Equazione diofantea - Diophantine equation

In matematica , un'equazione diofantea è un'equazione polinomiale , che solitamente coinvolge due o più incognite , tali che le uniche soluzioni di interesse sono quelle intere (una soluzione intera è tale che tutte le incognite assumono valori interi). Un lineare Diophantine equazione equivale ad una costante la somma di due o più monomi , ciascuno di grado uno. Un'equazione diofantea esponenziale è quella in cui le incognite possono apparire negli esponenti .

I problemi diofantei hanno meno equazioni delle incognite e implicano la ricerca di interi che risolvono simultaneamente tutte le equazioni. Poiché tali sistemi di equazioni definiscono curve algebriche , superfici algebriche o, più in generale, insiemi algebrici , il loro studio è una parte della geometria algebrica che prende il nome di geometria diofantea .

La parola Diophantine si riferisce alla matematica ellenistica del 3 ° secolo, Diofanto di Alessandria , che ha fatto uno studio di tali equazioni ed è stato uno dei primi matematici per introdurre il simbolismo in algebra . Lo studio matematico dei problemi diofantei iniziato da Diofanto è ora chiamato analisi diofantea .

Mentre le singole equazioni presentano una sorta di enigma e sono state considerate nel corso della storia, la formulazione di teorie generali delle equazioni diofantee (al di là del caso delle equazioni lineari e quadratiche ) è stata una conquista del ventesimo secolo.

Esempi

Nelle seguenti equazioni diofantee, w , x , y e z sono le incognite e le altre lettere sono date costanti:

ax + per = c	Questa è un'equazione diofantea lineare.
w 3 + x 3 = y 3 + z 3	La più piccola soluzione non banale in numeri interi positivi è 12 3 + 1 3 = 9 3 + 10 3 = 1729. È stato notoriamente dato come proprietà evidente del 1729, un numero di taxi (chiamato anche numero di Hardy-Ramanujan ) da Ramanujan a Hardy mentre incontrava nel 1917. Ci sono infinite soluzioni non banali.
x n + y n = z n	Per n = 2 esistono infinite soluzioni ( x , y , z ) : le terne pitagoriche . Per valori interi più grandi di n , l'Ultimo Teorema di Fermat (inizialmente affermato nel 1637 da Fermat e dimostrato da Andrew Wiles nel 1995) afferma che non ci sono soluzioni intere positive ( x , y , z ) .
x 2 − ny 2 = ±1	Questa è l'equazione di Pell , che prende il nome dal matematico inglese John Pell . Fu studiato da Brahmagupta nel VII secolo e da Fermat nel XVII secolo.
4/n = 1/X + 1/sì + 1/z	La congettura di Erdős-Straus afferma che, per ogni intero positivo n ≥ 2, esiste una soluzione in x , y , e z , tutti come interi positivi. Sebbene di solito non sia espresso in forma polinomiale, questo esempio è equivalente all'equazione polinomiale 4 xyz = yzn + xzn + xyn = n ( yz + xz + xy ) .
x 4 + y 4 + z 4 = w 4	Congetturato erroneamente da Eulero di non avere soluzioni non banali. Dimostrato da Elkies di avere infinite soluzioni non banali, con una ricerca computerizzata di Frye che determina la soluzione non banale più piccola, 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 .

Equazioni diofantee lineari

Un'equazione

La più semplice equazione diofantea lineare assume la forma ax + by = c , dove a , b e c sono dati interi. Le soluzioni sono descritte dal seguente teorema:

Questa equazione diofantea ha soluzione (dove x e y sono interi) se e solo se c è un multiplo del massimo comun divisore di a e b . Inoltre, se ( x , y ) è una soluzione, allora le altre soluzioni hanno la forma ( x + kv , y − ku ) , dove k è un intero arbitrario e u e v sono i quozienti di a e b (rispettivamente) dal massimo comun divisore di a e b .

Dimostrazione: Se d è questo massimo comun divisore, l'identità di Bézout asserisce l'esistenza di interi e e f tali che ae + bf = d . Se c è un multiplo di d , allora c = dh per qualche intero h , e ( eh , fh ) è una soluzione. D'altra parte, per ogni coppia di interi x ed y , il massimo comun divisore d di un e b divide ax + by . Quindi, se l'equazione ha una soluzione, allora c deve essere un multiplo di d . Se a = ud e b = vd , allora per ogni soluzione ( x , y ) abbiamo

a ( x + kv ) + b ( y - ku ) = ax + di + k ( av - bu ) = ax + di + k ( udv - vdu ) = ax + di ,

mostrando che ( x + kv , y − ku ) è un'altra soluzione. Infine, date due soluzioni tali che ax ₁ + by ₁ = ax ₂ + by ₂ = c , si deduce che u ( x ₂ − x ₁ ) + v ( y ₂ − y ₁ ) = 0 . Poiché u e v sono coprimi , il lemma di Euclide mostra che v divide x ₂ − x ₁ , e quindi che esiste un intero k tale che x ₂ − x ₁ = kv e y ₂ − y ₁ = − ku . Pertanto, x ₂ = x ₁ + kv e y ₂ = y ₁ − ku , che completa la dimostrazione.

Teorema cinese del resto

Il teorema cinese dei resti descrive un'importante classe di sistemi di equazioni diofantee lineari: siano n ₁ , …, n _k be k interi coprimi a coppie maggiori di uno, a ₁ , …, a _k be k interi arbitrari e N sia il prodotto n ₁ ⋯ n _k . Il teorema cinese dei resti afferma che il seguente sistema diofanteo lineare ha esattamente una soluzione ( x , x ₁ , …, x _k ) tale che 0 x < N , e che le altre soluzioni si ottengono aggiungendo a x un multiplo di N :

${\displaystyle {\begin{allineato}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\, x_{k}\end{allineato}}}$

Sistema di equazioni diofantee lineari

Più in generale, ogni sistema di equazioni diofantee lineari può essere risolto calcolando la forma normale di Smith della sua matrice, in un modo simile all'uso della forma a scaglioni di riga ridotta per risolvere un sistema di equazioni lineari su un campo. Usando la notazione matriciale ogni sistema di equazioni diofantee lineari può essere scritto

Un  X = C ,

dove A è una matrice m × n di interi, X è una matrice di n × 1 colonne di incognite e C è una matrice m × 1 colonne di interi.

Il calcolo della forma normale di Smith di A prevede due matrici unimodulari (cioè matrici invertibili sugli interi e aventi ±1 come determinante) U e V di rispettive dimensioni m × m e n × n , tali che la matrice

B = [ b _{io , j} ] = UAV

è tale che b _{i , i} non è zero per i non maggiore di un intero k , e tutti gli altri elementi sono zero. Il sistema da risolvere può quindi essere riscritto come

B  ( V ⁻¹ X ) = UC .

Chiamando y _i gli elementi di V ⁻¹ X e d _i quelli di D = UC , questo porta al sistema

b _{io , io}  y _io = d _io per 1 ≤ io ≤ k ,

0  y _io = d _io per k < io ≤ n .

Questo sistema è equivalente a quello dato nel seguente senso: Una matrice colonna di interi x è una soluzione del sistema dato se e solo se x = Vy per qualche matrice colonna di interi y tale che By = D .

Ne segue che il sistema ha soluzione se e solo se b _{i , i} divide d _i per i ≤ k e d _i = 0 per i > k . Se questa condizione è soddisfatta, le soluzioni del sistema dato sono

${\displaystyle V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k, k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,}$

dove h _{k +1} , …, h _n sono interi arbitrari.

La forma normale di Hermite può anche essere usata per risolvere sistemi di equazioni diofantee lineari. Tuttavia, la forma normale di Hermite non fornisce direttamente le soluzioni; per ottenere le soluzioni dalla forma normale di Hermite, si devono risolvere in successione diverse equazioni lineari. Tuttavia, Richard Zippel ha scritto che la forma normale di Smith "è un po' più di quanto sia effettivamente necessario per risolvere equazioni diofantee lineari. Invece di ridurre l'equazione alla forma diagonale, dobbiamo solo renderla triangolare, che è chiamata forma normale di Hermite. La La forma normale di Hermite è sostanzialmente più facile da calcolare rispetto alla forma normale di Smith."

La programmazione lineare intera equivale a trovare alcune soluzioni intere (ottimali in un certo senso) di sistemi lineari che includono anche disequazioni . Quindi i sistemi di equazioni diofantee lineari sono fondamentali in questo contesto e i libri di testo sulla programmazione intera di solito trattano i sistemi di equazioni diofantee lineari.

Equazioni omogenee

Un'equazione diofantea omogenea è un'equazione diofantea definita da un polinomio omogeneo . Una tipica equazione di questo tipo è l'equazione dell'ultimo teorema di Fermat

${\displaystyle x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.}$

Poiché un polinomio omogeneo in n indeterminati definisce un'ipersuperficie nello spazio proiettivo di dimensione n − 1 , risolvere un'equazione diofantea omogenea equivale a trovare i punti razionali di un'ipersuperficie proiettiva.

Risolvere un'equazione diofantea omogenea è generalmente un problema molto difficile, anche nel caso più semplice e non banale di tre indeterminati (nel caso di due indeterminati il ​​problema equivale a verificare se un numero razionale è la d- esima potenza di un altro numero razionale) . Un testimone della difficoltà del problema è l'Ultimo Teorema di Fermat (per d > 2 , non esiste una soluzione intera dell'equazione di cui sopra), che ha richiesto più di tre secoli di sforzi dei matematici prima di essere risolto.

Per gradi superiori a tre, i risultati più noti sono teoremi che affermano che non ci sono soluzioni (ad esempio l'ultimo teorema di Fermat) o che il numero di soluzioni è finito (ad esempio il teorema di Falting ).

Per il terzo grado, esistono metodi risolutivi generali, che funzionano su quasi tutte le equazioni che si incontrano nella pratica, ma non si conosce alcun algoritmo che funzioni per ogni equazione cubica.

Secondo grado

Le equazioni diofantee omogenee di secondo grado sono più facili da risolvere. Il metodo di risoluzione standard procede in due fasi. Bisogna prima trovare una soluzione, o provare che non c'è soluzione. Una volta trovata una soluzione, vengono dedotte tutte le soluzioni.

Per dimostrare che non c'è soluzione, si può ridurre l'equazione modulo p . Ad esempio, l'equazione diofantea

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=3z^{2},}$

non ha altra soluzione che la soluzione banale (0, 0, 0) . Infatti, dividendo x , y e z dal loro massimo comun divisore , si può supporre che siano coprimi . I quadrati modulo 4 sono congruenti a 0 e 1. Quindi il lato sinistro dell'equazione è congruente a 0, 1 o 2, e il lato destro è congruente a 0 o 3. Quindi l'uguaglianza può essere ottenuta solo se x , y e z sono tutti anche, e non sono quindi coprimi. Quindi l'unica soluzione è la soluzione banale (0, 0, 0) . Questo mostra che non esiste un punto razionale su un cerchio di raggio centrato nell'origine. ${\displaystyle {\sqrt {3}},}$

Più in generale, il principio di Hasse permette di decidere se un'equazione diofantea omogenea di grado due ha una soluzione intera, e di calcolare una soluzione se esiste.

Se si conosce una soluzione intera non banale, si possono produrre tutte le altre soluzioni nel modo seguente.

Interpretazione geometrica

Permettere

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

essere un'equazione diofantea omogenea, dove è una forma quadratica (cioè un polinomio omogeneo di grado 2), con coefficienti interi. La soluzione banale è la soluzione in cui tutti sono zero. Se è una soluzione intera non banale di questa equazione, allora sono le coordinate omogenee di un punto razionale dell'ipersuperficie definita da Q . Viceversa, se sono coordinate omogenee di un punto razionale di questa ipersuperficie, dove sono numeri interi, allora è una soluzione intera dell'equazione diofantea. Inoltre, le soluzioni intere che definiscono un dato punto razionale sono tutte successioni della forma ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$

${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),}$

dove k è un numero intero e d è il massimo comun divisore di${\displaystyle p_{1}.}$

Ne segue che la risoluzione dell'equazione diofantea si riduce completamente alla ricerca dei punti razionali della corrispondente ipersuperficie proiettiva. ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Parametrizzazione

Sia ora una soluzione intera dell'equazione Poiché Q è un polinomio di grado due, una retta passante per A attraversa l'ipersuperficie in un solo altro punto, che è razionale se e solo se la retta è razionale (cioè se la retta è definita da parametri razionali). Questo permette di parametrizzare l'ipersuperficie dalle rette passanti per A , ei punti razionali sono quelli che si ottengono dalle rette razionali, cioè quelli che corrispondono ai valori razionali dei parametri. ${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$

Più precisamente, si può procedere come segue.

Permutando gli indici si può supporre, senza perdita di generalità, che allora si può passare al caso affine considerando l' ipersuperficie affine definita da ${\displaystyle a_{n}\neq 0.}$

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),}$

che ha il punto razionale

${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_ {n-1}}{a_{n}}}\destra).}$

Se questo punto razionale è un punto singolare , cioè se tutte le derivate parziali sono zero in R , tutte le rette passanti per R sono contenute nell'ipersuperficie, e una ha un cono . Il cambio di variabili

${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$

non cambia i punti razionali, e trasforma q in un polinomio omogeneo in n − 1 variabili. In questo caso il problema può quindi essere risolto applicando il metodo ad un'equazione con meno variabili.

Se il polinomio q è un prodotto di polinomi lineari (possibilmente con coefficienti non razionali), allora definisce due iperpiani . L'intersezione di questi iperpiani è un piano razionale e contiene punti singolari razionali. Questo caso è quindi un caso speciale del caso precedente.

Nel caso generale, consideriamo l' equazione parametrica di una retta passante per R :

${\displaystyle {\begin{allineato}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n- 1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{allineato}}}$

Sostituendo questo in q , si ottiene un polinomio di grado due in quanto nullo poiché è quindi divisibile per . Il quoziente è lineare in e può essere risolto per esprimere come quoziente di due polinomi di grado al massimo due in con coefficienti interi: ${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{1}=r_{1}.}$${\displaystyle x_{1}-r_{1},}$${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n -1})}}.}$

Sostituendo questo nelle espressioni per si ottiene, per i = 1, …, n − 1 , ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n -1})}},}$

dove sono polinomi di grado al massimo due a coefficienti interi. ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

Si può quindi tornare al caso omogeneo. Sia, per i = 1, …, n ,

${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_ {1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),}$

essere l' omogeneizzazione di Questi polinomi quadratici a coefficienti interi formano una parametrizzazione dell'ipersuperficie proiettiva definita da Q : ${\displaystyle f_{i}.}$

${\displaystyle {\begin{allineato}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n} &=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{allineato}}}$

Un punto dell'ipersuperficie proiettiva definita da Q è razionale se e solo se può essere ottenuto da valori razionali di As sono polinomi omogenei, il punto non si modifica se si moltiplicano tutti per lo stesso numero razionale. Quindi, si può supporre che siano interi coprimi . Ne segue che le soluzioni intere dell'equazione diofantea sono esattamente le successioni dove, per i = 1, ..., n , ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$

dove k è un intero, sono interi coprimi e d è il massimo comun divisore degli n interi${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$

Si potrebbe sperare che la coprimalità di the possa implicare che d = 1 . Purtroppo non è così, come mostrato nella prossima sezione. ${\displaystyle t_{i}}$

Esempio di terne pitagoriche

L'equazione

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

è probabilmente la prima equazione diofantea omogenea di secondo grado che sia stata studiata. Le sue soluzioni sono le terne pitagoriche . Questa è anche l'equazione omogenea del cerchio unitario . In questa sezione, mostriamo come il metodo precedente permette di recuperare la formula di Euclide per generare terne pitagoriche.

Per recuperare esattamente la formula di Euclide, partiamo dalla soluzione (−1, 0, 1) , corrispondente al punto (−1, 0) del cerchio unitario. Una linea che passa per questo punto può essere parametrizzata dalla sua pendenza:

${\displaystyle y=t(x+1).}$

Mettendo questo nell'equazione del cerchio

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$

si ottiene

${\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$

Dividendo per x + 1 , si ottiene

${\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$

che è facile da risolvere in x :

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}1+t^{2}}}.}$

Segue

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Omogeneizzando come descritto sopra si ottengono tutte le soluzioni come

${\displaystyle {\begin{allineato}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d} }\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{allineato}}}$

dove k è un qualsiasi intero, s e t sono interi coprimi e d è il massimo comun divisore dei tre numeratori. Infatti, d = 2 se s e t sono entrambi dispari, e d = 1 se uno è dispari e l'altro è pari.

Le triple primitive sono le soluzioni in cui k = 1 ed s > t > 0 .

Questa descrizione delle soluzioni differisce leggermente dalla formula di Euclide perché la formula di Euclide considera solo le soluzioni tali che x , y e z sono tutte positive e non distingue tra due triple che differiscono per lo scambio di x e y ,

Analisi diofantea

Domande tipiche

Le domande poste nell'analisi diofantea includono:

1. Ci sono soluzioni?
2. Ci sono soluzioni oltre ad alcune che possono essere facilmente trovate con un'ispezione ?
3. Ci sono un numero finito o infinito di soluzioni?
4. Si possono trovare tutte le soluzioni in teoria?
5. Si può in pratica calcolare un elenco completo di soluzioni?

Questi problemi tradizionali spesso sono rimasti irrisolti per secoli e i matematici sono arrivati ​​gradualmente a comprenderne la profondità (in alcuni casi), piuttosto che trattarli come enigmi.

Problema tipico

L'informazione fornita è che l'età di un padre è 1 meno del doppio di quella di suo figlio e che le cifre AB che compongono l'età del padre sono invertite nell'età del figlio (cioè BA ). Questo porta all'equazione 10 A + B = 2(10 B + A ) − 1 , quindi 19 B − 8 A = 1 . L'ispezione dà il risultato A = 7 , B = 3 , e quindi AB è uguale a 73 anni e BA è uguale a 37 anni. Si può facilmente dimostrare che non esiste altra soluzione con A e B interi positivi inferiori a 10.

Molti enigmi ben noti nel campo della matematica ricreativa portano a equazioni diofantee. Gli esempi includono il problema della palla di cannone , il problema del bestiame di Archimede e La scimmia e le noci di cocco .

XVII e XVIII secolo

Nel 1637, Pierre de Fermat scrisse a margine della sua copia di Arithmetica : "È impossibile separare un cubo in due cubi, o una quarta potenza in due quarte potenze, o in generale, qualsiasi potenza superiore alla seconda in due come poteri." Detto in un linguaggio più moderno, "L'equazione a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ non ha soluzioni per n maggiore di 2.". In seguito scrisse: "Ho scoperto una prova davvero meravigliosa di questa proposizione, che questo margine è troppo stretto per contenere". Tuttavia, una tale dimostrazione è sfuggita ai matematici per secoli, e come tale la sua affermazione è diventata famosa come Ultimo teorema di Fermat . Non è stato fino al 1995 che è stato dimostrato dal matematico britannico Andrew Wiles .

Nel 1657, Fermat tentò di risolvere l'equazione diofantea 61 x ² + 1 = y ² (risolta da Brahmagupta più di 1000 anni prima). L'equazione fu infine risolta da Eulero all'inizio del XVIII secolo, che risolse anche una serie di altre equazioni diofantee. La soluzione più piccola di questa equazione in numeri interi positivi è x = 226153980 , y = 1766319049 (vedi metodo Chakravala ).

Il decimo problema di Hilbert

Nel 1900, David Hilbert propose la risolvibilità di tutte le equazioni diofantee come decimo dei suoi problemi fondamentali . Nel 1970, Yuri Matiyasevich lo risolse negativamente, basandosi sul lavoro di Julia Robinson , Martin Davis e Hilary Putnam per dimostrare che non può esistere un algoritmo generale per risolvere tutte le equazioni diofantee .

Geometria diofantea

La geometria diofantea , che è l'applicazione di tecniche della geometria algebrica in questo campo, ha continuato a crescere di conseguenza; poiché trattare equazioni arbitrarie è un vicolo cieco, l'attenzione si sposta su equazioni che hanno anche un significato geometrico. L'idea centrale della geometria diofantea è quella di un punto razionale , cioè una soluzione di un'equazione polinomiale o di un sistema di equazioni polinomiali , che è un vettore in un campo prescritto K , quando K non è algebricamente chiuso .

Ricerca moderna

Uno dei pochi approcci generali è attraverso il principio di Hasse . La discesa infinita è il metodo tradizionale ed è stata spinta molto lontano.

La profondità dello studio delle equazioni diofantee generali è mostrata dalla caratterizzazione degli insiemi diofantei come descritti in modo equivalente come ricorsivamente enumerabili . In altre parole, il problema generale dell'analisi diofantea è benedetto o maledetto dall'universalità, e comunque non è qualcosa che si risolverà se non riesprimendolo in altri termini.

Il campo dell'approssimazione diofantea si occupa dei casi di disuguaglianza diofantea . Qui si suppone che le variabili siano ancora intere, ma alcuni coefficienti potrebbero essere numeri irrazionali e il segno di uguaglianza è sostituito dai limiti superiore e inferiore.

L'unica questione più celebre nel campo, la congettura nota come Ultimo teorema di Fermat , è stata risolta da Andrew Wiles , utilizzando strumenti della geometria algebrica sviluppati nel secolo scorso piuttosto che all'interno della teoria dei numeri dove la congettura è stata originariamente formulata. Altri risultati importanti, come il teorema di Faltings , hanno eliminato le vecchie congetture.

Equazioni diofantee infinite

Un esempio di equazione diofantea infinita è:

n = a ² + 2 b ² + 3 c ² + 4 d ² + 5 e ² + ⋯ , che può essere espresso come "In quanti modi si puòscrivereun dato intero n come la somma di un quadrato più due volte un quadrato più tre volte al quadrato e così via?" Il numero di modi in cui questo può essere fatto per ogni n forma una sequenza intera. Le equazioni diofantee infinite sono legate alle funzioni theta e ai reticoli dimensionali infiniti. Questa equazione ha sempre una soluzione per ogni n positivo. Confronta questo con:

n = a ² + 4 b ² + 9 c ² + 16 d ² + 25 e ² + ⋯ ,

che non sempre ha una soluzione per il positivo n .

Equazioni diofantee esponenziali

Se un'equazione diofantea ha come variabile aggiuntiva o variabili che si verificano come esponenti , è un'equazione diofantea esponenziale. Gli esempi includono l' equazione di Ramanujan–Nagell , 2 ⁿ − 7 = x ² , e l'equazione della congettura di Fermat–Catalan e della congettura di Beal , a ^m + b ⁿ = c ^k con restrizioni di disuguaglianza sugli esponenti. Non è disponibile una teoria generale per tali equazioni; sono stati affrontati casi particolari come la congettura di Catalan . Tuttavia, la maggior parte viene risolta tramite metodi ad hoc come il teorema di Størmer o anche per tentativi ed errori .

Guarda anche

• Kuṭṭaka , algoritmo di Aryabhata per risolvere equazioni diofantee lineari in due incognite

Appunti

Riferimenti

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Ulteriori letture

• Bashmakova, Izabella G. "Diofante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
• Bashmakova, Izabella G. Diophantus e le equazioni diofantee . Mosca: Nauka 1972 [in russo]. Traduzione tedesca: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basilea/Stoccarda, 1974. Traduzione inglese: Diophantus and Diophantine Equations . Tradotto da Abe Shenitzer con l'assistenza editoriale di Hardy Grant e aggiornato da Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
• Bashmakova, Izabella G. " Aritmetica delle curve algebriche da Diophantus a Poincaré " Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
• Bashmakova, Izabella G., Slavutin, EI Storia dell'analisi diofantea da Diofanto a Fermat . Mosca: Nauka 1984 [in russo].
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link esterno

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• "Equazioni diofantee" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Calcolatrice online di Dario Alpern . Estratto il 18 marzo 2009