Buco nero virtuale - Virtual black hole

di Newton . ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }}$${\displaystyle\Lambda}$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

Einstein suggerì che lo spazio fisico fosse riemanniano, cioè curvo e pose quindi la geometria riemanniana alla base della teoria della gravità. Una piccola regione dello spazio riemanniano è vicina allo spazio piatto.

Per ogni campo tensoriale , possiamo chiamare densità tensoriale, dove è il

tridimensionale . ${\displaystyle N_{\mu \nu ...}}$${\displaystyle N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$${\displaystyle \int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ ${\displaystyle S^{\nu }}$

Pertanto, le equazioni di Einstein per il piccolo dominio spazio-temporale possono essere integrate dall'ipersuperficie tridimensionale . Avere ${\displaystyle S^{\nu }}$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi}}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\, dS^{\nu }={2G \over c^{4}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$

Poiché il dominio spazio-tempo integrabile è piccolo, otteniamo l'equazione tensoriale

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }}$

dove è la componente del

piccolo dominio. ${\displaystyle P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$${\displaystyle R_{\mu }={\frac {1}{4\pi}}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt { -g}}\,dS^{\nu }}$

L'equazione tensoriale risultante può essere riscritta in un'altra forma. Da allora ${\displaystyle P_{\mu }=mc\,U_{\mu }}$

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{s}\,U_{\mu }}$

dove è il

, è la 4 velocità, è la massa gravitazionale. Questa registrazione rivela il significato fisico dei valori come componenti del raggio gravitazionale . ${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle U_{\mu }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle R_{\mu }}$${\displaystyle r_{s}}$

In una piccola area dello spazio-tempo è quasi piatto e questa equazione può essere scritta nella forma dell'operatore

${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{ c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial \,x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\ frac {\partial }{\parziale \,x^{\mu }}}}$

o

L'equazione di base della gravità quantistica

${\displaystyle -2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu}}}|\Psi (x_{\mu})\rangle ={\hat { R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle }$

Allora il commutatore degli operatori ed è ${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }}$${\displaystyle {\hat {x}}_{\mu }}$

${\displaystyle [{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}}$

Da qui seguire le relazioni di incertezza specificate

${\displaystyle \Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}}$

Sostituendo i valori di e e riducendo costanti identici da due lati, si ottiene di Heisenberg

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }}$

${\displaystyle \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}}$

${\displaystyle \Delta P_{\mu}\Delta x_{\mu}=\Delta (mc\,U_{\mu})\Delta x_{\mu}\geq {\frac {\hbar}{2}} }$

Nel caso particolare di un campo statico a simmetria sferica e distribuzione statica della materia e sono rimasti ${\displaystyle U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)}$

${\displaystyle \Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{s}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}$

dove è il raggio di Schwarzschild , è la coordinata radiale. Qui e , poiché la materia si muove con velocità della luce nella scala di Planck. ${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R_{0}=r_{s}}$${\displaystyle x_{0}=c\,t=r}$

L'ultima relazione di incertezza ci permette di fare alcune stime delle equazioni della relatività generale alla scala di Planck . Ad esempio, l'equazione per l' intervallo invariante в nella soluzione di Schwarzschild ha la forma ${\displaystyle dS}$

${\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} {1-{r_{s}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Sostituisci secondo le relazioni di incertezza . Otteniamo ${\displaystyle r_{s}\circa \ell _{P}^{2}/r}$

${\displaystyle dS^{2}\approssimativamente \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2 }-{\frac {dr^{2}}}-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2 }+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Si vede che alla scala di Planck la metrica spazio-temporale è delimitata in basso dalla lunghezza di Planck (appare la divisione per zero), e su questa scala ci sono buchi neri di Planck reali e virtuali. ${\displaystyle r=\ell _{P}}$

Stime simili possono essere fatte in altre equazioni della relatività generale . Ad esempio, l'analisi dell'equazione di Hamilton-Jacobi per un campo gravitazionale a simmetria centrale in spazi di diverse dimensioni (con l'aiuto della risultante relazione di incertezza) indica una preferenza per lo spazio tridimensionale per l'emergere di buchi neri virtuali ( schiuma quantistica , la base del "tessuto" dell'Universo.). Questo potrebbe aver predeterminato la tridimensionalità dello spazio osservato.

La relazione di incertezza sopra prescritta valida per forti campi gravitazionali, come in ogni dominio sufficientemente piccolo di un campo forte lo spazio-tempo è essenzialmente piatto.