della tangente, può essere utilizzata per trovare un lato o un angolo quando sono noti due lati e un angolo o due angoli e un lato. Si afferma che:

Soluzione di triangoli

La "soluzione dei triangoli" è il principale problema trigonometrico : trovare le caratteristiche mancanti di un triangolo (tre angoli, le lunghezze dei tre lati ecc.) quando sono date almeno tre di queste caratteristiche. Il triangolo può essere posizionato su un piano o su una sfera . Questo problema si verifica spesso in varie applicazioni trigonometriche, come geodesia , astronomia , costruzioni , navigazione ecc.

Calcolare l'area di un triangolo

L'area di un triangolo può essere dimostrata, ad esempio mediante la congruenza dei triangoli , come metà dell'area di un parallelogramma che ha la stessa lunghezza e altezza di base.
Una derivazione grafica della formula che evita la consueta procedura di raddoppiare l'area del triangolo e poi dimezzarla.

Il calcolo dell'area T di un triangolo è un problema elementare che si incontra spesso in molte situazioni diverse. La formula più conosciuta e più semplice è:

dove b è la lunghezza della base del triangolo e h è l'altezza o l'altezza del triangolo. Il termine "base" indica qualsiasi lato e "altezza" indica la lunghezza di una perpendicolare dal vertice opposto alla base sulla linea contenente la base. Nel 499 dC Aryabhata , usò questo metodo illustrato nell'Aryabhatiya (sezione 2.6).

Sebbene semplice, questa formula è utile solo se l'altezza può essere trovata facilmente, il che non è sempre il caso. Ad esempio, il geometra di un campo triangolare potrebbe trovare relativamente facile misurare la lunghezza di ciascun lato, ma relativamente difficile costruire un'"altezza". Nella pratica possono essere utilizzati vari metodi, a seconda di ciò che si sa del triangolo. Quella che segue è una selezione di formule usate di frequente per l'area di un triangolo.

Usando la trigonometria

Applicando la trigonometria per trovare l'altitudine h .

L'altezza di un triangolo può essere trovata attraverso l'applicazione della trigonometria .

Conoscere SAS : Usando le etichette nell'immagine a destra, l'altitudine è h = a sin . Sostituendo questo nella formula derivata sopra, l'area del triangolo può essere espressa come:

(dove α è l'angolo interno in A , è l'angolo interno in B , è l'angolo interno in C e c è la retta AB ).

Inoltre, poiché sin α = sin ( π − α) = sin (β + ), e analogamente per gli altri due angoli:

Conoscere AAS :

e analogamente se il lato noto è a o c .

Conoscere l'ASA :

e analogamente se il lato noto è b o c .

Usando la formula di Heron

La forma del triangolo è determinata dalle lunghezze dei lati. Pertanto, l'area può essere ricavata anche dalle lunghezze dei lati. Per la formula di Erone :

dove è il semiperimetro , o metà del perimetro del triangolo.

Altri tre modi equivalenti di scrivere la formula di Erone sono

Usando i vettori

L'area di un parallelogramma immerso in uno spazio euclideo tridimensionale può essere calcolata utilizzando i vettori . Siano i vettori AB e AC punti rispettivamente da A a B e da A a C . L'area del parallelogramma ABDC è quindi

che è il modulo del prodotto vettoriale dei vettori AB e AC . L'area del triangolo ABC è la metà di questo,

L'area del triangolo ABC può anche essere espressa in termini di prodotti scalari come segue:

Nello spazio euclideo bidimensionale, esprimendo il vettore AB come vettore libero nello spazio cartesiano uguale a ( x 1 , y 1 ) e AC come ( x 2 , y 2 ), questo può essere riscritto come:

Usando le coordinate

Se il vertice A si trova all'origine (0, 0) di un sistema di coordinate cartesiane e le coordinate degli altri due vertici sono date da B = ( x B , y B ) e C = ( x C , y C ) , allora l'area può essere calcolata come 12 volte il valore assoluto del determinante

Per tre vertici generali, l'equazione è:

che può essere scritto come

Se i punti sono etichettati in sequenza in senso antiorario, le espressioni determinanti di cui sopra sono positive e i segni di valore assoluto possono essere omessi. La formula di cui sopra è nota come formula del laccio o formula del geometra.

Se individuiamo i vertici nel piano complesso e li denotiamo in senso antiorario come a = x A + y A i , b = x B + y B i , e c = x C + y C i , e denotiamo i loro complessi coniugati come , , e , quindi la formula

è equivalente alla formula del laccio.

In tre dimensioni, l'area di un triangolo generico A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) e C = ( x C , y C , z C ) è la Somma pitagorica delle aree delle rispettive proiezioni sui tre piani principali (cioè x = 0, y = 0 ez = 0):

Usando gli integrali di linea

L'area all'interno di qualsiasi curva chiusa, come un triangolo, è data dalla linea integrale attorno alla curva della distanza algebrica o con segno di un punto sulla curva da una retta orientata arbitrariamente L . I punti a destra di L come orientati sono considerati a distanza negativa da L , mentre il peso per l'integrale è considerato la componente della lunghezza dell'arco parallela a L anziché la lunghezza dell'arco stessa.

Questo metodo è adatto al calcolo dell'area di un poligono arbitrario . Considerando L come l' asse x , l'integrale di linea tra i vertici consecutivi ( x i , y i ) e ( x i +1 , y i +1 ) è dato dalla base per l'altezza media, cioè ( x i +1x io )( y io + y io +1 )/2 . Il segno dell'area è un indicatore complessivo della direzione di traversata, con area negativa che indica l'attraversamento in senso antiorario. L'area di un triangolo cade quindi come nel caso di un poligono con tre lati.

Mentre il metodo dell'integrale di linea ha in comune con altri metodi basati sulle coordinate la scelta arbitraria di un sistema di coordinate, a differenza degli altri non fa alcuna scelta arbitraria del vertice del triangolo come origine o del lato come base. Inoltre, la scelta del sistema di coordinate definito da L vincola solo a due gradi di libertà anziché ai soliti tre, poiché il peso è una distanza locale (es. x i +1x i in sopra) per cui il metodo non richiede la scelta un asse normale a L .

Quando si lavora in coordinate polari non è necessario convertire in coordinate cartesiane per utilizzare l'integrazione di linea, poiché viene dato l'integrale di linea tra i vertici consecutivi ( r ii ) e ( r i +1i +1 ) di un poligono direttamente da r i r i +1 sin(θ i +1 − θ i )/2 . Questo è valido per tutti i valori di θ, con una certa diminuzione dell'accuratezza numerica quando |θ| è di molti ordini di grandezza maggiore di . Con questa formulazione l'area negativa indica l'attraversamento in senso orario, che dovrebbe essere tenuto presente quando si mescolano coordinate polari e cartesiane. Proprio come la scelta dell'asse y ( x = 0 ) è irrilevante per l'integrazione della linea in coordinate cartesiane, così è irrilevante la scelta dell'intestazione zero ( θ = 0 ).

Formule che ricordano la formula di Erone

Tre formule hanno la stessa struttura della formula di Erone ma sono espresse in termini di variabili diverse. Innanzitutto, denotando le mediane dai lati a , b , e c rispettivamente come m a , m b , e m c e la loro semisomma ( m a + m b + m c )/2 come σ, abbiamo

Successivamente, denotando le altezze da lati un , b , e c rispettivamente h una , h b , e h c , e denota il semi-somma dei reciproci dei altitudini disponiamo

E indicando la semisomma dei seni degli angoli come S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , si ha

dove D è il diametro della circonferenza:

Usando il teorema di Pick

Vedere il teorema di Pick per una tecnica per trovare l'area di qualsiasi poligono reticolare arbitrario (uno disegnato su una griglia con punti reticolari adiacenti verticalmente e orizzontalmente a distanze uguali e con vertici sui punti reticolari).

Il teorema afferma:

dove è il numero di punti del reticolo interno e B è il numero di punti del reticolo che giacciono sul bordo del poligono.

Altre formule di zona

Esistono numerose altre formule di area, come

dove r è l' inradius , e s è il semiperimetro (infatti, questa formula vale per tutti i poligoni tangenziali ), e

dove sono i raggi delle circonferenze tangenti rispettivamente ai lati a, b, c .

Abbiamo anche

e

per circumdiametro D ; e

per angolo α ≠ 90°.

L'area può essere espressa anche come

Nel 1885 Baker fornì una raccolta di oltre un centinaio di formule di area distinte per il triangolo. Questi includono:

per circumradius (raggio del circumcircle) R , e

Limite superiore dell'area

L'area T di qualsiasi triangolo con perimetro p soddisfa

con uguaglianza se e solo se il triangolo è equilatero.

Altri limiti superiori dell'area T sono dati da

e

entrambi di nuovo tenendo se e solo se il triangolo è equilatero.

Bisecare l'area

Ci sono infinite rette che bisecano l'area di un triangolo . Tre di loro sono le mediane, che sono le uniche bisettrici dell'area che passano attraverso il baricentro. Altre tre bisettrici dell'area sono parallele ai lati del triangolo.

Qualsiasi linea attraverso un triangolo che divide a metà sia l'area del triangolo che il suo perimetro passa attraverso l'incentro del triangolo. Ce ne possono essere uno, due o tre per ogni triangolo dato.

Ulteriori formule per triangoli euclidei generali

Le formule in questa sezione sono vere per tutti i triangoli euclidei.

Mediane, bisettrici degli angoli, bisettrici dei lati perpendicolari e altitudini

Le mediane e i lati sono correlati da

e

,

e equivalentemente per m b e m c .

Per l'angolo A lato opposto a , la lunghezza della bisettrice dell'angolo interno è data da

per il semiperimetro s , dove la lunghezza della bisettrice è misurata dal vertice al punto in cui incontra il lato opposto.

Le bisettrici perpendicolari interne sono date da

dove sono i lati e l'area è

L'altitudine da, ad esempio, il lato di lunghezza a è

Circumradius e inradius

Le seguenti formule coinvolgono il circumradius R e l'inradius r :

dove h a ecc. sono le altitudini ai lati in pedice;

e

.

Il prodotto di due lati di un triangolo è uguale all'altezza del terzo lato per il diametro D della circonferenza:

Triangoli adiacenti

Supponiamo che due triangoli adiacenti ma non sovrapposti condividano lo stesso lato di lunghezza f e condividano lo stesso circumcerchio, in modo che il lato di lunghezza f sia una corda del circumcircle e i triangoli abbiano lati di lunghezza ( a , b , f ) e ( c , d , f ), con i due triangoli insieme a formare un quadrilatero ciclico con lati in sequenza ( a , b , c , d ). Quindi

centroide

Sia G il baricentro di un triangolo con i vertici A , B e C , e sia P un qualsiasi punto interno. Quindi le distanze tra i punti sono legate da

La somma dei quadrati dei lati del triangolo è uguale a tre volte la somma dei quadrati delle distanze del baricentro dai vertici:

Siano q a , q b e q c le distanze dal baricentro ai lati delle lunghezze a , b e c . Quindi

e

per zona T .

Circocentro, incentro e ortocentro

Il teorema di Carnot afferma che la somma delle distanze dal circumcenter ai tre lati è uguale alla somma del circumradius e dell'inradius. Qui la lunghezza di un segmento è considerata negativa se e solo se il segmento si trova interamente al di fuori del triangolo. Questo metodo è particolarmente utile per dedurre le proprietà di forme più astratte di triangoli, come quelle indotte dalle algebre di Lie , che altrimenti hanno le stesse proprietà dei normali triangoli.

Il teorema di Eulero afferma che la distanza d tra il circocentro e l'incentro è data da

o equivalente

dove R è il circumradius e r è l'inradius. Quindi per tutti i triangoli R ≥ 2 r , con uguaglianza per i triangoli equilateri.

Se indichiamo che l'ortocentro divide un'altitudine in segmenti di lunghezza u e v , un'altra altitudine in segmenti di lunghezza w e x e la terza altitudine in segmenti di lunghezza y e z , allora uv = wx = yz .

La distanza da un lato al circocentro è uguale alla metà della distanza dal vertice opposto all'ortocentro.

La somma dei quadrati delle distanze dai vertici all'ortocentro H più la somma dei quadrati dei lati è pari a dodici volte il quadrato del circumradius:

angoli

Oltre alla legge dei seni , la legge dei coseni , la legge delle tangenti e le condizioni di esistenza trigonometriche date in precedenza, per ogni triangolo

Teorema del trisettore di Morley

Il triangolo di Morley, risultante dalla trisezione di ciascun angolo interno. Questo è un esempio di regola di suddivisione finita .

Il teorema del trisettore di Morley afferma che in ogni triangolo, i tre punti di intersezione dei trisettori degli angoli adiacenti formano un triangolo equilatero, chiamato triangolo di Morley.

Figure inscritte in un triangolo

Coniche

Come discusso sopra, ogni triangolo ha un cerchio inscritto univoco (incircle) che è interno al triangolo e tangente a tutti e tre i lati.

Ogni triangolo ha un'unica inellisse di Steiner che è interna al triangolo e tangente ai punti medi dei lati. Il teorema di Marden mostra come trovare i fuochi di questa ellisse . Questa ellisse ha l'area più grande di qualsiasi ellisse tangente a tutti e tre i lati del triangolo.

L' ellisse di Mandart di un triangolo è l'ellisse inscritta all'interno del triangolo tangente ai suoi lati nei punti di contatto dei suoi excerchi.

Per ogni ellisse inscritta in un triangolo ABC , siano i fuochi P e Q . Quindi

poligono convesso

Ogni poligono convesso di area T può essere inscritto in un triangolo di area al massimo pari a 2 T . L'uguaglianza vale (esclusivamente) per un parallelogramma .

Esagono

L' esagono di Lemoine è un esagono ciclico i cui vertici sono dati dalle sei intersezioni dei lati di un triangolo con le tre rette parallele ai lati e che passano per il suo punto simmediano . Nella sua forma semplice o nella sua forma autointersecante , l'esagono di Lemoine è interno al triangolo con due vertici su ciascun lato del triangolo.

Piazze

Ogni triangolo acuto ha tre quadrati inscritti (quadrati al suo interno tali che tutti e quattro i vertici di un quadrato giacciono su un lato del triangolo, quindi due di essi giacciono sullo stesso lato e quindi un lato del quadrato coincide con parte di un lato del triangolo). In un triangolo rettangolo due dei quadrati coincidono e hanno un vertice all'angolo retto del triangolo, quindi un triangolo rettangolo ha solo due quadrati distinti inscritti. Un triangolo ottuso ha un solo quadrato inscritto, con un lato che coincide con parte del lato più lungo del triangolo. All'interno di un dato triangolo, un lato comune più lungo è associato a un quadrato inscritto più piccolo. Se un quadrato inscritto ha lato di lunghezza q a e il triangolo ha un lato di lunghezza a , parte del quale lato coincide con un lato del quadrato, allora q a , a , l'altezza h a dal lato a , e il triangolo l'area T è correlata secondo

Il più grande rapporto possibile tra l'area del quadrato inscritto e l'area del triangolo è 1/2, che si verifica quando a 2 = 2 T , q = a /2 , e l'altezza del triangolo dalla base di lunghezza a è uguale ad a . Il più piccolo rapporto possibile tra il lato di un quadrato inscritto e il lato di un altro nello stesso triangolo non ottuso è Entrambi questi casi estremi si verificano per il triangolo rettangolo isoscele.

triangoli

Da un punto interno in un triangolo di riferimento, i punti più vicini sui tre lati fungono da vertici del triangolo pedale di quel punto. Se il punto interno è il circocentro del triangolo di riferimento, i vertici del triangolo del pedale sono i punti medi dei lati del triangolo di riferimento, e quindi il triangolo del pedale è chiamato triangolo del punto medio o triangolo mediale. Il triangolo del punto medio suddivide il triangolo di riferimento in quattro triangoli congruenti che sono simili al triangolo di riferimento.

Il triangolo Gergonne o triangolo intouch di un triangolo di riferimento ha i suoi vertici nei tre punti di tangenza dei lati del triangolo di riferimento con il suo incircle. Il triangolo extouch di un triangolo di riferimento ha i suoi vertici nei punti di tangenza dei cerchi del triangolo di riferimento con i suoi lati (non estesi).

Figure circoscritte a un triangolo

Il triangolo tangenziale di un triangolo di riferimento (diverso da un triangolo rettangolo) è il triangolo i cui lati si trovano sulle linee tangenti alla circonferenza del triangolo di riferimento ai suoi vertici.

Come accennato in precedenza, ogni triangolo ha un unico circumcircle, un cerchio passante per tutti e tre i vertici, il cui centro è l'intersezione delle bisettrici perpendicolari dei lati del triangolo.

Inoltre, ogni triangolo ha una circoellisse di Steiner unica , che passa attraverso i vertici del triangolo e ha il suo centro nel baricentro del triangolo. Di tutte le ellissi che passano per i vertici del triangolo, ha l'area più piccola.

L' iperbole di Kiepert è l'unica conica che passa per i tre vertici del triangolo, il suo baricentro e il suo circocentro.

Di tutti i triangoli contenuti in un dato poligono convesso, esiste un triangolo con area massima i cui vertici sono tutti i vertici del dato poligono.

Specificare la posizione di un punto in un triangolo

Un modo per identificare le posizioni dei punti all'interno (o all'esterno) di un triangolo è posizionare il triangolo in una posizione e un orientamento arbitrari nel piano cartesiano e utilizzare le coordinate cartesiane. Sebbene conveniente per molti scopi, questo approccio ha lo svantaggio che i valori delle coordinate di tutti i punti dipendono dal posizionamento arbitrario nel piano.

Due sistemi evitano quella caratteristica, in modo che le coordinate di un punto non siano influenzate spostando il triangolo, ruotandolo o riflettendolo come in uno specchio, nessuno dei quali dà un triangolo congruente, o anche ridimensionandolo per dare un triangolo simile :

  • Le coordinate trilineari specificano le distanze relative di un punto dai lati, in modo che le coordinate indichino che il rapporto tra la distanza del punto dal primo lato e la sua distanza dal secondo lato è , ecc.
  • Le coordinate baricentriche della forma specificano la posizione del punto dai pesi relativi che dovrebbero essere messi sui tre vertici per bilanciare il triangolo altrimenti senza peso sul punto dato.

Triangoli non planari

Un triangolo non planare è un triangolo che non è contenuto in un piano (piatto). Alcuni esempi di triangoli non planari a geometrie non euclidee sono sferiche triangoli in geometria sferica e iperbolica triangoli in geometria iperbolica .

Mentre le misure degli angoli interni nei triangoli planari sommano sempre a 180 °, un triangolo iperbolico ha misure di angoli che sommano a meno di 180 ° e un triangolo sferico ha misure di angoli che sommano a più di 180 °. Un triangolo iperbolico può essere ottenuto disegnando su una superficie curvata negativamente, come una superficie a sella , e un triangolo sferico può essere ottenuto disegnando su una superficie curva positivamente come una sfera . Quindi, se si disegna un triangolo gigante sulla superficie della Terra, si troverà che la somma delle misure dei suoi angoli è maggiore di 180°; infatti sarà compreso tra 180° e 540°. In particolare è possibile disegnare su una sfera un triangolo tale che la misura di ciascuno dei suoi angoli interni sia pari a 90°, per un totale di 270°.

In particolare, su una sfera la somma degli angoli di un triangolo è

180° × (1 + 4 f ),

dove f è la frazione dell'area della sfera racchiusa dal triangolo. Ad esempio, supponiamo di disegnare un triangolo sulla superficie terrestre con i vertici al Polo Nord, in un punto dell'equatore a 0° di longitudine e un punto sull'equatore a 90° di longitudine Ovest . La linea del cerchio massimo tra gli ultimi due punti è l'equatore e la linea del cerchio massimo tra uno di questi punti e il Polo Nord è una linea di longitudine; quindi ci sono angoli retti nei due punti dell'equatore. Inoltre, anche l'angolo al Polo Nord è di 90° perché gli altri due vertici differiscono di 90° di longitudine. Quindi la somma degli angoli in questo triangolo è 90° + 90° + 90° = 270° . Il triangolo racchiude 1/4 dell'emisfero nord (90°/360° visto dal Polo Nord) e quindi 1/8 della superficie terrestre, quindi nella formula f = 1/8 ; quindi la formula dà correttamente la somma degli angoli del triangolo come 270°.

Dalla formula della somma degli angoli sopra possiamo anche vedere che la superficie terrestre è localmente piatta: se disegniamo un triangolo arbitrariamente piccolo nelle vicinanze di un punto sulla superficie terrestre, la frazione f della superficie terrestre che è racchiusa dal triangolo sarà essere arbitrariamente prossimo allo zero. In questo caso la formula della somma degli angoli si semplifica a 180°, che sappiamo è ciò che ci dice la geometria euclidea per i triangoli su una superficie piana.

Triangoli in costruzione

Il Flatiron Building di New York ha la forma di un prisma triangolare

I rettangoli sono stati la forma geometrica più popolare e comune per gli edifici poiché la forma è facile da impilare e organizzare; come standard, è facile progettare mobili e infissi per adattarsi all'interno di edifici di forma rettangolare. Ma i triangoli, sebbene più difficili da usare concettualmente, forniscono una grande forza. Poiché la tecnologia informatica aiuta gli architetti a progettare nuovi edifici creativi, le forme triangolari stanno diventando sempre più prevalenti come parti di edifici e come forma primaria per alcuni tipi di grattacieli e come materiali da costruzione. A Tokyo nel 1989, gli architetti si erano chiesti se fosse possibile costruire una torre di 500 piani per fornire spazi per uffici a prezzi accessibili per questa città densamente popolata, ma con il pericolo per gli edifici di terremoti , gli architetti hanno ritenuto che sarebbe stata necessaria una forma triangolare se tale doveva essere costruito un edificio.

A New York City , mentre Broadway attraversa le strade principali, i blocchi risultanti sono tagliati come triangoli e gli edifici sono stati costruiti su queste forme; uno di questi edifici è il Flatiron Building, a forma triangolare, che gli operatori del settore immobiliare ammettono avere "un labirinto di spazi scomodi che non possono facilmente ospitare mobili da ufficio moderni", ma ciò non ha impedito alla struttura di diventare un'icona di riferimento. I designer hanno realizzato case in Norvegia utilizzando temi triangolari. Le forme triangolari sono apparse nelle chiese e negli edifici pubblici, inclusi i college, nonché i supporti per progetti domestici innovativi.

I triangoli sono robusti; mentre un rettangolo può collassare in un parallelogramma dalla pressione a uno dei suoi punti, i triangoli hanno una forza naturale che sostiene le strutture contro le pressioni laterali. Un triangolo non cambierà forma a meno che i suoi lati non siano piegati o estesi o rotti o se le sue articolazioni si rompano; in sostanza, ciascuno dei tre lati sostiene gli altri due. Un rettangolo, al contrario, dipende maggiormente dalla forza dei suoi giunti in senso strutturale. Alcuni designer innovativi hanno proposto di realizzare mattoni non con rettangoli, ma con forme triangolari che possono essere combinate in tre dimensioni. È probabile che i triangoli verranno utilizzati sempre più in modi nuovi man mano che l'architettura aumenta in complessità. È importante ricordare che i triangoli sono forti in termini di rigidità, ma mentre sono imballati in una disposizione a mosaico i triangoli non sono forti come gli esagoni sotto compressione (da qui la prevalenza delle forme esagonali in natura ). I triangoli tassellati mantengono comunque una forza superiore per il cantilevering , e questa è la base per una delle strutture artificiali più forti, il traliccio tetraedrico .

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

link esterno