Area vettoriale - Vector area

Nella geometria tridimensionale e nel calcolo vettoriale , un vettore area è un vettore che combina una quantità di area con una direzione, rappresentando così un'area orientata in tre dimensioni.

Ogni superficie delimitata in tre dimensioni può essere associata ad un unico vettore area chiamato suo vettore area . È uguale all'integrale di superficie della normale alla superficie e distinto dall'area superficiale ( scalare ) usuale .

L'area del vettore può essere vista come la generalizzazione tridimensionale dell'area con segno in due dimensioni.

Definizione

Per una superficie planare finita di area scalare S e normale unitaria n̂ , l'area vettoriale S è definita come la normale unitaria scalata dall'area:

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S}$

Per una superficie orientabile S composta da un insieme S _i di aree di facce piane , l'area vettoriale della superficie è data da

${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}}$

dove n̂ _i è il vettore normale unitario all'area S _i .

Per superfici curve delimitate e orientate che si comportano sufficientemente bene , possiamo ancora definire un'area vettoriale. Innanzitutto, dividiamo la superficie in elementi infinitesimali, ognuno dei quali è effettivamente piatto. Per ogni elemento infinitesimale di area, abbiamo un vettore area, anche infinitesimo.

${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS}$

dove n̂ è il vettore dell'unità locale perpendicolare a dS . L'integrazione fornisce l'area del vettore per la superficie.

${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$

Proprietà

L'area vettoriale di una superficie può essere interpretata come l'area proiettata (segnata) o "ombra" della superficie nel piano in cui è massima; la sua direzione è data dalla normale di quel piano.

Per una superficie curva o sfaccettata (cioè non planare), l'area del vettore è di grandezza inferiore all'area della superficie effettiva . Come esempio estremo, una superficie chiusa può possedere un'area arbitrariamente grande, ma la sua area vettoriale è necessariamente zero. Le superfici che condividono un confine possono avere aree molto diverse, ma devono avere la stessa area del vettore: l'area del vettore è interamente determinata dal confine. Queste sono conseguenze del teorema di Stokes .

L'area vettoriale di un parallelogramma è data dal prodotto vettoriale dei due vettori che lo attraversano; è il doppio dell'area (vettore) del triangolo formato dagli stessi vettori. In generale, l'area vettoriale di qualsiasi superficie il cui contorno è costituito da una sequenza di segmenti di retta (analogo a un poligono in due dimensioni) può essere calcolata utilizzando una serie di prodotti incrociati corrispondenti a una triangolazione della superficie. Questa è la generalizzazione della formula di Shoelace a tre dimensioni.

Usando il teorema di Stokes applicato a un campo vettoriale opportunamente scelto, si può derivare un integrale al contorno per l'area del vettore:

dove è il confine di S , cioè una o più curve di spazio chiuso orientate . Questo è analogo al calcolo dell'area bidimensionale usando il teorema di Green . ${\displaystyle \partial S}$

Applicazioni

I vettori dell'area vengono utilizzati quando si calcolano gli integrali di superficie , ad esempio quando si determina il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Il flusso è dato dall'integrale del prodotto scalare del campo e dal vettore area (infinitesimale). Quando il campo è costante sulla superficie, l'integrale si semplifica nel prodotto scalare del campo e nell'area del vettore della superficie.

Proiezione dell'area sui piani

L' area proiettata su un piano è data dal prodotto scalare dell'area del vettore S e dell'unità del piano obiettivo normale m̂ :

$${\displaystyle A_{\parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}}$$

Ad esempio, l'area proiettata sul piano xy è equivalente alla componente z dell'area del vettore, ed è anche uguale a

${\displaystyle \mathbf {S} _{z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta}$

dove θ è l'angolo tra il piano normale n e z -axis.

Guarda anche

• Bivector , che rappresenta un'area orientata in qualsiasi numero di dimensioni
• Teorema di De Gua , sulla scomposizione dell'area vettoriale in componenti ortogonali
• Prodotto incrociato
• Superficie normale
• Integrale di superficie

Appunti

1. ^ Spiegel, Murray R. (1959). Teoria e problemi di analisi vettoriale . La serie Outline di Schaum. McGraw Hill. P. 25.