Ideale principale - Principal ideal

In matematica , in particolare teoria anello , un ideale principale è un ideale in un anello che viene generato da un singolo elemento di moltiplicandoli per ogni elemento Il termine ha anche un altro significato simile in teoria ordine , dove si riferisce ad un (ordine) ideale in un poset generato da un singolo elemento, vale a dire l'insieme di tutti gli elementi minori o uguali a in ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R.}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x \ in P,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P.}$

Il resto di questo articolo affronta il concetto di teoria dell'anello.

Definizioni

• un ideale principale sinistro di è un sottoinsieme di dato da per qualche elemento ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle Ra = \ {ra: r \ in R \}}$${\ displaystyle a,}$
• un ideale principale giusto di è un sottoinsieme di dato da per qualche elemento ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle aR = \ {ar: r \ in R \}}$${\ displaystyle a,}$
• un ideale principale a due lati di è un sottoinsieme di dato da per qualche elemento , vale a dire, l'insieme di tutte le somme finite di elementi della forma ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle RaR = \ {r_ {1} as_ {1} + \ ldots + r_ {n} as_ {n}: r_ {1}, s_ {1}, \ ldots, r_ {n}, s_ {n} \ in R \}}$${\ displaystyle a,}$${\ displaystyle ras.}$

Sebbene questa definizione di ideale principale a due lati possa sembrare più complicata delle altre, è necessario assicurarsi che l'ideale rimanga chiuso sotto l'aggiunta.

Se è un anello commutativo con identità, le tre nozioni precedenti sono tutte uguali. In tal caso, è comune scrivere l'ideale generato da as o ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ langle a \ rangle}$${\ displaystyle (a).}$

Esempi di ideale non principale

Non tutti gli ideali sono principali. Si consideri ad esempio l'anello commutativo di tutti i polinomi in due variabili e con coefficienti complessi . L'ideale generato da e che consiste di tutti i polinomi che hanno zero per il termine costante , non è principale. Per vedere questo, supponiamo che fosse un generatore per Allora e sarebbe entrambi divisibile per il che è impossibile a meno che non sia una costante diversa da zero. Ma lo zero è l'unica costante in quindi abbiamo una contraddizione . ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y,}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y,}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle p,}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle,}$

Sul ring i numeri dove è anche un ideale non principale. Questo ideale forma un reticolo esagonale regolare nel piano complesso. Considera e Questi numeri sono elementi di questo ideale con la stessa norma (due), ma perché le uniche unità nell'anello sono e non sono associate. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}] = \ {a + b {\ sqrt {-3}}: a, b \ in \ mathbb {Z} \},}$${\ displaystyle a + b}$${\ displaystyle (a, b) = (2,0)}$${\ displaystyle (1,1).}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle -1,}$

Definizioni correlate

Un anello in cui ogni ideale è principale è chiamato principale , o anello ideale principale . Un dominio ideale principale (PID) è un dominio integrale in cui ogni ideale è principale. Qualsiasi PID è un dominio di fattorizzazione unico ; la normale dimostrazione della fattorizzazione unica negli interi (il cosiddetto teorema fondamentale dell'aritmetica ) vale in ogni PID.

Esempi di ideali principali

Gli ideali principali in sono della forma In effetti, è un dominio ideale principale, che può essere mostrato come segue. Supponiamo dove e consideriamo gli omomorfismi suriettivi Poiché è finito, per sufficientemente grande abbiamo Così che implica è sempre finitamente generato. Poiché l'ideale generato da qualsiasi numero intero ed è esattamente per induzione sul numero di generatori ne consegue che è principale. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ langle n \ rangle = n \ mathbb {Z}.}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle I = \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots \ rangle}$${\ displaystyle n_ {1} \ neq 0,}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1} \ rangle \ rightarrow \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2} \ rangle \ rightarrow \ mathbb {Z} / \ langle n_ { 1}, n_ {2}, n_ {3} \ rangle \ rightarrow \ cdots.}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1} \ rangle}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k} \ rangle = \ mathbb {Z} / \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k + 1} \ rangle = \ cdots.}$${\ displaystyle I = \ langle n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {k} \ rangle,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ langle \ mathop {\ mathrm {gcd}} (a, b) \ rangle,}$${\ displaystyle I}$

Tuttavia, tutti gli anelli hanno ideali principali, vale a dire, qualsiasi ideale generato da esattamente un elemento. Ad esempio, l'ideale è un ideale principale ed è un ideale principale dei fatti, e sono ideali principali di ogni anello ${\ displaystyle \ langle x \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y],}$${\ displaystyle \ langle {\ sqrt {-3}} \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}].}$${\ displaystyle \ {0 \} = \ langle 0 \ rangle}$${\ displaystyle R = \ langle 1 \ rangle}$${\ displaystyle R.}$

Proprietà

Qualsiasi dominio euclideo è un PID ; l'algoritmo utilizzato per calcolare i massimi comuni divisori può essere utilizzato per trovare un generatore di qualsiasi ideale. Più in generale, due qualsiasi due ideali principali in un anello commutativo hanno un massimo comune divisore nel senso di moltiplicazione ideale. Nei principali domini ideali, questo ci permette di calcolare i massimi comuni divisori degli elementi dell'anello, fino alla moltiplicazione per un'unità ; definiamo essere qualsiasi generatore dell'ideale ${\ displaystyle \ gcd (a, b)}$${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle.}$

Per un dominio di Dedekind potremmo anche chiedere, dato un ideale non principale del fatto che v'è una certa estensione di tale che l'ideale di generato da massima priorità (detto più liberamente, diventa preside in ). Questa domanda è sorta in connessione con lo studio degli anelli di interi algebrici (che sono esempi di domini di Dedekind) nella teoria dei numeri e ha portato allo sviluppo della teoria dei campi di classe di Teiji Takagi , Emil Artin , David Hilbert e molti altri. ${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle S}$

Il teorema ideale principale della teoria dei campi di classe afferma che ogni anello intero (cioè l' anello degli interi di un campo numerico ) è contenuto in un anello intero più grande che ha la proprietà che ogni ideale di diventa un ideale principale di In questo teorema possiamo prendere essere l'anello degli interi del campo della classe di Hilbert di ; cioè, l' estensione abeliana massima non modificata (cioè l' estensione di Galois il cui gruppo Galois è abeliano ) del campo frazione di e questo è determinato in modo univoco da ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle R.}$

Il teorema ideale principale di Krull afferma che se è un anello noetheriano ed è un ideale principale, proprio di allora ha altezza al massimo uno. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle I}$

Guarda anche

• Condizione di catena ascendente per ideali principali

Riferimenti

• Gallian, Joseph A. (2017). Algebra astratta contemporanea (9 ° ed.). Cengage Learning. ISBN   978-1-305-65796-0 .