Universalità (sistemi dinamici) - Universality (dynamical systems)
In meccanica statistica , l' universalità è l'osservazione che ci sono proprietà per una grande classe di sistemi che sono indipendenti dai dettagli dinamici del sistema. I sistemi mostrano l'universalità in un limite di scala, quando un gran numero di parti interagenti si uniscono. Il significato moderno del termine è stato introdotto da Leo Kadanoff negli anni '60, ma una versione più semplice del concetto era già implicita nell'equazione di van der Waals e nella precedente teoria delle transizioni di fase di Landau , che non incorporava correttamente lo scaling.
Il termine sta lentamente guadagnando un uso più ampio in diversi campi della matematica, tra cui la combinatoria e la teoria della probabilità , ogni volta che le caratteristiche quantitative di una struttura (come il comportamento asintotico) possono essere dedotte da alcuni parametri globali che compaiono nella definizione, senza richiedere la conoscenza di i dettagli del sistema.
Il gruppo di rinormalizzazione fornisce una spiegazione dell'universalità intuitivamente accattivante, sebbene matematicamente non rigorosa. Classifica gli operatori in una teoria del campo statistico in rilevanti e irrilevanti. Operatori rilevanti sono quelli responsabili delle perturbazioni all'energia libera, la Lagrangiana del tempo immaginario , che influenzeranno il limite del continuo , e possono essere viste a lunghe distanze. Gli operatori irrilevanti sono quelli che cambiano solo i dettagli a breve distanza. La raccolta di teorie statistiche invarianti di scala definisce le classi di universalità e l'elenco a dimensione finita dei coefficienti degli operatori rilevanti parametrizza il comportamento quasi critico.
Universalità nella meccanica statistica
La nozione di universalità ha origine nello studio delle transizioni di fase nella meccanica statistica. Una transizione di fase si verifica quando un materiale cambia le sue proprietà in modo drammatico: l'acqua, quando viene riscaldata, bolle e si trasforma in vapore; oppure un magnete, se riscaldato, perde il suo magnetismo. Le transizioni di fase sono caratterizzate da un parametro d'ordine , come la densità o la magnetizzazione, che cambia in funzione di un parametro del sistema, come la temperatura. Il valore speciale del parametro in corrispondenza del quale il sistema cambia fase è il punto critico del sistema . Per i sistemi che mostrano universalità, più il parametro è vicino al suo valore critico , meno sensibile è il parametro d'ordine che dipende dai dettagli del sistema.
Se il parametro è critico al valore β c , allora il parametro d'ordine a sarà ben approssimato da
L'esponente α è un esponente critico del sistema. La notevole scoperta fatta nella seconda metà del ventesimo secolo è stata che sistemi molto diversi avevano gli stessi esponenti critici.
Nel 1975, Mitchell Feigenbaum scoprì l'universalità nelle mappe iterate.
Esempi
L'universalità prende il nome perché è presente in una grande varietà di sistemi fisici. Esempi di universalità includono:
- Valanghe in cumuli di sabbia. La probabilità di una valanga è in proporzione alla legge di potenza alla dimensione della valanga e si osserva che si verificano valanghe a tutte le scale di grandezza. Questa è definita “ criticità auto-organizzata ”.
- La formazione e la propagazione di crepe e strappi in materiali che vanno dall'acciaio alla roccia alla carta. Le variazioni della direzione dello strappo, o la rugosità di una superficie fratturata, sono in legge di potenza proporzionali alla scala dimensionale.
- La rottura elettrica dei dielettrici , che assomigliano a crepe e strappi.
- La percolazione di fluidi attraverso mezzi disordinati, come petrolio attraverso letti rocciosi fratturati, o acqua attraverso carta da filtro, come nella cromatografia . La scala della legge di potenza collega la velocità del flusso alla distribuzione delle fratture.
- La diffusione delle molecole in soluzione e il fenomeno dell'aggregazione per diffusione limitata .
- La distribuzione di rocce di diverse dimensioni in una miscela aggregata che viene agitata (con la gravità che agisce sulle rocce).
- La comparsa di opalescenza critica nei fluidi in prossimità di una transizione di fase .
Panoramica teorica
Uno degli importanti sviluppi nella scienza dei materiali negli anni '70 e '80 è stata la realizzazione che la teoria dei campi statistici, simile alla teoria quantistica dei campi, potrebbe essere utilizzata per fornire una teoria microscopica dell'universalità. L'osservazione principale era che, per tutti i diversi sistemi, il comportamento in una transizione di fase è descritto da un campo continuo e che la stessa teoria del campo statistico descriverà sistemi diversi. Gli esponenti di scala in tutti questi sistemi possono essere derivati dalla sola teoria dei campi e sono noti come esponenti critici .
L'osservazione chiave è che vicino a una transizione di fase o punto critico , i disturbi si verificano a tutte le scale dimensionali, e quindi si dovrebbe cercare una teoria esplicitamente invariante di scala per descrivere i fenomeni, come sembra essere stato inserito in un quadro teorico formale prima da Pokrovsky e Patashinsky nel 1965. L'universalità è un sottoprodotto del fatto che ci sono relativamente poche teorie invarianti di scala. Per ogni sistema fisico specifico, la descrizione dettagliata può avere molti parametri e aspetti dipendenti dalla scala. Tuttavia, quando ci si avvicina alla transizione di fase, i parametri dipendenti dalla scala giocano un ruolo sempre meno importante e le parti invarianti di scala della descrizione fisica dominano. Pertanto, un modello semplificato, e spesso esattamente risolvibile , può essere utilizzato per approssimare il comportamento di questi sistemi vicino al punto critico.
La percolazione può essere modellata da una rete di resistori elettrici casuali , con l'elettricità che scorre da un lato all'altro della rete. La resistenza complessiva della rete risulta essere descritta dalla connettività media dei resistori nella rete.
La formazione di strappi e crepe può essere modellata da una rete casuale di fusibili elettrici . All'aumentare del flusso di corrente elettrica attraverso la rete, alcuni fusibili possono scoppiare, ma nel complesso la corrente viene deviata attorno alle aree problematiche e distribuita uniformemente. Tuttavia, ad un certo punto (alla transizione di fase) può verificarsi un guasto in cascata , in cui la corrente in eccesso da un fusibile saltato sovraccarica a sua volta il fusibile successivo, fino a quando i due lati della rete sono completamente scollegati e non scorre più corrente.
Per eseguire l'analisi di tali sistemi di reti casuali, si considera lo spazio stocastico di tutte le reti possibili (cioè l' insieme canonico ), e si esegue una somma (integrazione) su tutte le possibili configurazioni di rete. Come nella discussione precedente, ogni configurazione casuale data si intende estratta dal pool di tutte le configurazioni con una data distribuzione di probabilità; il ruolo della temperatura nella distribuzione è tipicamente sostituito dalla connettività media della rete.
I valori attesi degli operatori, come la portata, la capacità termica , ecc., si ottengono integrando su tutte le possibili configurazioni. Questo atto di integrazione su tutte le possibili configurazioni è il punto di comunanza tra i sistemi in meccanica statistica e la teoria quantistica dei campi . In particolare, il linguaggio del gruppo di rinormalizzazione può essere applicato alla discussione dei modelli di reti casuali. Negli anni '90 e 2000 sono state scoperte connessioni più forti tra i modelli statistici e la teoria del campo conforme . Lo studio dell'universalità rimane un'area di ricerca vitale.
Applicazioni in altri campi
Come altri concetti della meccanica statistica (come l' entropia e le equazioni principali ), l'universalità si è dimostrata un costrutto utile per caratterizzare i sistemi distribuiti a un livello superiore, come i sistemi multi-agente . Il termine è stato applicato alle simulazioni multi-agente, in cui il comportamento a livello di sistema esibito dal sistema è indipendente dal grado di complessità dei singoli agenti, essendo guidato quasi interamente dalla natura dei vincoli che governano le loro interazioni. Nella dinamica delle reti, l'universalità si riferisce al fatto che, nonostante la diversità dei modelli dinamici non lineari, che differiscono in molti dettagli, il comportamento osservato di molti sistemi diversi aderisce a un insieme di leggi universali. Queste leggi sono indipendenti dai dettagli specifici di ciascun sistema.