Mappa di Hénon - Hénon map

Attrattore di hénon per a = 1.4 eb = 0.3

Attrattore di hénon per a = 1.4 eb = 0.3

La mappa Hénon , a volte chiamata attrattore / mappa Hénon-Pomeau , è un sistema dinamico a tempo discreto . È uno degli esempi più studiati di sistemi dinamici che mostrano un comportamento caotico . La mappa di Hénon prende un punto ( x _n ,  y _n ) nel piano e lo mappa su un nuovo punto

${\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {n + 1} = 1-ax_ {n} ^ {2} + y_ {n} \\ y_ {n + 1} = bx_ {n}. \ end {cases} }}$

La mappa dipende da due parametri, un e b , che per la classica mappa Hénon hanno valori di un  = 1,4 e b  = 0,3. Per i valori classici la mappa di Hénon è caotica. Per altri valori di una e B mappa potrebbero essere caotico, intermittente o convergono ad un orbita periodica . Una panoramica del tipo di comportamento della mappa a diversi valori di parametro può essere ottenuta dal suo diagramma orbitale .

La mappa è stata introdotta da Michel Hénon come modello semplificato della sezione Poincaré del modello Lorenz . Per la mappa classica, un punto iniziale dell'aereo si avvicinerà a un insieme di punti noto come attrattore strano di Hénon o divergerà all'infinito. L'attrattore di Hénon è un frattale , liscio in una direzione e un cantore impostato in un'altra. Le stime numeriche producono una dimensione di correlazione di 1,25 ± 0,02 e una dimensione di Hausdorff di 1,261 ± 0,003 per l'attrattore della mappa classica.

Attrattore

Diagramma orbitale per la mappa di Hénon con b = 0,3 . Una densità maggiore (più scura) indica una maggiore probabilità che la variabile x acquisisca quel valore per il valore dato di a . Notare le regioni satellite di caos e periodicità intorno a = 1,075 - queste possono sorgere a seconda delle condizioni iniziali per x e y .

La mappa di Hénon mappa due punti su se stessi: questi sono i punti invarianti. Per i valori classici di un e B della mappa Hénon, uno di questi punti è sul attrattore:

${\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {609}} - 7} {28}} \ circa 0,631354477,}$

${\ displaystyle y = {\ frac {3 \ left ({\ sqrt {609}} - 7 \ right)} {280}} \ circa 0,189406343.}$

Questo punto è instabile. I punti vicini a questo punto fisso e lungo il pendio 1.924 si avvicineranno al punto fisso e i punti lungo il pendio -0.156 si allontaneranno dal punto fisso. Queste pendenze derivano dalle linearizzazioni del collettore stabile e del collettore instabile del punto fisso. La varietà instabile del punto fisso nell'attrattore è contenuta nello strano attrattore della mappa di Hénon.

La mappa di Hénon non ha uno strano attrattore per tutti i valori dei parametri a e b . Ad esempio, mantenendo b fisso a 0,3 il diagramma di biforcazione mostra che per a = 1,25 la mappa di Hénon ha un'orbita periodica stabile come attrattore.

Cvitanović et al. hanno mostrato come la struttura dell'attrattore strano di Hénon possa essere compresa in termini di orbite periodiche instabili all'interno dell'attrattore.

Mappa di Hénon classica (15 iterazioni). Sottoiterazioni calcolate utilizzando la scomposizione in tre fasi.

Decomposizione

La mappa di Hénon può essere scomposta in una curva che preserva l'area:

${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) = (x, 1-ax ^ {2} + y) \,}$ ,

una contrazione nella direzione x :

${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = (bx_ {1}, y_ {1}) \,}$ ,

e un riflesso nella linea y  =  x :

${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}) = (y_ {2}, x_ {2}) \,}$ .

Decomposizione unidimensionale

La mappa di Hénon può anche essere decostruita in una mappa unidimensionale, definita in modo simile alla sequenza di Fibonacci .

${\ displaystyle x_ {n + 1} = 1-ax_ {n} ^ {2} + bx_ {n-1}}$

Casi speciali e orbite di basso periodo

Se si risolve la mappa Hénon unidimensionale per il caso speciale:

${\ displaystyle X = x_ {n-1} = x_ {n} = x_ {n + 1}}$

Si arriva alla semplice quadradica:

${\ displaystyle X = 1-aX ^ {2} + bX}$

O

${\ displaystyle 0 = -aX ^ {2} + (b-1) X + 1}$

La formula quadratica produce:

${\ displaystyle X = {b-1 \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -2b + 1 + 4a}} \ over 2a}}$

Nel caso speciale b = 1, questo è semplificato a

${\ displaystyle X = {\ pm {\ sqrt {a}} \ over a}}$

Se, inoltre, a è nella forma, la formula è ulteriormente semplificata ${\ displaystyle {1 \ over c ^ {n}}}$

${\ displaystyle X = \ pm c ^ {n / 2}}$

In pratica il punto di partenza (X, X) seguirà un loop di 4 punti in due dimensioni che passa per tutti i quadranti.

${\ displaystyle (X, X) = (X, -X)}$

${\ displaystyle (X, -X) = (- X, -X)}$

${\ displaystyle (-X, -X) = (- X, X)}$

${\ displaystyle (-X, X) = (X, X)}$

Storia

Nel 1976 in Francia, l'attrattore di Lorenz viene analizzato dal fisico Yves Pomeau che esegue una serie di calcoli numerici con JL Ibanez. L'analisi produce una sorta di complemento al lavoro di Ruelle (e Lanford) presentato nel 1975. È l'attrattore di Lorenz, cioè quello corrispondente alle equazioni differenziali originarie, e la sua struttura geometrica che le interessano. Pomeau e Ibanez combinano i loro calcoli numerici con i risultati dell'analisi matematica, basata sull'uso delle sezioni di Poincaré. Lo stretching, il piegamento, la sensibilità alle condizioni iniziali sono naturalmente portati in questo contesto in connessione con l'attrattore di Lorenz. Se l'analisi è in definitiva molto matematica, Pomeau e Ibanez seguono, in un certo senso, un approccio fisico, sperimentando numericamente il sistema di Lorenz.

Due aperture sono portate specificamente da queste esperienze. Consentono di evidenziare un comportamento singolare del sistema Lorenz: si ha una transizione, caratterizzata da un valore critico dei parametri del sistema, per cui il sistema passa da una strana posizione di attrattore ad una configurazione in un ciclo limite. L'importanza sarà rivelata dallo stesso Pomeau (e da un collaboratore, Paul Manneville) attraverso lo "scenario" di Intermittency , proposto nel 1979.

La seconda strada suggerita da Pomeau e Ibanez è l'idea di realizzare sistemi dinamici ancora più semplici di quello di Lorenz, ma aventi caratteristiche simili, e che permettano di provare più chiaramente "evidenze" portate alla luce da calcoli numerici. Poiché il ragionamento è basato sulla sezione di Poincaré, si propone di produrre un'applicazione del piano in sé, piuttosto che un'equazione differenziale, imitando il comportamento di Lorenz e del suo strano attrattore. Ne costruisce uno ad hoc che gli permette di basare meglio il suo ragionamento.

Nel gennaio 1976, Pomeau ha presentato il suo lavoro durante un seminario tenuto all'Osservatorio della Costa Azzurra, alla presenza di Michel Hénon. Michel Hénon utilizza il suggerimento di Pomeau per ottenere un sistema semplice con uno strano attrattore.

Guarda anche

• Mappa a ferro di cavallo
• Teorema di Takens

Appunti

Riferimenti

• M. Hénon (1976). "Una mappatura bidimensionale con uno strano attrattore". Comunicazioni in fisica matematica . 50 (1): 69–77. Bibcode : 1976CMaPh..50 ... 69H . doi : 10.1007 / BF01608556 .
• Predrag Cvitanović; Gemunu Gunaratne; Itamar Procaccia (1988). "Proprietà topologiche e metriche degli attrattori strani di tipo Hénon". Physical Review A . 38 (3): 1503–1520. Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C . doi : 10.1103 / PhysRevA.38.1503 . PMID   9900529 .
• Carles Simó (1979). "Sull'attrattore Hénon-Pomeau". Giornale di fisica statistica . 21 : 465–494.
• Michel Hénon e Yves Pomeau (1976). "Due strani attrattori con una struttura semplice". Turbolenza ed equazioni di Navier Stokes . Springer: 29-68.
• M. Michelitsch; OE Rössler (1989). "Una nuova caratteristica nella mappa di Hénon" . Computer e grafica . 13 (2): 263-265. doi : 10.1016 / 0097-8493 (89) 90070-8 . . Ristampato in: Chaos and Fractals, A Computer Graphical Journey: Ten Year Compilation of Advanced Research (Ed. CA Pickover). Amsterdam, Paesi Bassi: Elsevier, pp. 69–71, 1998
• Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Stime della dimensione dell'attrattore per sistemi dinamici: teoria e calcolo . Cham: Springer.

link esterno

• Mappa interattiva di Henon e attrattore di Henon in Chaotic Maps
• Un'altra iterazione interattiva della mappa Henon di A. Luhn
• Diagramma orbitale della mappa di Hénon di C. Pellicer-Lostao e R. Lopez-Ruiz dopo il lavoro di Ed Pegg Jr, The Wolfram Demonstrations Project .
• Codice Matlab per la mappa Hénon di M.Suzen
• Simulazione della mappa di Hénon in javascript (experience.math.cnrs.fr) di Marc Monticelli.