Geometria convessa - Convex geometry

In matematica , la geometria convessa è la branca della geometria che studia gli insiemi convessi , principalmente nello spazio euclideo . Gli insiemi convessi si trovano naturalmente in molte aree: geometria computazionale , analisi convessa , geometria discreta , analisi funzionale , geometria dei numeri , geometria integrale , programmazione lineare , teoria della probabilità , teoria dei giochi , ecc.

Classificazione

Secondo la Mathematics Subject Classification MSC2010, la disciplina matematica Convex and Discrete Geometry comprende tre rami principali:

  • convessità generale
  • politopi e poliedri
  • geometria discreta

(sebbene solo porzioni di queste ultime due siano incluse nella geometria convessa).

La convessità generale è ulteriormente suddivisa come segue:

  • convessità assiomatica e generalizzata
  • insiemi convessi senza restrizioni dimensionali
  • insiemi convessi in spazi vettoriali topologici
  • insiemi convessi in 2 dimensioni (comprese le curve convesse)
  • insiemi convessi in 3 dimensioni (comprese le superfici convesse)
  • insiemi convessi in n dimensioni (comprese le ipersuperfici convesse)
  • spazi di Banach a dimensione finita
  • insiemi casuali convessi e geometria integrale
  • teoria asintotica dei corpi convessi
  • approssimazione per insiemi convessi
  • varianti di insiemi convessi (a forma di stella, ( m, n )-convessi, ecc.)
  • Teoremi di tipo Helly e teoria geometrica trasversale
  • altri problemi di convessità combinatoria
  • lunghezza, area, volume
  • volumi misti e argomenti correlati
  • valutazioni su corpi convessi
  • disuguaglianze e problemi estremi
  • funzioni convesse e programmi convessi
  • convessità sferica e iperbolica

Il termine geometria convessa è usato anche in combinatoria come nome alternativo per un antimatroide , che è uno dei modelli astratti degli insiemi convessi.

Nota storica

La geometria convessa è una disciplina matematica relativamente giovane. Sebbene i primi contributi noti alla geometria convessa risalgano all'antichità e possano essere rintracciati nelle opere di Euclide e Archimede , divenne una branca indipendente della matematica all'inizio del XX secolo, principalmente grazie alle opere di Hermann Brunn e Hermann Minkowski nelle dimensioni due e tre. Una gran parte dei loro risultati fu presto generalizzata a spazi di dimensioni superiori, e nel 1934 T. Bonnesen e W. Fenchel diedero una panoramica completa della geometria convessa nello spazio euclideo R n . L'ulteriore sviluppo della geometria convessa nel XX secolo e le sue relazioni con numerose discipline matematiche sono riassunti nel Manuale di geometria convessa curato da PM Gruber e JM Wills.

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

Articoli espositivi sulla geometria convessa

  • K. Ball, Un'introduzione elementare alla moderna geometria convessa, in: Flavors of Geometry, pp. 1-58, Math. Sci. Ris. ist. Publ. vol. 31, Università di Cambridge Press, Cambridge, 1997, disponibile online .
  • M. Berger, Convessità, Amer. Matematica. Mensile, vol. 97 (1990), 650-678. DOI: 10.2307/2324573
  • PM Gruber, Aspetti della convessità e sue applicazioni, Esposizione. Matematica, vol. 2 (1984), 47-83.
  • V. Klee, Cos'è un insieme convesso? Ame. Matematica. Mensile, vol. 78 (1971), 616-631, DOI: 10.2307/2316569

Libri sulla geometria convessa

  • T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlino, 1934. Traduzione inglese: Teoria dei corpi convessi, BCS Associates, Mosca, ID, 1987.
  • RJ Gardner, Tomografia geometrica, Cambridge University Press, New York, 1995. Seconda edizione: 2006.
  • PM Gruber , Geometria convessa e discreta, Springer-Verlag, New York, 2007.
  • PM Gruber, JM Wills (a cura di), Manuale di geometria convessa. vol. A.B, Olanda Settentrionale, Amsterdam, 1993.
  • G. Pisier, Il volume dei corpi convessi e la geometria dello spazio di Banach, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
  • R. Schneider, Corpi convessi: la teoria di Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; Seconda edizione: 2014.
  • AC Thompson, geometria Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
  • A. Koldobsky, V. Yaskin, L'interfaccia tra geometria convessa e analisi armonica, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.

Articoli sulla storia della geometria convessa

  • W. Fenchel, Convessità attraverso i secoli, (Danese) Società matematica danese (1929-1973), pp. 103-116, Dansk. Stuoia. Forening, Copenhagen, 1973. Traduzione inglese: Convessity through the ages, in: PM Gruber, JM Wills (a cura di), Convexity and its Applications, pp. 120-130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
  • PM Gruber, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, in: G. Fischer, et al. (a cura di), Ein Jahrhundert Mathematik 1890-1990, pp. 421-455, Dokumente Gesch. Matematica, vol. 6, F. Wieweg e Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Friburgo, 1990.
  • PM Gruber, Storia della convessità, in: PM Gruber, JM Wills (a cura di), Manuale di geometria convessa. vol. A, pp. 1–15, Olanda Settentrionale, Amsterdam, 1993.

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