Mappa standard - Standard map

Lo spazio delle fasi della mappa standard con la variazione del parametro da 0 a 5.19 ( in assi y, in assi x). Notare la comparsa di una zona "punteggiata", segno di un comportamento caotico .

{\ displaystyle K}

{\ displaystyle p_ {n}}

{\ displaystyle \ theta _ {n}}

Orbite della mappa standard per K = 0,6.

Orbite della mappa standard per K = 0,971635.

Orbite della mappa standard per K = 1.2.

Orbite della mappa standard per K = 2.0. La grande regione verde è la principale regione caotica della mappa.

Una singola orbita della mappa standard per K = 2.0. Primo piano ingrandito centrato su , p = 0,666, di larghezza / altezza totale 0,02. Notare la distribuzione estremamente uniforme dell'orbita.

{\ displaystyle \ theta = 0,282}

La mappa standard (nota anche come mappa Chirikov – Taylor o come mappa standard Chirikov ) è una mappa caotica che preserva l'area da un quadrato con un lato su se stesso. È costruito dalla superficie di una sezione di Poincaré del rotatore calciato ed è definito da: ${\ displaystyle 2 \ pi}$

{\ displaystyle p_ {n + 1} = p_ {n} + K \ sin (\ theta _ {n})}

{\ displaystyle \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + p_ {n + 1}}

dove e sono presi modulo . ${\ displaystyle p_ {n}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$

Le proprietà del caos della mappa standard furono stabilite da Boris Chirikov nel 1969.

Modello fisico

Questa mappa descrive la superficie della sezione di Poincaré del movimento di un semplice sistema meccanico noto come rotatore a calci . Il rotatore calciato è costituito da un bastone che è privo della forza gravitazionale, che può ruotare senza attrito su un piano attorno a un asse situato in una delle sue estremità e che viene periodicamente calciato sull'altra punta.

La mappa standard è una superficie di sezione applicata da una proiezione stroboscopica sulle variabili del rotatore calciato. Le variabili e determinano rispettivamente la posizione angolare del bastone e il suo momento angolare dopo l' n -esimo calcio. La costante K misura l'intensità dei calci sul rotatore calciato. ${\ displaystyle \ theta _ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {n}}$

Il rotatore a calci si avvicina a sistemi studiati nei campi della meccanica delle particelle, fisica degli acceleratori , fisica del plasma e fisica dello stato solido . Ad esempio, gli acceleratori di particelle circolari accelerano le particelle applicando calci periodici, mentre circolano nel tubo del fascio. Pertanto, la struttura del raggio può essere approssimata dal rotore calciato. Tuttavia, questa mappa è interessante da un punto di vista fondamentale in fisica e matematica perché è un modello molto semplice di un sistema conservativo che mostra il caos hamiltoniano . È quindi utile studiare lo sviluppo del caos in questo tipo di sistema.

Proprietà principali

La mappa è lineare e sono possibili solo orbite periodiche e quasiperiodiche . Quando tracciate nello spazio delle fasi (il piano θ– p ), le orbite periodiche appaiono come curve chiuse e le orbite quasiperiodiche come collane di curve chiuse i cui centri si trovano in un'altra curva chiusa più grande. Il tipo di orbita osservata dipende dalle condizioni iniziali della mappa. ${\ displaystyle K = 0}$

La non linearità della mappa aumenta con K , e con essa la possibilità di osservare dinamiche caotiche per condizioni iniziali appropriate. Ciò è illustrato nella figura, che mostra una raccolta di diverse orbite consentite alla mappa standard per vari valori di . Tutte le orbite mostrate sono periodiche o quasiperiodiche, ad eccezione di quella verde che è caotica e si sviluppa in un'ampia regione dello spazio delle fasi come un insieme di punti apparentemente casuale. Particolarmente notevole è l'estrema uniformità della distribuzione nella regione caotica, sebbene ciò possa essere ingannevole: anche all'interno delle regioni caotiche, ci sono un numero infinito di isole sempre più piccole che non vengono mai visitate durante l'iterazione, come mostrato in primo piano. ${\ displaystyle K> 0}$

Mappa del cerchio

La mappa standard è correlata alla mappa del cerchio , che ha un'unica equazione iterata simile:

{\ displaystyle \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + \ Omega -K \ sin (\ theta _ {n})}

paragonato a

{\ Displaystyle \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + p_ {n} + K \ sin (\ theta _ {n})}

{\ displaystyle p_ {n + 1} = \ theta _ {n + 1} - \ theta _ {n}}

per la mappa standard, le equazioni sono state riordinate per enfatizzare la somiglianza. In sostanza, la mappa circolare forza lo slancio a una costante.

Guarda anche

Teorema di Ushiki

Appunti

Riferimenti

Chirikov, BV Ricerca sulla teoria della risonanza non lineare e della stocasticità . Preprint N 267, Istituto di fisica nucleare, Novosibirsk (1969) (in russo) [Engl. Transl., CERN Trans. 71-40, Ginevra, ottobre (1971), Tradotto da ATSanders]. collegamento
Chirikov, BV Un'instabilità universale di sistemi di oscillatori multidimensionali . Phys. Rep. V.52. p.263 (1979) Elsvier, Amsterdam.
Lichtenberg, AJ e Lieberman, MA (1992). Dinamiche regolari e caotiche . Springer, Berlino. ISBN 978-0-387-97745-4 . Collegamento Springer
Ott, Edward (2002). Caos nei sistemi dinamici . Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5 .
Sprott, Julien Clinton (2003). Caos e analisi delle serie temporali . La stampa dell'università di Oxford. ISBN 0-19-850840-9 .

link esterno

Mappa standard su MathWorld
Mappa standard di Chirikov su Scholarpedia
Sito web dedicato a Boris Chirikov
Applet Java interattiva che visualizza le orbite della mappa standard , di Achim Luhn
Applicazione per Mac per la mappa standard , di James Meiss
Mappa standard dell'applet Javascript interattiva su experience.math.cnrs.fr

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