Deformazione (fisica) - Deformation (physics)
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In fisica , la deformazione è la trasformazione della meccanica del continuo di un corpo da una configurazione di riferimento a una configurazione corrente . Una configurazione è un insieme contenente le posizioni di tutte le particelle del corpo.
Una deformazione può verificarsi a causa di carichi esterni , forze del corpo (come gravità o forze elettromagnetiche ) o variazioni di temperatura, contenuto di umidità o reazioni chimiche, ecc.
La deformazione è correlata alla deformazione in termini di spostamento relativo delle particelle nel corpo che esclude i movimenti del corpo rigido. Differenti scelte equivalenti possono essere fatte per l'espressione di un campo di deformazione a seconda che sia definito rispetto alla configurazione iniziale o finale del corpo e che si consideri il tensore metrico o il suo duale.
In un corpo continuo, un campo di deformazione risulta da un campo di sollecitazione dovuto a forze applicate oa causa di alcune variazioni nel campo di temperatura del corpo. La relazione tra sforzo e deformazione è espressa da equazioni costitutive , ad esempio la legge di Hooke per materiali elastici lineari . Le deformazioni che cessano di esistere dopo la rimozione del campo di sollecitazione sono chiamate deformazioni elastiche . In questo caso, il continuum recupera completamente la sua configurazione originale. Permangono invece deformazioni irreversibili. Esistono anche dopo che le sollecitazioni sono state rimosse. Un tipo di deformazione irreversibile è la deformazione plastica , che si verifica nei corpi materiali dopo che le sollecitazioni hanno raggiunto un certo valore di soglia noto come limite elastico o carico di snervamento , e sono il risultato di meccanismi di scorrimento o dislocazione a livello atomico. Un altro tipo di deformazione irreversibile è la deformazione viscosa , che è la parte irreversibile della deformazione viscoelastica .
Nel caso delle deformazioni elastiche, la funzione di risposta che lega la deformazione alla sollecitazione deformativa è il tensore di cedevolezza del materiale.
Sforzo
La deformazione rappresenta lo spostamento tra le particelle nel corpo rispetto a una lunghezza di riferimento.
La deformazione di un corpo è espressa nella forma x = F ( X ) dove X è la posizione di riferimento dei punti materiali del corpo. Tale misura non distingue tra movimenti del corpo rigido (traslazioni e rotazioni) e cambiamenti di forma (e dimensione) del corpo. Una deformazione ha unità di lunghezza.
Potremmo, ad esempio, definire ceppo essere
dove I è il tensore di identità . Quindi le deformazioni sono adimensionali e di solito sono espresse come una frazione decimale , una percentuale o in parti per notazione . Le deformazioni misurano quanto una data deformazione differisce localmente da una deformazione a corpo rigido.
Una deformazione è in generale una quantità tensoriale . La comprensione fisica delle deformazioni può essere ottenuta osservando che una determinata deformazione può essere scomposta in componenti normali e di taglio. La quantità di allungamento o compressione lungo gli elementi o le fibre della linea del materiale è la deformazione normale e la quantità di distorsione associata allo scorrimento degli strati piani l'uno sull'altro è la deformazione di taglio , all'interno di un corpo deformante. Ciò potrebbe essere applicato mediante allungamento, accorciamento o variazioni di volume o distorsione angolare.
Lo stato di deformazione in un punto materiale di un corpo continuo è definito come la totalità di tutte le variazioni di lunghezza delle linee o fibre materiali, la deformazione normale , che passa per quel punto e anche la totalità di tutte le variazioni dell'angolo tra coppie di rette inizialmente perpendicolari tra loro, la deformazione di taglio , che si irradia da questo punto. Tuttavia, è sufficiente conoscere le componenti normale e di taglio della deformazione su un insieme di tre direzioni reciprocamente perpendicolari.
Se c'è un aumento della lunghezza della linea del materiale, la deformazione normale è detta deformazione a trazione , altrimenti, se c'è una riduzione o compressione nella lunghezza della linea del materiale, si parla di deformazione a compressione .
Misure di deformazione
A seconda della quantità di deformazione, o deformazione locale, l'analisi della deformazione è suddivisa in tre teorie deformative:
- La teoria delle deformazioni finite , chiamata anche teoria delle grandi deformazioni , teoria delle grandi deformazioni , si occupa di deformazioni in cui sia le rotazioni che le deformazioni sono arbitrariamente grandi. In questo caso, le configurazioni indeformate e deformate del continuum sono significativamente differenti e occorre operare una chiara distinzione tra di esse. Questo è comunemente il caso di elastomeri , materiali deformabili plasticamente e altri fluidi e tessuti molli biologici .
- Teoria della deformazione infinitesimale , chiamata anche teoria della piccola deformazione , teoria della piccola deformazione , teoria del piccolo spostamento o teoria del gradiente di piccolo spostamento in cui le deformazioni e le rotazioni sono entrambe piccole. In questo caso, le configurazioni indeformate e deformate del corpo possono essere assunte identiche. La teoria della deformazione infinitesimale viene utilizzata nell'analisi delle deformazioni di materiali che esibiscono un comportamento elastico , come i materiali che si trovano nelle applicazioni di ingegneria meccanica e civile, ad esempio calcestruzzo e acciaio.
- Teoria dei grandi spostamenti o delle grandi rotazioni , che presuppone piccole deformazioni ma grandi rotazioni e spostamenti.
In ciascuna di queste teorie il ceppo viene quindi definito in modo diverso. La deformazione ingegneristica è la definizione più comune applicata ai materiali utilizzati nell'ingegneria meccanica e strutturale, che sono soggetti a deformazioni molto piccole. D'altra parte, per alcuni materiali, ad esempio elastomeri e polimeri, soggetti a grandi deformazioni, la definizione ingegneristica di deformazione non è applicabile, ad esempio deformazioni ingegneristiche tipiche maggiori dell'1%, quindi sono necessarie altre definizioni di deformazione più complesse, come allungamento , deformazione logaritmica , ceppo verde , e ceppo Almansi .
Ceppo ingegneristico
La deformazione ingegneristica nota anche come deformazione di Cauchy è espressa come il rapporto tra la deformazione totale e la dimensione iniziale del corpo materiale su cui vengono applicate le forze. Il ceppo normale ingegneria o ingegneria ceppo estensionale o nominale ceppo e di un elemento lineare materiale o fibra caricata assialmente è espresso come variazione della lunghezza Δ L per unità di lunghezza originale L dell'elemento linea o fibre. La deformazione normale è positiva se le fibre del materiale sono allungate e negativa se sono compresse. Quindi, abbiamo
dove e è la deformazione normale ingegneristica , L è la lunghezza originale della fibra e l è la lunghezza finale della fibra. Le misure di deformazione sono spesso espresse in parti per milione o microdeformazioni.
La vera deformazione di taglio è definita come la variazione dell'angolo (in radianti) tra due elementi lineari del materiale inizialmente perpendicolari tra loro nella configurazione indeformata o iniziale. La deformazione di taglio ingegneristica è definita come la tangente di quell'angolo ed è uguale alla lunghezza della deformazione al suo massimo divisa per la lunghezza perpendicolare nel piano di applicazione della forza che a volte rende più facile il calcolo.
Rapporto di allungamento
Il rapporto di allungamento o rapporto di estensione è una misura della deformazione estensionale o normale di un elemento di linea differenziale, che può essere definita sia nella configurazione indeformata che nella configurazione deformata. È definito come il rapporto tra la lunghezza finale l e la lunghezza iniziale L della linea materiale.
Il rapporto di estensione è approssimativamente correlato alla deformazione ingegneristica di
Questa equazione implica che la deformazione normale è zero, in modo che non vi sia alcuna deformazione quando l'allungamento è uguale all'unità.
Il rapporto di stiramento viene utilizzato nell'analisi di materiali che presentano grandi deformazioni, come gli elastomeri, che possono sostenere rapporti di stiramento di 3 o 4 prima che si rompano. D'altra parte, i materiali di ingegneria tradizionali, come il cemento o l'acciaio, si guastano a rapporti di allungamento molto più bassi.
Vera tensione
Il ceppo logaritmico ε , chiamato anche ceppo vero o ceppo di Hencky . Considerando una deformazione incrementale (Ludwik)
la deformazione logaritmica si ottiene integrando questa deformazione incrementale:
dove e è il ceppo ingegneristico. La deformazione logaritmica fornisce la misura corretta della deformazione finale quando la deformazione avviene in una serie di incrementi, tenendo conto dell'influenza del percorso di deformazione.
Ceppo verde
Il ceppo Green è definito come:
Ceppo Almansi
Il ceppo di Eulero-Almansi è definito come
Deformazione normale e di taglio
Le deformazioni sono classificate come normali o di taglio . Una deformazione normale è perpendicolare alla faccia di un elemento e una deformazione di taglio è parallela ad essa. Queste definizioni sono coerenti con quelle di sollecitazione normale e di taglio .
Sforzo normale
Per un materiale isotropo che obbedisce alla legge di Hooke , una sollecitazione normale causerà una deformazione normale. I ceppi normali producono dilatazioni .
Si consideri un elemento materiale bidimensionale, infinitesimale, rettangolare di dimensioni dx × dy , che, dopo la deformazione, assume la forma di un rombo . La deformazione è descritta dal campo di spostamento u . Dalla geometria della figura adiacente abbiamo
e
Per gradienti di spostamento molto piccoli i quadrati della derivata di sono trascurabili e si ha
La deformazione normale nella direzione x dell'elemento rettangolare è definita da
Allo stesso modo, la deformazione normale nelle direzioni y - e z - diventa
Sforzo di taglio
Sforzo di taglio | |
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Simboli comuni |
γ o ε |
unità SI | 1 o radiante |
Derivazioni da altre grandezze |
γ = ?/G |
La deformazione da taglio ingegneristico ( γ xy ) è definita come la variazione dell'angolo tra le linee AC e AB . Perciò,
Dalla geometria della figura si ha
Per piccoli gradienti di spostamento abbiamo
Per piccole rotazioni, cioè α e β sono ≪ 1 abbiamo tan α ≈ α , tan β ≈ β . Perciò,
così
Scambiando x e y e u x e u y , si può dimostrare che γ xy = γ yx .
Allo stesso modo, per i piani yz - e xz -, abbiamo
I tensoriali componenti di deformazione di taglio del tensore di deformazione infinitesima possono essere espresse utilizzando la definizione deformazione tecnica, γ , come
tensore metrico
Un campo di deformazione associato ad uno spostamento è definito, in qualsiasi punto, dalla variazione di lunghezza dei vettori tangenti che rappresentano le velocità delle curve arbitrariamente parametrizzate che passano per quel punto. Un risultato geometrico di base, dovuto a Fréchet , von Neumann e Jordan , afferma che, se le lunghezze dei vettori tangenti soddisfano gli assiomi di una norma e la legge del parallelogramma , allora la lunghezza di un vettore è la radice quadrata del valore del forma quadratica associata, dalla formula di polarizzazione , ad una mappa bilineare definita positiva chiamata tensore metrico .
Descrizione della deformazione
La deformazione è la modifica delle proprietà metriche di un corpo continuo, il che significa che una curva disegnata nel posizionamento iniziale del corpo cambia la sua lunghezza quando viene spostata in una curva nel posizionamento finale. Se nessuna delle curve cambia lunghezza, si dice che si è verificato uno spostamento del corpo rigido .
È conveniente identificare una configurazione di riferimento o uno stato geometrico iniziale del corpo continuo da cui fanno riferimento tutte le configurazioni successive. La configurazione di riferimento non deve essere quella che il corpo effettivamente occuperà mai. Spesso, la configurazione a t = 0 è considerata la configurazione di riferimento, κ 0 ( B ) . La configurazione al momento attuale t è la configurazione attuale .
Per l'analisi di deformazione, la configurazione di riferimento è identificato come configurazione indeformata , e la configurazione attuale configurazione deformata . Inoltre, il tempo non viene considerato quando si analizza la deformazione, quindi la sequenza di configurazioni tra le configurazioni indeformate e deformate non è di interesse.
Le componenti X i del vettore posizione X di una particella nella configurazione di riferimento, prese rispetto al sistema di coordinate di riferimento, sono chiamate materiale o coordinate di riferimento . Le componenti x i del vettore posizione x di una particella nella configurazione deformata, prese rispetto al sistema di coordinate spaziali di riferimento, sono invece chiamate coordinate spaziali
Esistono due metodi per analizzare la deformazione di un continuum. Una descrizione è fatta in termini di materiale o coordinate referenziali, chiamata descrizione materiale o descrizione lagrangiana . Una seconda descrizione della deformazione è fatta in termini di coordinate spaziali ed è chiamata descrizione spaziale o descrizione euleriana .
C'è continuità durante la deformazione di un corpo continuo nel senso che:
- I punti materiali che formano una curva chiusa in qualsiasi istante formeranno sempre una curva chiusa in qualsiasi momento successivo.
- I punti materiali che formano una superficie chiusa in ogni istante formeranno sempre una superficie chiusa in qualsiasi momento successivo e la materia all'interno della superficie chiusa rimarrà sempre dentro.
deformazione affine
Una deformazione è detta deformazione affine se può essere descritta da una trasformazione affine . Tale trasformazione è composta da una trasformazione lineare (come rotazione, taglio, estensione e compressione) e da una traslazione del corpo rigido. Le deformazioni affini sono anche chiamate deformazioni omogenee.
Pertanto, una deformazione affine ha la forma
dove x è la posizione di un punto nella configurazione deformata, X è la posizione in una configurazione di riferimento, t è un parametro di tipo temporale, F è il trasformatore lineare e c è la traslazione. In forma matriciale, dove le componenti sono rispetto a una base ortonormale,
La suddetta deformazione diventa non affine o disomogenea se F = F ( X , t ) o c = c ( X , t ) .
Movimento del corpo rigido
Un movimento del corpo rigido è una deformazione affine speciale che non comporta alcun taglio, estensione o compressione. La matrice di trasformazione F è propriamente ortogonale per consentire rotazioni ma non riflessioni .
Un movimento del corpo rigido può essere descritto da
dove
In forma matriciale,
Dislocamento
Un cambiamento nella configurazione di un corpo continuo provoca uno spostamento . Lo spostamento di un corpo ha due componenti: uno spostamento del corpo rigido e una deformazione. Uno spostamento di corpo rigido consiste in una traslazione e rotazione simultanee del corpo senza modificarne la forma o le dimensioni. La deformazione implica il cambiamento di forma e/o dimensione del corpo da una configurazione iniziale o indeformata κ 0 ( B ) ad una configurazione corrente o deformata κ t ( B ) (Figura 1).
Se dopo uno spostamento del continuum c'è uno spostamento relativo tra le particelle, si è verificata una deformazione. D'altra parte, se dopo lo spostamento del continuo lo spostamento relativo tra le particelle nella configurazione corrente è zero, allora non c'è deformazione e si dice che si è verificato uno spostamento di corpo rigido.
Il vettore che unisce le posizioni di una particella P nella configurazione indeformata e deformata è chiamato vettore spostamento u ( X , t ) = u i e i nella descrizione lagrangiana, o U ( x , t ) = U J E J in la descrizione euleriana.
Un campo di spostamento è un campo vettoriale di tutti i vettori di spostamento per tutte le particelle nel corpo, che mette in relazione la configurazione deformata con la configurazione non deformata. È conveniente eseguire l'analisi della deformazione o del movimento di un corpo continuo in termini di campo di spostamento. In generale, il campo di spostamento è espresso in termini di coordinate del materiale come
o in termini di coordinate spaziali come
dove α Ji sono i coseni di direzione tra il sistema di coordinate materiale e spaziale con versori E J ed e i , rispettivamente. così
e la relazione tra u i e U J è quindi data da
Sapendo che
poi
È comune sovrapporre i sistemi di coordinate per le configurazioni indeformate e deformate, che risulta in b = 0 , e la direzione del coseno diventa delta di Kronecker :
Quindi, abbiamo
o in termini di coordinate spaziali come
Tensore del gradiente di spostamento
La differenziazione parziale del vettore di spostamento rispetto alle coordinate del materiale produce il tensore del gradiente di spostamento del materiale ∇ X u . Quindi abbiamo:
o
dove F è il tensore del gradiente di deformazione .
Analogamente, la differenziazione parziale del vettore spostamento rispetto alle coordinate spaziali produce la spaziale spostamento gradiente tensore ∇ x U . Così abbiamo,
o
Esempi di deformazioni
Le deformazioni omogenee (o affini) sono utili per chiarire il comportamento dei materiali. Alcune deformazioni omogenee di interesse sono
Interessanti sono anche le deformazioni piane, in particolare nel contesto sperimentale.
Deformazione piana
Una deformazione piana, detta anche deformazione piana , è quella in cui la deformazione è limitata a uno dei piani nella configurazione di riferimento. Se la deformazione è ristretta al piano descritto dai vettori di base e 1 , e 2 , il gradiente di deformazione ha la forma
In forma matriciale,
Dal teorema di decomposizione polare , il gradiente di deformazione, fino ad un cambiamento di coordinate, può essere scomposto in uno stiramento e in una rotazione. Poiché tutta la deformazione è in un piano, possiamo scrivere
dove θ è l'angolo di rotazione e λ 1 , À 2 sono i principali tratti .
Deformazione piana isocora
Se la deformazione è isocora (conservazione del volume) allora det( F ) = 1 e abbiamo
In alternativa,
Taglio semplice
Una deformazione a taglio semplice è definita come una deformazione piana isocora in cui è presente un insieme di elementi lineari con un dato orientamento di riferimento che non cambiano lunghezza e orientamento durante la deformazione.
Se e 1 è l'orientamento di riferimento fisso in cui gli elementi lineari non si deformano durante la deformazione, allora λ 1 = 1 e F · e 1 = e 1 . Perciò,
Poiché la deformazione è isocora,
Definire
Quindi, il gradiente di deformazione a taglio semplice può essere espresso come
Ora,
Da quando
possiamo anche scrivere il gradiente di deformazione come
Guarda anche
- La deformazione di elementi lunghi come travi o montanti dovuta a forze di flessione è nota come deflessione .
- Teoria del fascio di Eulero-Bernoulli
- Deformazione (ingegneria)
- Teoria delle deformazioni finite
- Teoria della deformazione infinitesimale
- Motivo moiré
- Modulo di taglio
- Sforzo di taglio
- Resistenza al taglio
- Stress (meccanica)
- Misure di stress
Riferimenti
Ulteriori letture
- Bazant, Zdenek P.; Cedolin, Luigi (2010). Instabilità del continuum tridimensionale ed effetti del tensore di deformazione finito, capitolo 11 in "Stabilità delle strutture", 3a ed . Singapore, New Jersey, Londra: World Scientific Publishing. ISBN 9814317039.
- Aneto, Ellis Harold (2006). Meccanica dei continui: elasticità, plasticità, viscoelasticità . Germania: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
- Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Metodi continui di modellazione fisica . Germania: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
- Jirasek, M; Bazant, ZP (2002). Analisi anelastica delle strutture . Londra e New York: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
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- Mase, G. Tommaso; Mase, George E. (1999). Meccanica dei continui per ingegneri (2a ed.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
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