Teorema di Van Cittert-Zernike - Van Cittert–Zernike theorem

Il teorema di Van Cittert-Zernike , dal nome dei fisici Pieter Hendrik van Cittert e Frits Zernike , è una formula nella teoria della coerenza che afferma che in determinate condizioni la trasformata di Fourier della funzione di distribuzione dell'intensità di una sorgente lontana e incoerente è uguale alla sua visibilità complessa . Ciò implica che il fronte d'onda da una sorgente incoerente apparirà per lo più coerente a grandi distanze. Intuitivamente, questo può essere compreso considerando i fronti d'onda creati da due sorgenti incoerenti. Se misuriamo il fronte d'onda immediatamente davanti a una delle sorgenti, la nostra misurazione sarà dominata dalla sorgente vicina. Se effettuiamo la stessa misura lontano dalle sorgenti, la nostra misura non sarà più dominata da una singola sorgente; entrambe le sorgenti contribuiranno quasi equamente al fronte d'onda a grandi distanze.

Questo ragionamento può essere facilmente visualizzato facendo cadere due pietre al centro di uno stagno calmo. Vicino al centro dello stagno, il disturbo creato dalle due pietre sarà molto complicato. Man mano che il disturbo si propaga verso il bordo dello stagno, tuttavia, le onde si attenueranno e appariranno quasi circolari.

Il teorema di van Cittert-Zernike ha importanti implicazioni per la radioastronomia . Con l'eccezione di pulsar e maser , tutte le sorgenti astronomiche sono spazialmente incoerenti. Tuttavia, poiché sono osservati a distanze abbastanza grandi da soddisfare il teorema di van Cittert-Zernike, questi oggetti mostrano un grado di coerenza diverso da zero in diversi punti del piano di imaging. Misurando il grado di coerenza in diversi punti del piano di imaging (la cosiddetta " funzione di visibilità ") di un oggetto astronomico, un radioastronomo può quindi ricostruire la distribuzione della luminosità della sorgente e creare una mappa bidimensionale dell'aspetto della sorgente.

Enunciato del teorema

Consideriamo due piani paralleli molto distanti, entrambi perpendicolari alla linea di vista, e chiamiamoli piano sorgente e piano di osservazione ; Se è la funzione di mutua coerenza tra due punti nel piano di osservazione, allora ${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0)}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint I (l, m) e ^ {- 2 \ pi i (ul + vm)} \, dl \, dm}$

dove e sono i coseni di direzione di un punto su una sorgente distante nel piano sorgente, e sono rispettivamente la distanza x e la distanza y tra i due punti di osservazione sul piano di osservazione in unità di lunghezza d'onda ed è l'intensità della sorgente . Questo teorema fu derivato per la prima volta da Pieter Hendrik van Cittert nel 1934 con una dimostrazione più semplice fornita da Frits Zernike nel 1938. ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle I}$

Questo teorema rimarrà fonte di confusione per alcuni ingegneri o scienziati a causa della sua natura statistica e della differenza rispetto alla semplice correlazione o persino ai metodi di elaborazione della covarianza. Un buon riferimento (che potrebbe ancora non chiarire il problema per alcuni utenti, ma ha un ottimo schizzo per guidare il metodo a casa) è Goodman, a partire da pagina 207.

La funzione di mutua coerenza

La funzione di mutua coerenza spazio-temporale per un campo elettrico misurato in due punti di un piano di osservazione (chiamiamoli 1 e 2), è definita come ${\ displaystyle E (t)}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (\ tau) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} E_ {1} ( t) E_ {2} ^ {*} (t- \ tau) dt}$

dove è lo sfasamento temporale tra la misurazione dei punti di osservazione 1 e 2. La coerenza reciproca tra due punti può essere considerata come la correlazione incrociata mediata nel tempo tra i campi elettrici nei due punti separati nel tempo da . Quindi, se stiamo osservando due sorgenti completamente incoerenti, dovremmo aspettarci che la funzione di mutua coerenza sia relativamente piccola tra i due punti casuali nel piano di osservazione, perché le sorgenti interferiranno in modo distruttivo e costruttivo. Lontano dalle sorgenti, tuttavia, dovremmo aspettarci che la funzione di coerenza reciproca sia relativamente grande perché la somma dei campi osservati sarà quasi la stessa in due punti qualsiasi. ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle E (t)}$${\ displaystyle \ tau}$

La normalizzazione della funzione di mutua coerenza al prodotto delle radici quadrate delle intensità dei due campi elettrici produce il grado complesso di coerenza ( del secondo ordine) (funzione del coefficiente di correlazione):

${\ displaystyle \ gamma _ {12} (\ tau) = {\ frac {\ Gamma _ {12} (\ tau)} {{\ sqrt {I_ {1}}} {\ sqrt {I_ {2}}} }}}$

Dimostrazione del teorema

Siano e rispettivamente le coordinate cartesiane del piano sorgente e del piano di osservazione. Supponiamo che il campo elettrico dovuto a un punto dalla sorgente nel piano sorgente sia misurato in due punti e , nel piano di osservazione. La posizione di un punto nella sorgente può essere indicata dai suoi coseni di direzione . (Poiché la sorgente è distante, la sua direzione dovrebbe essere la stessa in .) Il campo elettrico misurato in può quindi essere scritto usando i fasori : ${\ displaystyle XY}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle (l, m)}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}}$

La sorgente è nel piano XY , mostrato nella parte superiore della figura, e il rivelatore è nel piano xy , mostrato nella parte inferiore della figura. Considera il campo elettrico in due punti e , nel piano di rilevamento a causa di un punto nella sorgente le cui coordinate sono date dalla direzione coseni e ${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle E_ {1} (l, m, t) = A \ left (l, m, t - {\ frac {R_ {1}} {c}} \ right) {\ frac {e ^ {- i \ omega \ left (t - {\ frac {R_ {1}} {c}} \ right)}} {R_ {1}}}}$

dove è la distanza dalla sorgente a , è la frequenza angolare della luce ed è l' ampiezza complessa del campo elettrico. Allo stesso modo, il campo elettrico misurato a può essere scritto come ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle E_ {2} (l, m, t) = A \ left (l, m, t - {\ frac {R_ {2}} {c}} \ right) {\ frac {e ^ {- i \ omega \ left (t - {\ frac {R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {2}}}}$

Calcoliamo ora la correlazione incrociata media nel tempo tra il campo elettrico a e : ${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle {\ big \ langle} E_ {1} (l, m, t) E_ {2} ^ {*} (l, m, t) {\ big \ rangle} = {\ Bigg \ langle} A \ sinistra (l, m, t - {\ frac {R_ {1}} {c}} \ destra) A ^ {*} \ sinistra (l, m, t - {\ frac {R_ {2}} {c} } \ right) {\ Bigg \ rangle} \ times {\ frac {e ^ {i \ omega {\ frac {R_ {1}} {c}}}} {R_ {1}}} \ times {\ frac { e ^ {- i \ omega {\ frac {R_ {2}} {c}}}} {R_ {2}}}}$

Poiché la quantità nelle parentesi angolari è mediata nel tempo, è possibile aggiungere un offset arbitrario al termine temporale delle ampiezze purché lo stesso offset venga aggiunto a entrambi. Aggiungiamo ora al termine temporale di entrambe le ampiezze. La correlazione incrociata mediata nel tempo del campo elettrico nei due punti si semplifica quindi a ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1}} {c}}}$

${\ displaystyle {\ big \ langle} E_ {1} (l, m, t) E_ {2} ^ {*} (l, m, t) {\ big \ rangle} = {\ Bigg \ langle} A ( l, m, t) A ^ {*} \ left (l, m, t - {\ frac {R_ {2} -R_ {1}} {c}} \ right) {\ Bigg \ rangle} \ times { \ frac {e ^ {i \ omega \ left ({\ frac {R_ {1} -R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {1} R_ {2}}}}$

Ma se la sorgente si trova nel campo lontano, la differenza tra e sarà piccola rispetto alla distanza percorsa dalla luce nel tempo . ( È dello stesso ordine come l'inverso della larghezza di banda .) Questa piccola correzione può quindi essere trascurata, semplificando ulteriormente l'espressione per la cross-correlazione del campo elettrico e di ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {2}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ Displaystyle \ langle E_ {1} (l, m, t) E_ {2} ^ {*} (l, m, t) \ rangle = \ langle A (l, m, t) A ^ {*} ( l, m, t) \ rangle \ times {\ frac {e ^ {i \ omega \ left ({\ frac {R_ {1} -R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {1 } R_ {2}}}}$

Ora, è semplicemente l'intensità della sorgente in un punto particolare, . Quindi la nostra espressione per la correlazione incrociata si semplifica ulteriormente a ${\ Displaystyle \ langle A (l, m, t) A ^ {*} (l, m, t) \ rangle}$${\ displaystyle I (l, m)}$

${\ Displaystyle \ langle E_ {1} (l, m, t) E_ {2} ^ {*} (l, m, t) \ rangle = I (l, m) {\ frac {e ^ {i \ omega \ left ({\ frac {R_ {1} -R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {1} R_ {2}}}}$

Per calcolare la funzione di coerenza reciproca da questa espressione, è sufficiente integrare l'intera sorgente.

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint _ {\ textrm {source}} I (l, m) {\ frac {e ^ {i \ omega \ left ({\ frac { R_ {1} -R_ {2}} {c}} \ right)}} {R_ {1} R_ {2}}} \, dS}$

Si noti che i termini incrociati del modulo non sono inclusi perché si presume che la fonte sia incoerente. La correlazione mediata nel tempo tra due punti diversi dalla sorgente sarà quindi zero. ${\ displaystyle \ langle A_ {1} (l, m, t) A_ {2} ^ {*} (l, m, t) \ rangle}$

Quindi riscrivi il termine usando e . Per fare questo, lascia e . Questo da ${\ displaystyle R_ {2} -R_ {1}}$${\ displaystyle u, v, l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1})}$${\ displaystyle P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$

${\ displaystyle R_ {1} = {\ sqrt {R ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2}}} \,}$

${\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt {R ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2}}} \,}$

dove è la distanza tra il centro del piano di osservazione e il centro della sorgente. La differenza tra e diventa così ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {2}}$

${\ displaystyle R_ {2} -R_ {1} = R {\ sqrt {1 + {\ frac {x_ {2} ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {y_ {2} ^ {2}} {R ^ {2}}}}} - R {\ sqrt {1 + {\ frac {x_ {1} ^ {2}} {R ^ {2}}} + {\ frac {y_ {1} ^ {2}} {R ^ {2}}}}}}$

Ma poiché e sono tutte molto inferiori , le radici quadrate possono essere espanse di Taylor , cedendo, al primo ordine, ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}}$${\ displaystyle y_ {2}}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R_ {2} -R_ {1} = R \ sinistra (1 + {\ frac {1} {2}} \ sinistra ({\ frac {x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \ right) -R \ left (1 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \ right)}$

che, dopo alcune manipolazioni algebriche, si semplifica in

${\ displaystyle R_ {2} -R_ {1} = {\ frac {1} {2R}} \ left ((x_ {2} -x_ {1}) (x_ {2} + x_ {1}) + ( y_ {2} -y_ {1}) (y_ {2} + y_ {1}) \ right)}$

Ora, è il punto medio lungo l' asse-tra e , quindi , ci dà uno dei coseni di direzione alle sorgenti. Analogamente, . Inoltre, ricorda che è stato definito come il numero di lunghezze d'onda lungo l' asse compreso tra e . Così ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (x_ {2} + x_ {1})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2R}} (x_ {2} + x_ {1})}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m = {\ frac {1} {2R}} (y_ {2} + y_ {1})}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle u = {\ frac {\ omega} {2 \ pi c}} (x_ {1} -x_ {2})}$

Allo stesso modo, è il numero di lunghezze d'onda tra e lungo l' asse-, quindi ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle v = {\ frac {\ omega} {2 \ pi c}} (y_ {1} -y_ {2})}$

Quindi

${\ displaystyle R_ {2} -R_ {1} = {\ frac {2 \ pi c} {\ omega}} (ul + vm)}$

A causa e sono tutti molto meno , . L'elemento di area differenziale,, può quindi essere scritto come un elemento differenziale di angolo solido di . La nostra espressione per la funzione di mutua coerenza diventa ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1},}$${\ displaystyle y_ {2}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R_ {1} \ simeq R_ {2} \ simeq R}$${\ displaystyle dS}$${\ displaystyle R ^ {2} \, dl \, dm}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint _ {\ textrm {source}} I (l, m) e ^ {- {\ frac {i \ omega} {c}} { \ frac {2 \ pi c} {\ omega}} (ul + vm)} \, dl \, dm}$

Che si riduce a

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint _ {\ textrm {source}} I (l, m) e ^ {- 2 \ pi i (ul + vm)} \, dl \, dm}$

Ma i limiti di questi due integrali possono essere estesi per coprire l'intero piano della sorgente fintanto che la funzione di intensità della sorgente è impostata su zero su queste regioni. Quindi,

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (u, v, 0) = \ iint I (l, m) e ^ {- 2 \ pi i (ul + vm)} \, dl \, dm}$

che è la trasformata di Fourier bidimensionale della funzione di intensità. Questo completa la dimostrazione.

Presupposti del teorema

Il teorema di van Cittert-Zernike si basa su una serie di ipotesi, tutte approssimativamente vere per quasi tutte le fonti astronomiche. Le ipotesi più importanti del teorema e la loro rilevanza per le fonti astronomiche sono discusse qui.

Incoerenza della fonte

Una sorgente spazialmente coerente non obbedisce al teorema di van Cittert-Zernike. Per capire perché questo accade, supponiamo di osservare una sorgente composta da due punti, e . Calcoliamo la funzione di mutua coerenza tra e nel piano di osservazione. Dal principio di sovrapposizione , il campo elettrico a è ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}}$

${\ displaystyle E_ {1} = E_ {a1} + E_ {b1}}$

e a è ${\ displaystyle P_ {2}}$

${\ displaystyle E_ {2} = E_ {a2} + E_ {b2}}$

quindi la funzione di mutua coerenza è

${\ Displaystyle \ langle E_ {1} (t) E_ {2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle = \ langle (E_ {a1} (t) + E_ {b1} (t)) (E_ {a2} ^ {*} (t- \ tau) + E_ {b2} ^ {*} (t- \ tau)) \ rangle}$

Che diventa

${\ displaystyle \ langle E_ {1} (t) E_ {2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle = \ langle E_ {a1} (t) E_ {a2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle + \ langle E_ {a1} (t) E_ {b2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle + \ langle E_ {b1} (t) E_ {a2} ^ {*} (t - \ tau) \ rangle + \ langle E_ {b1} (t) E_ {b2} ^ {*} (t- \ tau) \ rangle}$

Se i punti e sono coerenti, i termini incrociati nell'equazione precedente non svaniscono. In questo caso, quando calcoliamo la funzione di mutua coerenza per una sorgente coerente estesa, non saremmo in grado di integrare semplicemente la funzione di intensità della sorgente; la presenza di termini incrociati diversi da zero non darebbe alla funzione di coerenza reciproca una forma semplice. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Questa ipotesi vale per la maggior parte delle fonti astronomiche. Pulsar e maser sono le uniche fonti astronomiche che mostrano coerenza.

Distanza dalla sorgente

Nella dimostrazione del teorema assumiamo che e . Cioè, assumiamo che la distanza dalla sorgente sia molto maggiore delle dimensioni dell'area di osservazione. Più precisamente, il teorema di van Cittert-Zernike richiede di osservare la sorgente nel cosiddetto campo lontano. Quindi se è la dimensione caratteristica dell'area di osservazione (ad esempio nel caso di un radiotelescopio a due parabole , la lunghezza della linea di base tra i due telescopi) allora ${\ displaystyle R \ gg x_ {1} -x_ {2}}$${\ displaystyle R \ gg y_ {1} -y_ {2}}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle R \ gg {\ frac {D ^ {2}} {\ lambda}}}$

Usando una ragionevole linea di base di 20 km per il Very Large Array ad una lunghezza d'onda di 1 cm, la distanza del campo lontano è di ordine m. Quindi qualsiasi oggetto astronomico più lontano di un parsec si trova nel campo lontano. Gli oggetti nel Sistema Solare non sono necessariamente nel campo lontano, tuttavia, e quindi il teorema di van Cittert-Zernike non si applica a loro. ${\ displaystyle 4 \ volte 10 ^ {10}}$

Dimensione angolare della sorgente

Nella derivazione del teorema di van Cittert-Zernike scriviamo i coseni di direzione e come e . Esiste, tuttavia, un terzo coseno di direzione che viene trascurato da e ; sotto questi presupposti è molto vicino all'unità. Ma se la sorgente ha una grande estensione angolare, non possiamo trascurare questo coseno della terza direzione e il teorema di van Cittert-Zernike non vale più. ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (x_ {1} + x_ {2}) / R}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (y_ {1} + y_ {2}) / R}$${\ displaystyle R \ gg {\ frac {1} {2}} (x_ {1} + x_ {2})}$${\ displaystyle R \ gg {\ frac {1} {2}} (y_ {1} + y_ {2})}$

Poiché la maggior parte delle fonti astronomiche sottendono angoli molto piccoli nel cielo (tipicamente molto meno di un grado), questa ipotesi del teorema è facilmente soddisfatta nel dominio della radioastronomia.

Onde quasi monocromatiche

Il teorema di van Cittert-Zernike assume che la sorgente sia quasi monocromatica. Cioè, se la sorgente emette luce su una gamma di frequenze , con frequenza media , allora dovrebbe soddisfare ${\ displaystyle \ Delta \ nu}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ nu} {\ nu}} \ lesssim 1}$

Inoltre, la larghezza di banda deve essere sufficientemente stretta

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ nu} {\ nu}} \ ll {\ frac {1} {lu}}}$

dove è ancora la direzione del coseno che indica la dimensione della sorgente ed è il numero di lunghezze d'onda tra un'estremità dell'apertura e l'altra. Senza questo presupposto, non possiamo trascurare rispetto a ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle (R_ {2} -R_ {1}) / c}$${\ displaystyle t}$

Questo requisito implica che un radioastronomo deve limitare i segnali attraverso un filtro passa banda . Poiché i radiotelescopi passano quasi sempre il segnale attraverso un filtro passa banda relativamente stretto, questa ipotesi è generalmente soddisfatta nella pratica.

Fonte bidimensionale

Partiamo dal presupposto che la nostra fonte si trovi su un piano bidimensionale. In realtà, le fonti astronomiche sono tridimensionali. Tuttavia, poiché si trovano nel campo lontano, la loro distribuzione angolare non cambia con la distanza. Pertanto, quando misuriamo una sorgente astronomica, la sua struttura tridimensionale viene proiettata su un piano bidimensionale. Ciò significa che il teorema di van Cittert-Zernike può essere applicato alle misurazioni di fonti astronomiche, ma non possiamo determinare la struttura lungo la linea di vista con tali misurazioni.

Omogeneità del mezzo

Il teorema di van Cittert-Zernike presuppone che il mezzo tra la sorgente e il piano di imaging sia omogeneo. Se il mezzo non è omogeneo, la luce proveniente da una regione della sorgente sarà rifratta in modo differenziale rispetto ad altre regioni della sorgente a causa della differenza nel tempo di viaggio della luce attraverso il mezzo. Nel caso di un mezzo eterogeneo si deve usare una generalizzazione del teorema di van Cittert-Zernike, chiamata formula di Hopkins.

Poiché il fronte d'onda non passa attraverso un mezzo perfettamente uniforme mentre viaggia attraverso il mezzo interstellare (e forse intergalattico ) e nell'atmosfera terrestre , il teorema di van Cittert-Zernike non è esattamente vero per le fonti astronomiche. In pratica, tuttavia, le variazioni nell'indice di rifrazione dei mezzi interstellari e intergalattici e dell'atmosfera terrestre sono abbastanza piccole che il teorema è approssimativamente fedele a qualsiasi ragionevole errore sperimentale. Tali variazioni nell'indice di rifrazione del mezzo risultano solo in lievi perturbazioni dal caso di un fronte d'onda che viaggia attraverso un mezzo omogeneo.

Formula di Hopkins

Supponiamo di avere una situazione identica a quella considerata quando è stato derivato il teorema di van Cittert-Zernike, tranne per il fatto che il mezzo è ora eterogeneo. Introduciamo quindi la funzione di trasmissione del mezzo, . Seguendo una derivazione simile a prima, troviamo quella ${\ displaystyle K (l, m, P, \ nu)}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (l, m, 0) = \ lambda ^ {2} \ iint I (l, m) K (l, m, P_ {1}, \ nu) K ^ {*} (l, m, P_ {2}, \ nu) \, dS}$

Se definiamo

${\ Displaystyle U (l, m, P_ {1}) \ equiv i \ lambda K (l, m, P_ {1}, \ nu) {\ sqrt {I (l, m)}}}$

allora diventa la funzione di mutua coerenza

${\ displaystyle \ Gamma _ {12} (l, m, 0) = \ iint U (l, m, P_ {1}) U ^ {*} (l, m, P_ {2}) \, dS}$

che è la generalizzazione di Hopkins del teorema di van Cittert-Zernike. Nel caso speciale di un mezzo omogeneo, la funzione di trasmissione diventa

${\ Displaystyle K (l, m, P, \ nu) = - {\ frac {ie ^ {ikR}} {\ lambda R}}}$

in tal caso la funzione di mutua coerenza si riduce alla trasformata di Fourier della distribuzione della luminosità della sorgente. Il vantaggio principale della formula di Hopkins è che si può calcolare indirettamente la funzione di coerenza reciproca di una sorgente misurando la sua distribuzione della luminosità.

Applicazioni del teorema

Sintesi dell'apertura

Il teorema di van Cittert-Zernike è cruciale per la misura della distribuzione della luminosità di una sorgente. Con due telescopi, un radioastronomo (o un astronomo a infrarossi o submillimetrico) può misurare la correlazione tra il campo elettrico alle due parabole dovuto a qualche punto dalla sorgente. Misurando questa correlazione per molti punti della sorgente, l'astronomo può ricostruire la funzione di visibilità della sorgente. Applicando il teorema di van Cittert-Zernike, l'astronomo può quindi prendere la trasformata di Fourier inversa della funzione di visibilità per scoprire la distribuzione della luminosità della sorgente. Questa tecnica è nota come sintesi di apertura o imaging di sintesi.

In pratica, i radioastronomi recuperano raramente la distribuzione della luminosità di una sorgente prendendo direttamente la trasformata di Fourier inversa di una funzione di visibilità misurata. Un tale processo richiederebbe un numero sufficiente di campioni per soddisfare il teorema di campionamento di Nyquist ; si tratta di molte più osservazioni di quelle necessarie per ricostruire approssimativamente la distribuzione della luminosità della sorgente. Gli astronomi quindi sfruttano i vincoli fisici sulla distribuzione della luminosità delle sorgenti astronomiche per ridurre il numero di osservazioni che devono essere fatte. Poiché la distribuzione della luminosità deve essere reale e positiva ovunque, la funzione di visibilità non può assumere valori arbitrari in regioni non campionate. Pertanto, un algoritmo di deconvoluzione non lineare come CLEAN o Maximum Entropy può essere utilizzato per ricostruire approssimativamente la distribuzione della luminosità della sorgente da un numero limitato di osservazioni.

Ottica adattiva

Il teorema di van Cittert-Zernike pone anche vincoli alla sensibilità di un sistema di ottica adattativa . In un sistema di ottica adattiva (AO), viene fornito un fronte d'onda distorto che deve essere trasformato in un fronte d'onda privo di distorsioni. Un sistema AO deve apportare una serie di correzioni differenti per rimuovere le distorsioni dal fronte d'onda. Una di queste correzioni comporta la divisione del fronte d'onda in due fronti d'onda identici e lo spostamento di uno di una certa distanza fisica nel piano del fronte d'onda. I due fronti d'onda vengono quindi sovrapposti, creando un motivo a frange. Misurando la dimensione e la separazione delle frange, il sistema AO può determinare le differenze di fase lungo il fronte d'onda. Questa tecnica è nota come "taglio". ${\ displaystyle s}$

La sensibilità di questa tecnica è limitata dal teorema di van Cittert-Zernike. Se viene visualizzata una sorgente estesa, il contrasto tra le frange sarà ridotto di un fattore proporzionale alla trasformata di Fourier della distribuzione della luminosità della sorgente. Il teorema di van Cittert-Zernike implica che la mutua coerenza di una sorgente estesa ripresa da un sistema AO sarà la trasformata di Fourier della sua distribuzione di luminosità. Una sorgente estesa cambierà quindi la reciproca coerenza delle frange, riducendone il contrasto.

Laser a elettroni liberi

Il teorema di Van Cittert-Zernike può essere utilizzato per calcolare la parziale coerenza spaziale della radiazione da un laser a elettroni liberi .

Guarda anche

• Grado di coerenza
• Teoria della coerenza
• Visibilità
• Hanbury Brown ed effetto Twiss
• Correlazioni di Bose-Einstein

Riferimenti

Bibliografia

• Born, M. & Wolf, E .: Principles of optics , Pergamon Press, Oxford, 1987, p. 510
• Klein, Miles V. & Furtak, Thomas E .: Optics , John Wiley & Sons, New York, 1986, 2a edizione, p. 544-545

link esterno

• Conferenza sul teorema di Van Cittert-Zernike con applicazioni. Università di Berkeley, prof. David T. Attwood su YouTube (AST 210 / EE 213 Lecture 23)]