Insieme denso - Dense set

Nella topologia e nelle relative aree della matematica , un sottoinsieme A di uno spazio topologico X è detto denso (in X ) se ogni punto x in X appartiene ad A o è un punto limite di A ; cioè, la chiusura di A costituisce l'intero insieme X . Informalmente, per ogni punto in X , il punto è o in A o arbitrariamente "vicino" a un membro di A - per esempio, i numeri razionali sono un sottoinsieme denso dei numeri reali perché ogni numero reale o è un numero razionale o ha un numero razionale arbitrariamente vicino ad esso (vedi approssimazione diofantea ).

Formalmente, un sottoinsieme A di uno spazio topologico X è denso in X se per ogni punto x in X , ogni intorno di x contiene almeno un punto da A (cioè, A ha intersezione non vuota con ogni aperto non vuoto di X ). Equivalentemente, A è denso in X se e solo se il più piccolo chiuso di X contenente A è X stesso. Ciò può essere espresso anche dicendo che la chiusura di A è X , o che l' interno del complemento di A è vuoto.

La densità di uno spazio topologico X è la cardinalità minima di un sottoinsieme denso di X .

Densità in spazi metrici

Una definizione alternativa di insieme denso nel caso di spazi metrici è la seguente. Quando la topologia di X è data da una metrica , la chiusura di A in X è l' unione di A e l'insieme di tutti i limiti di successioni di elementi in A (i suoi punti limite ), ${\displaystyle {\overline {A}}}$

${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}\mid a_{n}\in A{\text{ per tutti}}n \in \mathbb {N} \right\}}$

Allora A è denso in X se

${\displaystyle {\overline {A}}=X.}$

Se è una sequenza di aperti densi in uno spazio metrico completo, X , allora è anche denso in X . Questo fatto è una delle forme equivalenti del teorema della categoria di Baire . ${\displaystyle \left\{U_{n}\right\}}$${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$

Esempi

I numeri reali con la solita topologia hanno i numeri razionali come un sottoinsieme denso numerabile che mostra che la cardinalità di un sottoinsieme denso di uno spazio topologico può essere strettamente minore della cardinalità dello spazio stesso. I numeri irrazionali sono un altro sottoinsieme denso che mostra che uno spazio topologico può avere diversi sottoinsiemi densi disgiunti (in particolare, due sottoinsiemi densi possono essere complementari l'uno all'altro), e non devono nemmeno essere della stessa cardinalità. Forse ancora più sorprendentemente, sia i razionali che gli irrazionali hanno interni vuoti, mostrando che gli insiemi densi non devono contenere alcun aperto non vuoto. L'intersezione di due sottoinsiemi aperti densi di uno spazio topologico è di nuovo denso e aperto.

Per il teorema di approssimazione di Weierstrass , qualsiasi funzione continua a valori complessi definita su un intervallo chiuso [ a ,  b ] può essere approssimata uniformemente quanto più si desidera da una funzione polinomiale . In altre parole, le funzioni polinomiali sono dense nello spazio C[ a ,  b ] delle funzioni continue a valori complessi sull'intervallo [ a ,  b ], dotate della norma suprema .

Ogni spazio metrico è denso nel suo completamento .

Proprietà

Ogni spazio topologico è un denso sottoinsieme di se stesso. Per un insieme X dotato della topologia discreta , l'intero spazio è l'unico sottoinsieme denso. Ogni sottoinsieme non vuoto di un insieme X dotato della topologia banale è denso, e ogni topologia per cui ogni sottoinsieme non vuoto è denso deve essere banale.

La densità è transitiva : dati tre sottoinsiemi A , B e C di uno spazio topologico X con A ⊆ B ⊆ C ⊆ X tali che A è denso in B e B è denso in C (nella rispettiva topologia del sottospazio ) allora anche A è denso in C .

L' immagine di un sottoinsieme denso sotto una funzione continua suriettiva è di nuovo densa. La densità di uno spazio topologico (la minore delle cardinalità dei suoi densi sottoinsiemi) è un invariante topologico .

Uno spazio topologico con un sottoinsieme denso connesso è necessariamente esso stesso connesso.

Le funzioni continue negli spazi di Hausdorff sono determinate dai loro valori su sottoinsiemi densi: se due funzioni continue f , g  : X → Y in uno spazio di Hausdorff Y concordano su un sottoinsieme denso di X allora concordano su tutto X .

Per gli spazi metrici ci sono spazi universali, in cui tutti gli spazi di data densità possono essere incorporati : uno spazio metrico di densità α è isometrico a un sottospazio di C([0, 1] ^α , R ) , lo spazio delle funzioni continue reali su il prodotto di α copie dell'intervallo unitario .

Nozioni correlate

Un punto x di un sottoinsieme A di uno spazio topologico X si dice punto limite di A (in X ) se ogni intorno di x contiene anche un punto di A diverso da x stesso, e un punto isolato di A altrimenti. Un sottoinsieme senza punti isolati si dice denso in sé .

Un sottoinsieme A di uno spazio topologico X si dice non denso da nessuna parte (in X ) se non esiste un intorno in X su cui A è denso. Equivalentemente, un sottoinsieme di uno spazio topologico non è denso da nessuna parte se e solo se l'interno della sua chiusura è vuoto. L'interno del complemento di un insieme in nessun luogo denso è sempre denso. Il complemento di un insieme chiuso da nessuna parte denso è un aperto denso. Dato uno spazio topologico X , un sottoinsieme A di X che può essere espresso come l'unione di molti sottoinsiemi di X in nessun punto densi si dice scarso . I numeri razionali, sebbene densi nei numeri reali, sono scarsi come sottoinsieme dei reali.

Uno spazio topologico con un sottoinsieme denso numerabile è detto separabile . Uno spazio topologico è uno spazio di Baire se e solo se l'intersezione di insiemi aperti densi numerabili è sempre densa. Uno spazio topologico si dice risolvibile se è l'unione di due sottoinsiemi densi disgiunti. Più in generale, uno spazio topologico è detto -risolvibile per un cardinale κ se contiene insiemi densi disgiunti a coppie.

Un incorporamento di uno spazio topologico X come un insieme denso di spazio compatto è chiamato compattificazione di X .

Un operatore lineare tra spazi vettoriali topologici X e Y si dice densamente definito se il suo dominio è un sottoinsieme denso di X e se il suo intervallo è contenuto in Y . Vedere anche estensione lineare continua .

Uno spazio topologico X è iperconnesso se e solo se ogni aperto non vuoto è denso in X . Uno spazio topologico è submassimale se e solo se ogni sottoinsieme denso è aperto.

Se è uno spazio metrico, allora un sottoinsieme Y non vuoto si dice -denso se ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$

${\displaystyle (\forall x\in X)\,(\exists y\in Y)\,d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$

Si può allora dimostrare che D è denso in se e solo se è -denso per ogni${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Guarda anche

• teorema di Blumberg
• Ordine denso
• Denso (teoria del reticolo)

Riferimenti

Appunti

Riferimenti generali