Idempotente (teoria dell'anello) - Idempotent (ring theory)

Nella teoria degli anelli (parte dell'algebra astratta ) un elemento idempotente , o semplicemente un idempotente , di un anello è un elemento a tale che a ² = a . Cioè, l'elemento è idempotente sotto la moltiplicazione dell'anello. Induttivamente quindi, si può anche concludere che a = a ² = a ³ = a ⁴ = ... = a ⁿ per ogni intero positivo n . Ad esempio, un elemento idempotente di un anello di matrice è precisamente una matrice idempotente .

Per gli anelli generici, gli elementi idempotenti sotto moltiplicazione sono coinvolti nelle decomposizioni dei moduli e collegati alle proprietà omologhe dell'anello. In booleana , i principali oggetti di studio sono anelli in cui tutti gli elementi sono idempotente sia sotto addizione e moltiplicazione.

Esempi

Quozienti di Z

Si può considerare l'anello di interi mod n , dove n è quadrato . Per il teorema cinese dei resti , questo anello fattorizza nel prodotto diretto di anelli di interi mod  p . Ora ciascuno di questi fattori è un campo, quindi è chiaro che gli unici idempotenti del fattore saranno 0 e 1. Cioè, ogni fattore ha due idempotenti. Quindi se ci sono m fattori, ci saranno 2 ^m idempotenti.

Possiamo verificarlo per gli interi mod 6, R = Z /6 Z . Poiché 6 ha due fattori (2 e 3) dovrebbe avere 2 ² idempotenti.

0 ² ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)

1 ² ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)

2 ² ≡ 4 ≡ 4 (mod 6)

3 ² ≡ 9 ≡ 3 (mod 6)

4 ² ≡ 16 ≡ 4 (mod 6)

5 ² ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

Da questi calcoli, 0, 1, 3 e 4 sono idempotenti di questo anello, mentre 2 e 5 non lo sono. Ciò dimostra anche le proprietà di decomposizione descritte di seguito: poiché 3 + 4 = 1 (mod 6) , esiste una decomposizione ad anello 3 Z /6 Z ⊕ 4 Z /6 Z . In 3 Z /6 Z l'identità è 3+6 Z e in 4 Z /6 Z l'identità è 4+6 Z .

Quoziente dell'anello polinomiale

Dato un anello e un elemento tale che , allora il quoziente anello ${\displaystyle R}$${\displaystyle f\in R}$${\displaystyle f^{2}\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {R}{(f^{2}-f)}}}$

ha l'idempotente . Ad esempio, questo potrebbe essere applicato a , oa qualsiasi polinomio . ${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Idempotenti negli anelli di quaternioni spaccati

C'è un catenoide di idempotenti nell'anello diviso-quaternione .

Tipi di anello idempotente

Un elenco parziale di importanti tipi di idempotenti include:

• Due idempotenti a e b sono chiamati ortogonale se ab = ba = 0 . Se a è idempotente nell'anello R (con unità), allora lo è anche b = 1 − a ; inoltre, un e b sono ortogonali.
• Un idempotente a in R si dice idempotente centrale se ax = xa per ogni x in R .
• Un banale idempotente si riferisce a uno degli elementi 0 e 1, che sono sempre idempotenti.
• Un idempotente primitivo di un anello R è un idempotente a diverso da zero tale che aR è indecomponibile come modulo R destro ; cioè, tale che aR non è una somma diretta di due sottomoduli diversi da zero. Equivalentemente, a è un idempotente primitivo se non può essere scritto come a = e + f , dove e e f sono idempotenti ortogonali diversi da zero in R .
• Un idempotente locale è un idempotente a tale che aRa è un anello locale . Ciò implica che aR è direttamente indecomponibile, quindi anche gli idempotenti locali sono primitivi.
• Un idempotente irriducibile giusto è un idempotente a per il quale aR è un modulo semplice. Per il lemma di Schur , End _R ( aR ) = aRa è un anello di divisione, e quindi è un anello locale, quindi gli idempotenti irriducibili di destra (e sinistra) sono locali.
• Un idempotente centralmente primitivo è un idempotente centrale a che non può essere scritto come la somma di due idempotenti centrali ortogonali diversi da zero.
• Un idempotente un + I nell'anello quoziente R / I è detto di ascensore modulo che se c'è un idempotente b in R tali che b + I = un + I .
• Un idempotente di a di R è detto idempotente completo se RaR = R .
• Una separabilità idempotente ; vedi algebra separabile .

Qualsiasi idempotente non banale a è un divisore zero (perché ab = 0 senza a né b zero, dove b = 1 − a ). Ciò mostra che i domini integrali e gli anelli di divisione non hanno tali idempotenti. Anche gli anelli locali non hanno tali idempotenti, ma per un motivo diverso. L'unico idempotente contenuto nel radicale di Jacobson di un anello è 0.

Anelli caratterizzati da idempotenti

• Un anello in cui tutti gli elementi sono idempotenti è detto anello booleano . Alcuni autori usano il termine "anello idempotente" per questo tipo di anello. In tale anello, la moltiplicazione è commutativa e ogni elemento è il suo inverso additivo .
• Un anello è semisemplice se e solo se ogni ideale destro (o sinistro) è generato da un idempotente.
• Un anello è regolare di von Neumann se e solo se ogni ideale destro finito (o sinistro) è generato da un idempotente.
• Un anello per il quale l' annichilatore r .Ann( S ) ogni sottoinsieme S di R è generato da un idempotente è detto anello di Baer . Se la condizione vale solo per tutti i sottoinsiemi singleton di R , allora l'anello è un anello di Rickart destro . Entrambi questi tipi di anelli sono interessanti anche quando mancano di un'identità moltiplicativa.
• Un anello in cui tutti gli idempotenti sono centrali è chiamato anello abeliano . Tali anelli non devono essere commutativi.
• Un anello è direttamente irriducibile se e solo se 0 e 1 sono gli unici idempotenti centrali.
• Un anello R può essere scritto come e ₁ R ⊕ e ₂ R ⊕ ... ⊕ e _n R con ogni e _i un idempotente locale se e solo se R è un anello semiperfetto .
• Un anello è chiamato anello SBI o anello Lift/rad se tutti gli idempotenti di R lift modulo il radicale di Jacobson .
• Un anello soddisfa la condizione di catena ascendente sugli addendi diretti di destra se e solo se l'anello soddisfa la condizione di catena discendente sugli addotti diretti di sinistra se e solo se ogni insieme di idempotenti ortogonali a due a due è finito.
• Se a è idempotente nell'anello R , allora aRa è di nuovo un anello, con identità moltiplicativa a . L'anello aRa è spesso indicato come un anello d' angolo di R . L'anello d'angolo nasce naturalmente dall'anello di endomorfismi End _R ( aR ) ≅ aRa .

Ruolo nelle decomposizioni

Le idempotenti di R hanno un importante collegamento alla decomposizione di R moduli . Se M è un modulo R ed E = Fine _R ( M ) è il suo anello di endomorfismi , allora A ⊕ B = M se e solo se esiste un'unica e idempotente in E tale che A = e ( M ) e B = ( 1− e ) ( M ) . Chiaramente allora M è direttamente indecomponibile se e solo se 0 e 1 sono gli unici idempotenti in E .

Nel caso in cui M = R l'anello di endomorfismo End _R ( R ) = R , dove ogni endomorfismo nasce come moltiplicazione a sinistra per un elemento di anello fisso. Con questa modifica della notazione, A ⊕ B = R come moduli giusti se e solo se esiste un unico idempotente e tale che eR = A e (1 − e ) R = B . Quindi ogni addizione diretta di R è generata da un idempotente.

Se a è un idempotente centrale, allora l'anello d'angolo aRa = Ra è un anello con identità moltiplicativa a . Proprio come gli idempotenti determinano le decomposizioni dirette di R come modulo, gli idempotenti centrali di R determinano le decomposizioni di R come somma diretta di anelli. Se R è la somma diretta degli anelli R ₁ ,..., R _n , allora gli elementi identità degli anelli R _i sono idempotenti centrali in R , ortogonali a coppie, e la loro somma è 1. Viceversa, dati idempotenti centrali a ₁ ,..., a _n in R che sono ortogonali a due a due e hanno somma 1, allora R è la somma diretta degli anelli Ra ₁ ,…, Ra _n . Quindi, in particolare, ogni centrale idempotente a in R dà luogo a una scomposizione di R come somma diretta degli anelli d'angolo aRa e (1 − a ) R (1 − a ) . Di conseguenza, un anello R è direttamente indecomponibile come anello se e solo se l'identità 1 è primitiva centrale.

Lavorando induttivamente, si può tentare di scomporre 1 in una somma di elementi primitivi centrali. Se 1 è primitivo centrale, abbiamo finito. In caso contrario, è una somma di idempotenti ortogonali centrali, che a loro volta sono primitivi o somme di idempotenti più centrali, e così via. Il problema che può sorgere è che ciò possa continuare all'infinito, producendo una famiglia infinita di idempotenti ortogonali centrali. La condizione " R non contiene insiemi infiniti di idempotenti ortogonali centrali " è un tipo di condizione di finitezza sull'anello. Può essere ottenuto in molti modi, ad esempio richiedendo che l'anello sia giusto Noetherian . Se esiste una decomposizione R = c ₁ R ⊕ c ₂ R ⊕ ... ⊕ c _n R con ogni c _i un idempotente centralmente primitivo, allora R è una somma diretta degli anelli d'angolo c _i Rc _i , ciascuno dei quali è anello irriducibile.

Per algebre associative o algebre di Jordan su un campo, la decomposizione di Peirce è una scomposizione di un'algebra come somma di autospazi di elementi idempotenti commutanti.

Relazione con le involuzioni

Se a è un idempotente dell'anello di endomorfismo End _R ( M ), allora l'endomorfismo f = 1 − 2 a è un'involuzione del modulo R di M . Cioè, f è un omomorfismo di R tale che f ² è l'endomorfismo di identità di M .  

Un elemento idempotente a di R e la sua associata involuzione f danno luogo a due involuzioni del modulo R , a seconda della visualizzazione di R come modulo sinistro o destro. Se r rappresenta un elemento arbitrario di R , f può essere visto come un omomorfismo di R destro r ↦ fr così che ffr = r , oppure f può essere visto anche come un omomorfismo di modulo R sinistro r ↦ rf , dove rff = r .

Questo processo può essere invertito se 2 è un elemento invertibile di R : se b è un'involuzione, allora 2 ⁻¹ (1 − b) e 2 ⁻¹ (1 + b) sono idempotenti ortogonali, corrispondenti a a e 1 − a . Quindi per un anello in cui 2 è invertibile, gli elementi idempotenti corrispondono alle involuzioni in modo biunivoco.

Categoria di moduli R

Sollevamento idempotenti ha anche importanti conseguenze per la categoria di R moduli . Tutti idempotenti ascensore con modulo I se e solo se ogni R addendo diretto di R / I ha una copertura proiettiva come R modulo. Gli idempotenti sollevano sempre ideali modulo nullo e anelli per i quali R è I-adicamente completo .

Il sollevamento è più importante quando I = J( R ) , il radicale di Jacobson di R . Ancora un'altra caratterizzazione degli anelli semiperfetti è che sono anelli semilocali i cui idempotenti aumentano modulo J( R ).

Reticolo di idempotenti

Si può definire un ordine parziale sulle idempotenti di un anello come segue: se un e b sono idempotenti, si scrive una ≤ b se e solo se ab = ba = a . Rispetto a questo ordine, 0 è il più piccolo e 1 il più grande idempotente. Per idempotenti ortogonali una e B , un + b è anche idempotente, e abbiamo un ≤ un + b e b ≤ a + b . Gli atomi di questo ordine parziale sono proprio i primitivi idempotenti. ( Lam 2001 , p. 323)errore harv: nessun obiettivo: CITEREFLam2001 ( aiuto )

Quando l'ordine parziale di cui sopra è ristretto agli idempotenti centrali di R , può essere data una struttura reticolare, o anche una struttura di algebra booleana. Per due idempotenti centrali e e f il complemento ¬ e = 1 − e e l' unione e l'incontro sono dati da

e ∨ f = e + f − ef

e

e ∧ f = ef .

L'ordinamento ora diventa semplicemente e ≤ f se e solo se eR ⊆ fR , e l'unione e l'incontro soddisfano ( e ∨ f ) R = eR + fR e ( e ∧ f ) R = eR ∩ fR = ( eR )( fR ) . È mostrato in ( Goodearl 1991 , p. 99) che se R è regolare di von Neumann e autoiniettivo corretto , allora il reticolo è un reticolo completo . errore harv: nessun obiettivo: CITEREFGoodearl1991 ( aiuto )

Appunti

Riferimenti