Spazio compatto - Compact space

Per i criteri di compattezza per lo spazio euclideo come affermato nel teorema di Heine-Borel , l'intervallo A = (−∞, −2] non è compatto perché non è limitato. L'intervallo C = (2, 4) non è compatto perché non è chiuso L'intervallo B = [0, 1] è compatto perché è sia chiuso che limitato.

In matematica , in particolare topologia generale , compattezza è una proprietà che generalizza la nozione di un sottoinsieme di spazio euclideo essendo chiusa (contenente tutti i suoi punti limite ) e delimitata (avente tutti i suoi punti giacciono entro una certa distanza fissa l'uno dall'altro). Esempi di spazi compatti includono un intervallo reale chiuso , un'unione di un numero finito di intervalli chiusi, un rettangolo o un insieme finito di punti. Questa nozione è definita per spazi topologici più generali in vari modi, che di solito sono equivalenti nello spazio euclideo ma possono essere inequivalenti in altri spazi.

Una tale generalizzazione è che uno spazio topologico è sequenzialmente compatto se ogni sequenza infinita di punti campionati dallo spazio ha un infinito sottosequenza che converge ad un certo punto dello spazio. Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che un sottoinsieme dello spazio euclideo è compatto in questo senso sequenziale se e solo se è chiuso e limitato. Quindi, se si sceglie un numero infinito di punti nell'intervallo unitario chiuso [0, 1] , alcuni di quei punti si avvicineranno arbitrariamente a un numero reale in quello spazio. Ad esempio, alcuni dei numeri nella sequenza 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, … si accumulano a 0 (mentre altri si accumulano a 1). Lo stesso insieme di punti non si accumulerebbe in nessun punto dell'intervallo unitario aperto (0, 1) , quindi l'intervallo unitario aperto non è compatto. Sebbene i sottoinsiemi (sottospazi) dello spazio euclideo possano essere compatti, l'intero spazio stesso non è compatto poiché non è limitato. Ad esempio, considerando , l'intera retta dei numeri reali, la successione dei punti 0, 1, 2, 3, … , non ha sottosuccessioni che convergono a nessun numero reale. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

La compattezza fu formalmente introdotta da Maurice Fréchet nel 1906 per generalizzare il teorema di Bolzano-Weierstrass dagli spazi dei punti geometrici agli spazi delle funzioni . Il teorema di Arzelà–Ascoli e il teorema di esistenza di Peano esemplificano le applicazioni di questa nozione di compattezza all'analisi classica. Dopo la sua introduzione iniziale, varie nozioni equivalenti di compattezza, inclusa la compattezza sequenziale e la compattezza del punto limite , sono state sviluppate negli spazi metrici generali . Negli spazi topologici generali, tuttavia, queste nozioni di compattezza non sono necessariamente equivalenti. La nozione più utile - e la definizione standard del termine non qualificato compattezza - è formulata nei termini dell'esistenza di famiglie finite di insiemi aperti che " coprono " lo spazio nel senso che ogni punto dello spazio giace in un insieme contenuto nel famiglia. Questa nozione più sottile, introdotta da Pavel Alexandrov e Pavel Urysohn nel 1929, mostra gli spazi compatti come generalizzazioni di insiemi finiti . In spazi compatti in questo senso, è spesso possibile mettere insieme informazioni che valgono localmente, cioè in un intorno di ogni punto, in enunciati corrispondenti che valgono per tutto lo spazio, e molti teoremi sono di questo carattere.

Il termine insieme compatto è talvolta usato come sinonimo di spazio compatto, ma spesso si riferisce anche a un sottospazio compatto di uno spazio topologico.

Sviluppo storico

Nel XIX secolo furono comprese diverse proprietà matematiche disparate che in seguito sarebbero state viste come conseguenze della compattezza. Da un lato, Bernard Bolzano ( 1817 ) era consapevole che ogni sequenza limitata di punti (nella retta o nel piano, per esempio) ha una sottosequenza che alla fine deve avvicinarsi arbitrariamente a qualche altro punto, chiamato punto limite . La dimostrazione di Bolzano si è basata sul metodo della bisezione : la successione è stata posta in un intervallo che è stato poi diviso in due parti uguali, ed è stata scelta una parte contenente infiniti termini della successione. Il processo potrebbe quindi essere ripetuto dividendo l'intervallo più piccolo risultante in parti sempre più piccole, fino a quando non si chiude sul punto limite desiderato. Il pieno significato del teorema di Bolzano e il suo metodo di dimostrazione non sarebbero emersi fino a quasi 50 anni dopo, quando fu riscoperto da Karl Weierstrass .

Nel 1880 divenne chiaro che risultati simili al teorema di Bolzano-Weierstrass potevano essere formulati per spazi di funzioni piuttosto che solo numeri o punti geometrici. L'idea di considerare le funzioni come punti stessi di uno spazio generalizzato risale alle indagini di Giulio Ascoli e Cesare Arzelà . Il culmine delle loro indagini, il teorema di Arzelà–Ascoli , fu una generalizzazione del teorema di Bolzano–Weierstrass alle famiglie di funzioni continue , la cui conclusione precisa fu che era possibile estrarre una sequenza di funzioni uniformemente convergente da un'opportuna famiglia di funzioni. funzioni. Il limite uniforme di questa sequenza svolgeva quindi esattamente lo stesso ruolo del "punto limite" di Bolzano. Verso l'inizio del ventesimo secolo, risultati simili a quelli di Arzelà e Ascoli cominciarono ad accumularsi nell'area delle equazioni integrali , come indagato da David Hilbert e Erhard Schmidt . Per una certa classe di funzioni di Green provenienti da soluzioni di equazioni integrali, Schmidt aveva mostrato che una proprietà analoga al teorema di Arzelà–Ascoli valeva nel senso di convergenza media —o convergenza in quello che sarebbe poi stato chiamato uno spazio di Hilbert . Questo alla fine ha portato alla nozione di operatore compatto come propaggine della nozione generale di spazio compatto. Fu Maurice Fréchet che, nel 1906 , aveva distillato l'essenza della proprietà Bolzano–Weierstrass e aveva coniato il termine compattezza per riferirsi a questo fenomeno generale (usò il termine già nel suo scritto del 1904 che portò alla famosa tesi del 1906).

Tuttavia, alla fine dell'Ottocento, dallo studio del continuum , ritenuto fondamentale per la formulazione rigorosa dell'analisi, era lentamente emersa anche una nozione di compattezza complessivamente diversa . Nel 1870, Eduard Heine dimostrò che una funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato era infatti uniformemente continua . Nel corso della dimostrazione si servì di un lemma che da qualsiasi copertura numerabile dell'intervallo per intervalli aperti più piccoli, era possibile selezionare un numero finito di questi che lo coprisse anche. Il significato di questo lemma è stato riconosciuto da Émile Borel ( 1895 ), ed è stato generalizzato a raccolte arbitrarie di intervalli da Pierre Cousin (1895) e Henri Lebesgue ( 1904 ). Il teorema di Heine-Borel , come è ora noto il risultato, è un'altra proprietà speciale posseduta da insiemi chiusi e limitati di numeri reali.

Questa proprietà era significativa perché permetteva il passaggio dall'informazione locale su un insieme (come la continuità di una funzione) all'informazione globale sull'insieme (come la continuità uniforme di una funzione). Questo sentimento fu espresso da Lebesgue (1904) , che lo sfruttò anche nello sviluppo dell'integrale che ora porta il suo nome . In definitiva, la scuola russa di topologia puntuale , sotto la direzione di Pavel Alexandrov e Pavel Urysohn , formulò la compattezza di Heine-Borel in un modo che poteva essere applicato alla moderna nozione di spazio topologico . Alexandrov & Urysohn (1929) mostrarono che la prima versione di compattezza dovuta a Fréchet, ora chiamata compattezza sequenziale (relativa) , in condizioni appropriate seguiva dalla versione di compattezza che era stata formulata in termini di esistenza di sottoricoperture finite. Fu questa nozione di compattezza che divenne quella dominante, perché non era solo una proprietà più forte, ma poteva essere formulata in un contesto più generale con un minimo di macchinari tecnici aggiuntivi, poiché si basava solo sulla struttura degli insiemi aperti in uno spazio.

Esempi di base

Qualsiasi spazio finito è banalmente compatto. Un esempio non banale di uno spazio compatto è l' intervallo unitario (chiuso) [0,1] dei numeri reali . Se si sceglie un numero infinito di punti distinti nell'intervallo unitario, allora deve esserci un punto di accumulazione in quell'intervallo. Ad esempio, i termini dispari della sequenza 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... si avvicinano arbitrariamente a 0, mentre quelli pari si avvicinano arbitrariamente a 1. La sequenza di esempio mostra l'importanza di includere i punti limite dell'intervallo, poiché i punti limite devono essere nello spazio stesso - un intervallo aperto (o semiaperto) dell'intervallo i numeri reali non sono compatti. È anche cruciale che l'intervallo sia limitato , poiché nell'intervallo [0,∞) , si potrebbe scegliere la sequenza dei punti 0, 1, 2, 3, ... , di cui nessuna sotto-sequenza alla fine si avvicina arbitrariamente a un dato numero reale.

In due dimensioni, i dischi chiusi sono compatti poiché per qualsiasi numero infinito di punti campionati da un disco, un sottoinsieme di quei punti deve avvicinarsi arbitrariamente a un punto all'interno del disco oa un punto sul confine. Tuttavia, un disco aperto non è compatto, perché una sequenza di punti può tendere al confine, senza avvicinarsi arbitrariamente a nessun punto all'interno. Analogamente, sfere sono compatte, ma una sfera manca un punto non è dato una sequenza di punti può tendono ancora al punto mancante, quindi non ottenere arbitrariamente vicino a qualsiasi punto all'interno dello spazio. Rette e piani non sono compatti, poiché si può prendere un insieme di punti equidistanti in una data direzione senza avvicinarsi a nessun punto.

Definizioni

Possono essere applicate varie definizioni di compattezza, a seconda del livello di generalità. Un sottoinsieme dello spazio euclideo in particolare si dice compatto se è chiuso e limitato . Ciò implica, dal teorema di Bolzano-Weierstrass , che qualsiasi infinita sequenza dal set ha una sottosequenza che converge verso un punto dell'insieme. Varie nozioni equivalenti di compattezza, come compattezza sequenziale e compattezza del punto limite , possono essere sviluppate negli spazi metrici generali .

Al contrario, le diverse nozioni di compattezza non sono equivalenti negli spazi topologici generali e la nozione di compattezza più utile, originariamente chiamata bicompattezza, è definita utilizzando coperture costituite da insiemi aperti (vedere la definizione di copertura aperta di seguito). Che questa forma di compattezza valga per sottoinsiemi chiusi e limitati dello spazio euclideo è noto come teorema di Heine-Borel . La compattezza, quando definita in questo modo, spesso permette di prendere informazioni che sono conosciute localmente, in un intorno di ogni punto dello spazio, e di estenderle a informazioni che sono globalmente presenti nello spazio. Un esempio di questo fenomeno è il teorema di Dirichlet, al quale è stato originariamente applicato da Heine, che una funzione continua su un intervallo compatto è uniformemente continua ; qui la continuità è una proprietà locale della funzione e la continuità uniforme la corrispondente proprietà globale.

Aprire la definizione della copertura

Formalmente, uno spazio topologico X si dice compatto se ciascuna delle sue coperture aperte ha una sottocopertura finita . Cioè, X è compatto se per ogni collezione C di sottoinsiemi aperti di X tale che

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in C}x}$,

esiste un sottoinsieme finito F di C tale che

${\displaystyle X=\bigcup _{x\in F}x.}$

Alcuni rami della matematica come la geometria algebrica , tipicamente influenzati dalla scuola francese di Bourbaki , usano il termine quasi-compatto per la nozione generale e riservano il termine compatto per spazi topologici che sono sia Hausdorff che quasi-compatti . Un insieme compatto è talvolta indicato come compactum , plurale compacta .

Compattezza dei sottoinsiemi

Un sottoinsieme K di uno spazio topologico X si dice compatto se è compatto come sottospazio (nella topologia del sottospazio ). Cioè, K è compatto se per ogni collezione arbitraria C di sottoinsiemi aperti di X tale che

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{c\in C}c}$,

esiste un sottoinsieme finito F di C tale che

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{c\in F}c}$.

La compattezza è una proprietà "topologica". Cioè, se , con il sottoinsieme Z dotato della topologia del sottospazio, allora K è compatto in Z se e solo se K è compatto in Y . ${\displaystyle K\subset Z\subset Y}$

Definizioni equivalenti

Se X è uno spazio topologico, i seguenti sono equivalenti:

1. X è compatto.
2. Ogni copertura aperta di X ha una sottocopertura finita .
3. X ha una sottobase tale che ogni copertura dello spazio, da parte dei membri della sottobase, ha una sottocopertura finita ( teorema della sottobase di Alexander ).
4. X è Lindelöf e numerabilmente compatto .
5. Qualsiasi raccolta di sottoinsiemi chiusi di X con la proprietà di intersezione finita ha intersezione non vuota.
6. Ogni rete su X ha una sottorete convergente (vedi l'articolo sulle reti per una dimostrazione).
7. Ogni filtro su X ha un raffinamento convergente.
8. Ogni rete su X ha un punto cluster.
9. Ogni filtro su X ha un punto cluster.
10. Ogni ultrafiltro su X converge in almeno un punto.
11. Ogni sottoinsieme infinito di X ha un punto di accumulazione completo .

spazio euclideo

Per ogni sottoinsieme A di spazio euclideo , A è compatto se e solo se è chiuso e limitato ; questo è il teorema di Heine-Borel .

Poiché uno spazio euclideo è uno spazio metrico, le condizioni nella sottosezione successiva si applicano anche a tutti i suoi sottoinsiemi. Di tutte le condizioni equivalenti, è in pratica più semplice verificare che un sottoinsieme sia chiuso e limitato, ad esempio per un intervallo chiuso o per n- ball chiuso .

Spazi metrici

Per qualsiasi spazio metrico ( X , d ) , i seguenti sono equivalenti (supponendo una scelta numerabile ):

1. ( X , d ) è compatto.
2. ( X , d ) è completo e totalmente limitato (questo equivale anche alla compattezza per spazi uniformi ).
3. ( X , d ) è sequenzialmente compatto; cioè, ogni sequenza in X ha una sottosuccessione convergente cui limite è in X (questo è anche equivalente di compattezza per primo numerabili spazio uniforme ).
4. ( X , d ) è un compatto al punto limite (detto anche debolmente numerabile compatto); cioè, ogni sottoinsieme infinito di X ha almeno un punto limite in X .
5. ( X , d ) è numerabilmente compatto ; cioè, ogni copertura aperta numerabile di X ha una sottocopertura finita.
6. ( X , d ) è un'immagine di una funzione continua dall'insieme di Cantor .
7. Ogni successione decrescente di chiusi F1 ⊇ F2 ⊇ … in ( X , d ) ha intersezione non vuota.
8. ( X , d ) è chiuso e totalmente limitato.

Uno spazio metrico compatto ( X , d ) soddisfa anche le seguenti proprietà:

1. Di Lebesgue numero lemma : Per ogni coperchio aperto di X , esiste un numero δ > 0 tale che ogni sottoinsieme di X di diametro < δ è contenuta in qualche membro della copertura.
2. ( X , d ) è secondo numerabile , separabile e Lindelöf - queste tre condizioni sono equivalenti per gli spazi metrici. Il contrario non è vero; ad esempio, uno spazio discreto numerabile soddisfa queste tre condizioni, ma non è compatto.
3. X è chiuso e limitato (come sottoinsieme di qualsiasi spazio metrico la cui metrica ristretta è d ). Il contrario può fallire per uno spazio non euclideo; es. la retta reale dotata della metrica discreta è chiusa e limitata ma non compatta, poiché l'insieme di tutti i singleton dello spazio è una copertura aperta che non ammette sottoricopertura finita. È completo ma non totalmente limitato.

Caratterizzazione per funzioni continue

Sia X uno spazio topologico e C( X ) l'anello delle funzioni continue reali su X . Per ogni p ∈ X , la mappa di valutazione data da ev _p ( f ) = f ( p ) è un omomorfismo ad anello. Il nucleo di ev _p è un ideale massimale , poiché il campo residuo C( X )/ker ev _p è il campo dei numeri reali, per il primo teorema di isomorfismo . Uno spazio topologico X è pseudocompatto se e solo se ogni ideale massimale in C( X ) ha nel campo dei residui i numeri reali. Per spazi completamente regolari , questo è equivalente a ogni ideale massimale che è il nucleo di un omomorfismo di valutazione. Tuttavia, ci sono spazi pseudocompatti che non sono compatti. ${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\due punti C(X)\to \mathbf {R}}$

In generale, per spazi non pseudocompatti ci sono sempre ideali massimali m in C( X ) tali che il campo residuo C( X )/ m sia un campo iperreale ( non archimedeo ) . Il quadro dell'analisi non standard consente la seguente caratterizzazione alternativa della compattezza: uno spazio topologico X è compatto se e solo se ogni punto x dell'estensione naturale *X è infinitamente vicino a un punto x ₀ di X (più precisamente, x è contenuta nella monade di x ₀ ).

Definizione iperreale

Uno spazio X è compatto se la sua estensione iperreale *X (costruita, per esempio, dalla costruzione dell'ultrapotenza ) ha la proprietà che ogni punto di *X è infinitamente vicino a un punto di X ⊂ *X . Ad esempio, un intervallo reale aperto X = (0, 1) non è compatto perché la sua estensione iperreale *(0,1) contiene infinitesimali, che sono infinitamente vicini a 0, che non è un punto di X .

Condizioni sufficienti

• Un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto è compatto.
• Un'unione finita di insiemi compatti è compatta.
• Un'immagine continua di uno spazio compatto è compatta.
• L'intersezione di qualsiasi insieme non vuoto di sottoinsiemi compatti di uno spazio di Hausdorff è compatto (e chiuso);
  • Se X non è Hausdorff, allora l'intersezione di due sottoinsiemi compatti potrebbe non essere compatta (vedi nota a piè di pagina per esempio).
• Il prodotto di qualsiasi collezione di spazi compatti è compatto. (Questo è il teorema di Tychonoff , che è equivalente all'assioma della scelta .)
• In uno spazio metrizzabile , un sottoinsieme è compatto se e solo se è sequenzialmente compatto (assumendo una scelta numerabile )
• Un insieme finito dotato di qualsiasi topologia è compatto.

Proprietà degli spazi compatti

• Un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff X è chiuso.
  • Se X non è Hausdorff, allora un sottoinsieme compatto di X potrebbe non essere un sottoinsieme chiuso di X (vedi nota a piè di pagina per esempio).
  • Se X non è Hausdorff, la chiusura di un insieme compatto potrebbe non essere compatta (vedi nota a piè di pagina per esempio).
• In qualsiasi spazio vettoriale topologico (TVS), un sottoinsieme compatto è completo . Tuttavia, ogni TVS non Hausdorff contiene sottoinsiemi compatti (e quindi completi) che non sono chiusi.
• Se A e B sono sottoinsiemi compatti disgiunti di uno spazio di Hausdorff X , allora esistono aperti disgiunti U e V in X tali che A ⊆ U e B ⊆ V .
• Una biiezione continua da uno spazio compatto in uno spazio di Hausdorff è un omeomorfismo .
• Uno spazio di Hausdorff compatto è normale e regolare .
• Se uno spazio X è compatto e Hausdorff, allora nessuna topologia più fine su X è compatta e nessuna topologia più grossolana su X è Hausdorff.
• Se un sottoinsieme di uno spazio metrico ( X , d ) è compatto allora è d -limitato.

Funzioni e spazi ridotti

Poiché un'immagine continua di uno spazio compatto è compatta, il teorema del valore estremo : una funzione continua a valori reali su uno spazio compatto non vuoto è limitata superiormente e raggiunge il suo supremo. (Un po' più in generale, questo è vero per una funzione semicontinua superiore.) Come una sorta di converso alle affermazioni di cui sopra, la pre-immagine di uno spazio compatto sotto una mappa propria è compatta.

Compattazioni

Ogni spazio topologico X è un sottospazio denso aperto di uno spazio compatto avente al massimo un punto in più di X , per la compattazione di un punto di Alexandroff . Per la stessa costruzione, ogni spazio di Hausdorff localmente compatto X è un sottospazio denso aperto di uno spazio di Hausdorff compatto avente al massimo un punto in più di X .

Spazi ordinati compatti

Un sottoinsieme compatto non vuoto dei numeri reali ha un elemento massimo e un elemento minimo.

Sia X un insieme semplicemente ordinato dotato della topologia d'ordine . Allora X è compatto se e solo se X è un reticolo completo (cioè tutti i sottoinsiemi hanno suprema e infima).

Esempi

• Qualsiasi spazio topologico finito , compreso l' insieme vuoto , è compatto. Più in generale, qualsiasi spazio con una topologia finita (solo un numero finito di insiemi aperti) è compatto; questo include in particolare la topologia banale .
• Qualsiasi spazio che trasporta la topologia cofinita è compatto.
• Qualsiasi spazio di Hausdorff localmente compatto può essere trasformato in uno spazio compatto aggiungendo un singolo punto ad esso, mediante la compattazione di un punto di Alexandroff . La compattazione a un punto di è omeomorfa al cerchio S ¹ ; la compattazione a un punto di ² è omeomorfa alla sfera S ² . Usando la compattazione a un punto, si possono anche facilmente costruire spazi compatti che non sono Hausdorff, partendo da uno spazio non Hausdorff.
• La topologia dell'ordine destro o la topologia dell'ordine sinistro su qualsiasi insieme totalmente ordinato limitato è compatta. In particolare, lo spazio di Sierpiński è compatto.
• Nessuno spazio discreto con un numero infinito di punti è compatto. La raccolta di tutti i singleton dello spazio è una copertura aperta che non ammette sottorivestimenti finiti. Gli spazi discreti finiti sono compatti.
• In ℝ trasporta la topologia del limite inferiore , nessun insieme numerabile è compatto.
• Nella topologia numerabile su un insieme non numerabile, nessun insieme infinito è compatto. Come nell'esempio precedente, lo spazio nel suo insieme non è localmente compatto ma è ancora Lindelöf .
• L' intervallo unitario chiuso [0, 1] è compatto. Questo segue dal teorema di Heine-Borel . L'intervallo aperto (0, 1) non è compatto: la copertura aperta per n = 3, 4, …  non ha una sottocopertura finita. Analogamente, l'insieme dei razionali nell'intervallo chiuso [0,1] non è compatto: gli insiemi dei razionali negli intervalli coprono tutti i razionali in [0, 1] per n = 4, 5, ...  ma questo cover non ha una sottocopertura finita. Qui, gli insiemi sono aperti nella topologia del sottospazio anche se non sono aperti come sottoinsiemi di  ℝ .${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ e }}\left[{\frac {1}{ \pi }}+{\frac {1}{n}},1\destra]}$
• L'insieme ℝ di tutti i numeri reali non è compatto in quanto v'è un coperchio di intervalli aperti che non hanno una sottocopertura finita. Per esempio, gli intervalli ( n - 1,  n + 1)  , dove n prende tutti i valori interi in Z , copertura ℝ ma non c'è sottocopertura finita.
• D'altra parte, la linea dei numeri reali estesa che porta la topologia analoga è compatta; si noti che la copertura sopra descritta non raggiungerebbe mai i punti all'infinito. Infatti, l'insieme ha l' omeomorfismo a [-1, 1] di mappare ogni infinito alla sua unità corrispondente e ogni numero reale al suo segno moltiplicato per il numero unico nella parte positiva dell'intervallo che risulta nel suo valore assoluto quando diviso per uno meno stesso, e poiché gli omeomorfismi preservano le coperture, si può dedurre la proprietà di Heine-Borel.
• Per ogni numero naturale n , la n -sfera è compatta. Sempre dal teorema di Heine-Borel, la sfera unitaria chiusa di qualsiasi spazio vettoriale normato di dimensione finita è compatta. Questo non è vero per le dimensioni infinite; infatti, uno spazio vettoriale normato è di dimensione finita se e solo se la sua sfera unitaria chiusa è compatta.
• D'altra parte, la sfera unitaria chiusa del duale di uno spazio normato è compatta per la topologia debole-*. ( Teorema di Alaoglu )
• Il set Cantor è compatto. Infatti, ogni spazio metrico compatto è un'immagine continua dell'insieme di Cantor.
• Consideriamo l'insieme K di tutte le funzioni f  : ℝ → [0, 1] dalla retta dei numeri reali all'intervallo unitario chiuso, e definiamo una topologia su K tale che una successione in K converge verso f ∈ K se e solo se converge verso f ( x ) per tutti i numeri reali x . C'è solo una tale topologia; si chiama topologia della convergenza puntuale o topologia del prodotto . Allora K è uno spazio topologico compatto; questo segue dal teorema di Tychonoff .${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$
• Consideriamo l'insieme K di tutte le funzioni f  : [0, 1]  → [0, 1] che soddisfano la condizione di Lipschitz | f ( x ) −  f ( y ) | | x  −  y | per ogni x ,  y  ∈  [0,1] . Consideriamo su K la metrica indotta dalla distanza uniforme Allora per il teorema di Arzelà–Ascoli lo spazio K è compatto.${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$
• Lo spettro di qualsiasi operatore lineare limitato su uno spazio di Banach è un sottoinsieme compatto non vuoto dei numeri complessi ℂ . Viceversa, ogni sottoinsieme compatto ℂ pone in questo modo, come lo spettro di qualche operatore lineare limitato. Ad esempio, un operatore diagonale sullo spazio di Hilbert può avere qualsiasi sottoinsieme non vuoto compatto ℂ come spettro.${\displaystyle \ell ^{2}}$

Esempi algebrici

• I gruppi compatti come un gruppo ortogonale sono compatti, mentre i gruppi come un gruppo lineare generale non lo sono.
• Poiché le p -adic interi sono omeomorfi al set Cantor, formano un insieme compatto.
• Lo spettro di qualsiasi anello commutativo con la topologia di Zariski (cioè l'insieme di tutti gli ideali primi) è compatto, ma mai Hausdorff (tranne in casi banali). In geometria algebrica, tali spazi topologici sono esempi di schemi quasi compatti , "quasi" riferendosi alla natura non Hausdorff della topologia.
• Lo spettro di un'algebra booleana è compatto, un fatto che fa parte del teorema di rappresentazione di Stone . Spazi di pietra , spazi Hausdorff compatti e totalmente sconnessi , formano il quadro astratto in cui questi spettri vengono studiati. Tali spazi sono utili anche nello studio dei gruppi profiniti .
• Lo spazio della struttura di un'algebra di Banach unitaria commutativa è uno spazio di Hausdorff compatto.
• Il cubo di Hilbert è compatto, di nuovo una conseguenza del teorema di Tychonoff.
• Un gruppo profinito (es. gruppo di Galois ) è compatto.

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

Bibliografia

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link esterno

• Contabilmente compatto su PlanetMath .
• Sundström, Manya Raman (2010). "Una storia pedagogica della compattezza". arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].

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