Instabilità dei jeans - Jeans instability

Formazione di stelle
Classi di oggetti
Mezzo interstellare Nuvola molecolare Globulo di Bok Nebulosa oscura Giovane oggetto stellare Protostar Stella T Tauri Stella pre-sequenza principale Herbig Ae / Be star Oggetto Herbig – Haro
Concetti teorici
Accrescimento Funzione di massa iniziale Instabilità dei jeans Meccanismo di Kelvin – Helmholtz Ipotesi nebulosa Migrazione planetaria
v t e

Nella fisica stellare , l' instabilità dei Jeans causa il collasso delle nubi di gas interstellari e la conseguente formazione stellare, dal nome di James Jeans . Si verifica quando la pressione interna del gas non è abbastanza forte da impedire il collasso gravitazionale di una regione piena di materia. Per la stabilità, la nuvola deve essere in equilibrio idrostatico, che nel caso di una nuvola sferica si traduce in:

${\ displaystyle {\ frac {dp} {dr}} = - {\ frac {G \ rho (r) M _ {\ text {enc}} (r)} {r ^ {2}}}}$,

dove è la massa racchiusa, è la pressione, è la densità del gas (al raggio ), è la costante gravitazionale ed è il raggio. L'equilibrio è stabile se piccole perturbazioni sono smorzate e instabili se amplificate. In generale, la nuvola è instabile se è molto massiccia a una data temperatura o molto fresca a una data massa; in queste circostanze, la pressione del gas non può superare la gravità e la nuvola collasserà. ${\ textstyle M _ {\ text {enc}} (r)}$${\ textstyle p}$${\ textstyle \ rho (r)}$${\ textstyle r}$${\ textstyle G}$${\ textstyle r}$

Massa dei jeans

La massa Jeans prende il nome dal fisico britannico Sir James Jeans , che ha considerato il processo di collasso gravitazionale all'interno di una nube gassosa. È stato in grado di dimostrare che, in condizioni appropriate, una nuvola, o parte di essa, sarebbe diventata instabile e avrebbe iniziato a collassare quando non avesse avuto una pressione gassosa sufficiente per bilanciare la forza di gravità . La nuvola è stabile per una massa sufficientemente piccola (a una data temperatura e raggio), ma una volta superata questa massa critica, inizierà un processo di contrazione incontrollata fino a quando qualche altra forza può impedire il collasso. Ha derivato una formula per calcolare questa massa critica in funzione della sua densità e temperatura . Maggiore è la massa della nuvola, minore è la sua dimensione e più fredda è la sua temperatura, meno stabile sarà contro il collasso gravitazionale .

Il valore approssimativo della massa Jeans può essere derivato attraverso un semplice argomento fisico. Si inizia con una regione gassosa sferica di raggio , massa e con una velocità del suono gassosa . Il gas viene leggermente compresso e richiede tempo ${\ textstyle R}$${\ textstyle M}$ ${\ textstyle c_ {s}}$

${\ displaystyle t _ {\ text {sound}} = {\ frac {R} {c_ {s}}} \ circa 0,5 {\ mbox {Myr}} \ cdot {\ frac {R} {0,1 {\ mbox {pc }}}} \ cdot \ left ({\ frac {c_ {s}} {0.2 {\ mbox {km s}} ^ {- 1}}} \ right) ^ {- 1}}$

affinché le onde sonore attraversino la regione e provino a respingere e ristabilire il sistema in equilibrio di pressione. Allo stesso tempo, la gravità tenterà di contrarre ulteriormente il sistema e lo farà in un tempo di caduta libera ,

${\ displaystyle t _ {\ rm {ff}} = {\ frac {1} {(G \ rho) ^ {\ frac {1} {2}}}} \ approx 2 {\ mbox {Myr}} \ cdot \ sinistra ({\ frac {n} {10 ^ {3} {\ mbox {cm}} ^ {- 3}}} \ destra) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

dove è la costante gravitazionale universale, è la densità del gas all'interno della regione, ed è la densità del numero di gas per la massa media per particella (μ =${\ textstyle G}$${\ textstyle \ rho}$${\ textstyle n = \ rho / \ mu}$3,9 × 10 ⁻²⁴  g è appropriato per l'idrogeno molecolare con il 20% di elio in numero). Quando il tempo di attraversamento del suono è inferiore al tempo di caduta libera, le forze di pressione superano temporaneamente la gravità e il sistema ritorna a un equilibrio stabile. Tuttavia, quando il tempo di caduta libera è inferiore al tempo di attraversamento del suono, la gravità vince le forze di pressione e la regione subisce un collasso gravitazionale . La condizione per il collasso gravitazionale è quindi:

${\ displaystyle t _ {\ rm {ff}} <t _ {\ text {sound}}.}$

La lunghezza del Jeans risultante è approssimativamente: ${\ textstyle \ lambda _ {\ text {J}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {J}} = {\ frac {c_ {s}} {(G \ rho) ^ {\ frac {1} {2}}}} \ circa 0,4 {\ mbox {pc }} \ cdot {\ frac {c_ {s}} {0.2 {\ mbox {km s}} ^ {- 1}}} \ cdot \ left ({\ frac {n} {10 ^ {3} {\ mbox {cm}} ^ {- 3}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}.}$

Questa scala di lunghezza è nota come lunghezza dei jeans. Tutte le scale più grandi della lunghezza dei Jeans sono instabili al collasso gravitazionale , mentre le scale più piccole sono stabili. La massa Jeans è proprio la massa contenuta in una sfera di raggio ( è la metà della lunghezza Jeans): ${\ textstyle M _ {\ text {J}}}$${\ textstyle R _ {\ text {J}}}$${\ textstyle R _ {\ text {J}} = {\ frac {1} {2}} \ lambda _ {\ text {J}}}$

${\ displaystyle M _ {\ text {J}} = {\ frac {4 \ pi} {3}} \ rho R _ {\ text {J}} ^ {3} = {\ frac {\ pi} {6}} \ cdot {\ frac {c_ {s} ^ {3}} {G ^ {\ frac {3} {2}} \ rho ^ {\ frac {1} {2}}}} \ approx 2 {\ mbox { M}} _ {\ odot} \ cdot \ left ({\ frac {c_ {s}} {0.2 {\ mbox {km s}} ^ {- 1}}} \ right) ^ {3} \ left ({ \ frac {n} {10 ^ {3} {\ mbox {cm}} ^ {- 3}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}.}$

Successivamente è stato sottolineato da altri astrofisici che in realtà l'analisi originale utilizzata da Jeans era difettosa, per il seguente motivo. Nella sua analisi formale, Jeans presumeva che la regione di collasso della nuvola fosse circondata da un mezzo statico infinito. Infatti, poiché tutte le scale maggiori della lunghezza dei jeans sono anche instabili per collassare, anche qualsiasi mezzo inizialmente statico che circonda una regione di collasso collasserà. Di conseguenza, il tasso di crescita dell'instabilità gravitazionale rispetto alla densità del fondo che collassa è più lento di quello previsto dall'analisi originale di Jeans. Questo difetto è diventato noto come la "truffa dei jeans".

L'instabilità di Jeans probabilmente determina quando si verifica la formazione di stelle nelle nuvole molecolari .

Una derivazione alternativa, probabilmente ancora più semplice, può essere trovata utilizzando considerazioni sull'energia. Nella nube interstellare sono all'opera due forze opposte. La pressione del gas, causata dal movimento termico degli atomi o delle molecole che compongono la nuvola, cerca di far espandere la nuvola, mentre la gravitazione cerca di far collassare la nuvola. La massa Jeans è la massa critica in cui entrambe le forze sono in equilibrio tra loro. Nella seguente derivazione le costanti numeriche (come π) e le costanti di natura (come la costante gravitazionale) verranno ignorate. Verranno reintrodotti nel risultato finale.

Si consideri una nube di gas omogeneo sferica di raggio R . Per comprimere questa sfera in un raggio R - d R , è necessario lavorare contro la pressione del gas. Durante la compressione, viene rilasciata energia gravitazionale. Quando questa energia è uguale alla quantità di lavoro da fare sul gas, si raggiunge la massa critica. Sia M la massa della nuvola, T la temperatura (assoluta), n la densità delle particelle ep la pressione del gas. Il lavoro da fare è uguale a p d V . Utilizzando la legge dei gas ideali, secondo la quale p = nT , si arriva alla seguente espressione per l'opera:

${\ displaystyle dW = nTR ^ {2} dR}$

L'energia potenziale gravitazionale di una sfera con massa M e raggio R è, a parte le costanti, data dalla seguente espressione:

${\ displaystyle U = {\ frac {M ^ {2}} {R}}}$

La quantità di energia rilasciata quando la sfera si contrae dal raggio R al raggio R - d R si ottiene differenziando questa espressione in R , quindi

${\ displaystyle dU = {\ frac {M ^ {2}} {R ^ {2}}} dR}$

La massa critica viene raggiunta non appena l'energia gravitazionale rilasciata è pari al lavoro svolto sul gas:

${\ displaystyle {\ frac {M ^ {2}} {R ^ {2}}} = nTR ^ {2}}$

Successivamente, il raggio R deve essere espresso in termini di densità di particelle n e la massa M . Questo può essere fatto usando la relazione

${\ displaystyle M = nR ^ {3}}$

Un po 'di algebra porta alla seguente espressione per la massa critica.

${\ displaystyle M _ {\ text {J}} = \ left ({\ frac {T ^ {3}} {n}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$

Se durante la derivazione vengono prese tutte le costanti, l'espressione risultante è

${\ displaystyle M _ {\ text {J}} = \ left ({\ frac {375k ^ {3}} {4 \ pi m ^ {4} G ^ {3}}} \ right) ^ {\ frac {1 } {2}} \ left ({\ frac {T ^ {3}} {n}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$

dove k è la costante di Boltzmann, G la costante gravitazionale e m la massa di una particella che comprende il gas. Supponendo che la nuvola sia costituita da idrogeno atomico, il prefattore può essere calcolato. Se prendiamo la massa solare come unità di massa, il risultato è

${\ displaystyle M _ {\ text {J}} = 3 \ volte 10 ^ {4} \ sinistra ({\ frac {T ^ {3}} {n}} \ destra) ^ {\ frac {1} {2} }}$

Lunghezza dei jeans

La lunghezza dei jeans è il raggio critico di una nuvola (tipicamente una nuvola di gas e polvere molecolare interstellare) in cui l'energia termica, che fa espandere la nuvola, è contrastata dalla gravità, che fa collassare la nuvola. Prende il nome dall'astronomo britannico Sir James Jeans , che si occupò della stabilità delle nebulose sferiche all'inizio del 1900.

La formula per la lunghezza dei jeans è:

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {J}} = \ left ({\ frac {15k _ {\ text {B}} T} {4 \ pi Gm_ {p} \ mu \ rho}} \ right) ^ { \ frac {1} {2}},}$

dove è la costante di Boltzmann , è la temperatura della nuvola, è la massa per particella nella nuvola, è la costante gravitazionale , è la massa di un protone in kg, ed è la densità di massa della nuvola (cioè la massa della nuvola divisa per la nuvola volume). ${\ textstyle k _ {\ text {B}}}$${\ textstyle T}$${\ textstyle \ mu}$${\ textstyle G}$${\ textstyle m_ {p},}$${\ textstyle \ rho}$

Forse il modo più semplice per concepire lunghezza jeans' è in termini di una stretta approssimazione, in cui si scartano i fattori e in cui riformulare come . La formula per la lunghezza dei jeans diventa quindi: ${\ textstyle 15}$${\ textstyle 4 \ pi}$${\ textstyle \ rho}$${\ textstyle {\ frac {M} {r ^ {3}}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {J}} \ approx \ left ({\ frac {k _ {\ text {B}} Tr ^ {3}} {GM \ mu}} \ right) ^ {\ frac { 1} {2}}.}$

dov'è il raggio della nuvola. ${\ textstyle r}$

Ne consegue immediatamente che quando ; cioè, il raggio della nuvola è la lunghezza del Jeans quando l'energia termica per particella è uguale al lavoro gravitazionale per particella. A questa lunghezza critica il cloud non si espande né si contrae. È solo quando l'energia termica non è uguale al lavoro gravitazionale che la nuvola si espande e si raffredda o si contrae e si riscalda, un processo che continua fino al raggiungimento dell'equilibrio. ${\ textstyle \ lambda _ {\ text {J}} = r}$${\ textstyle k _ {\ text {B}} T = {\ frac {GM \ mu} {r}}}$

Lunghezza dei jeans come lunghezza d'onda di oscillazione

I jeans' lunghezza è la lunghezza d'onda di oscillazione (rispettivamente, jeans' wavenumber , ) sotto del quale si verificheranno oscillazioni stabili anziché collasso gravitazionale. ${\ textstyle k _ {\ text {J}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {J}} = {\ frac {2 \ pi} {k _ {\ text {J}}}} = c _ {\ text {s}} \ left ({\ frac {\ pi} {G \ rho}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}},}$

dove G è la costante gravitazionale , è la velocità del suono ed è la densità di massa racchiusa. ${\ textstyle c _ {\ text {s}}}$${\ textstyle \ rho}$

È anche la distanza che un'onda sonora percorre nel tempo di collasso.

Frammentazione

L'instabilità dei jeans può anche dar luogo a frammentazione in determinate condizioni. Per derivare la condizione per la frammentazione si assume un processo adiabatico in un gas ideale e si assume anche un'equazione di stato politropica. La derivazione è mostrata di seguito attraverso un'analisi dimensionale:

Per i processi adiabatici ,${\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {costante}} \ rightarrow V \ sim P ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}}.}$

Per un gas ideale ,${\ displaystyle PV = nRT \ Rightarrow P \ cdot P ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = P ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} \ sim T \ Rightarrow P \ sim T ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}}.}$

Equazione di stato politropica ,${\ Displaystyle P = K \ rho ^ {\ gamma} \ rightarrow T \ sim \ rho ^ {\ gamma -1}.}$

Massa dei jeans, ${\ displaystyle M _ {\ text {J}} \ sim T ^ {\ frac {3} {2}} \ rho ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ sim \ rho ^ {{\ frac {3} {2}} (\ gamma -1)} \ rho ^ {- {\ frac {1} {2}}}.}$

Quindi, ${\ displaystyle M _ {\ text {J}} \ sim \ rho ^ {{\ frac {3} {2}} \ left (\ gamma - {\ frac {4} {3}} \ right)}.}$

Se l' indice adiabatico , la massa Jeans aumenta con l'aumentare della densità, mentre se la massa Jeans diminuisce con l'aumentare della densità. Durante il collasso gravitazionale la densità aumenta sempre, quindi nel secondo caso la massa dei Jeans diminuirà durante il collasso, consentendo il collasso delle regioni più piccole e sovradensate, portando alla frammentazione della nube molecolare gigante. Per un gas monoatomico ideale, l'indice adiabatico è 5/3. Tuttavia, negli oggetti astrofisici questo valore è solitamente vicino a 1 (ad esempio, in gas parzialmente ionizzato a temperature basse rispetto all'energia di ionizzazione). Più in generale, il processo non è realmente adiabatico ma prevede il raffreddamento per irraggiamento molto più veloce della contrazione, in modo che il processo possa essere modellato da un indice adiabatico basso quanto 1 (che corrisponde all'indice politropico di un gas isotermico). Quindi il secondo caso è la regola piuttosto che un'eccezione nelle stelle. Questo è il motivo per cui le stelle di solito si formano in ammassi. ${\ textstyle \ gamma> {\ frac {4} {3}}}$${\ textstyle \ gamma <{\ frac {4} {3}}}$

Guarda anche

• Messa di Bonnor-Ebert
• Onde di Langmuir ( onde simili in un plasma)

Riferimenti

• Jeans, JH (1902). "La stabilità di una nebulosa sferica" . Philosophical Transactions della Royal Society A . 199 (312–320): 1–53. Bibcode : 1902RSPTA.199 .... 1J . doi : 10.1098 / rsta.1902.0012 . JSTOR  90845 .
• Longair, Malcolm S. (1998). Formazione galattica . Berlino: Springer. ISBN 3-540-63785-0.
• Clarke, Cathie; Carswell, Bob (2007). Dinamica dei fluidi astrofisica . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-85331-6.