Legge sullo spostamento di Vienna - Wien's displacement law

Radiazione del corpo nero in funzione della lunghezza d'onda per varie temperature. Ogni curva di temperatura ha un picco a una lunghezza d'onda diversa e la legge di Wien descrive lo spostamento di quel picco.

La legge di spostamento di Wien afferma che la curva di radiazione del corpo nero per diverse temperature raggiungerà il picco a diverse lunghezze d'onda che sono inversamente proporzionali alla temperatura. Lo spostamento di quel picco è una diretta conseguenza della legge della radiazione di Planck , che descrive la luminosità spettrale della radiazione del corpo nero in funzione della lunghezza d'onda a una data temperatura. Tuttavia, era stato scoperto da Wilhelm Wien diversi anni prima che Max Planck sviluppasse quell'equazione più generale e descrivesse l'intero spostamento dello spettro della radiazione del corpo nero verso lunghezze d'onda più corte all'aumentare della temperatura.

Formalmente, la legge di spostamento di Wien afferma che la radianza spettrale della radiazione del corpo nero per unità di lunghezza d'onda, ha un picco alla lunghezza d' onda λ _picco dato da:

${\displaystyle \lambda _{\text{picco}}={\frac {b}{T}}}$

dove T è la temperatura assoluta. b è una costante di proporzionalità chiamata costante di spostamento di Wien , uguale a2.897 771 955 ... × 10 ^-3  m⋅K , oppure b ≈ 2898 μm⋅K . Questa è una relazione inversa tra lunghezza d'onda e temperatura. Quindi maggiore è la temperatura, minore o minore è la lunghezza d'onda della radiazione termica. Più bassa è la temperatura, maggiore o maggiore è la lunghezza d'onda della radiazione termica. Per le radiazioni visibili, gli oggetti caldi emettono una luce più blu rispetto agli oggetti freddi. Se si considera il picco di emissione del corpo nero per unità di frequenza o per larghezza di banda proporzionale, è necessario utilizzare una costante di proporzionalità diversa. Tuttavia, la forma della legge rimane la stessa: la lunghezza d'onda di picco è inversamente proporzionale alla temperatura e la frequenza di picco è direttamente proporzionale alla temperatura.

La legge sullo spostamento di Wien può essere indicata come "legge di Wien", un termine utilizzato anche per l' approssimazione di Wien .

Esempi

La legge sullo spostamento di Vienna è rilevante per alcune esperienze quotidiane:

• Un pezzo di metallo riscaldato da una fiamma ossidrica prima diventa "rovente" quando le lunghezze d'onda visibili più lunghe appaiono rosse, poi diventa più rosso-arancio quando la temperatura aumenta, e a temperature molto elevate sarebbe descritto come "incandescente" come lunghezze d'onda sempre più corte vengono a predominare nello spettro di emissione del corpo nero. Prima ancora che raggiungesse la temperatura rovente, l'emissione termica era principalmente a lunghezze d' onda infrarosse più lunghe, che non sono visibili; tuttavia, quella radiazione potrebbe essere percepita mentre riscalda la pelle vicina.
• Si osservano facilmente i cambiamenti nel colore di una lampadina ad incandescenza (che produce luce attraverso la radiazione termica) poiché la temperatura del suo filamento viene variata da un dimmer . Quando la luce viene attenuata e la temperatura del filamento diminuisce, la distribuzione del colore si sposta verso lunghezze d'onda più lunghe e la luce appare più rossa, oltre che più fioca.
• Un fuoco di legna a 1500 K emette un picco di radiazione a circa 2000 nm. Il 98% della sua radiazione è a lunghezze d'onda superiori a 1000 nm e solo una piccola parte a lunghezze d'onda visibili (390-700 nm). Di conseguenza, un fuoco da campo può tenerci al caldo, ma è una scarsa fonte di luce visibile.
• La temperatura effettiva del Sole è 5778 K. Usando la legge di Wien, si trova un picco di emissione per nanometro (di lunghezza d'onda) ad una lunghezza d'onda di circa 500 nm, nella porzione verde dello spettro vicino al picco di sensibilità dell'occhio umano. D'altra parte, in termini di potenza per unità di frequenza ottica, l'emissione di picco del Sole è a 343 THz o una lunghezza d'onda di 883 nm nel vicino infrarosso. In termini di potenza per banda percentuale, il picco è a circa 635 nm, una lunghezza d'onda rossa. Indipendentemente da come si voglia tracciare lo spettro, circa la metà della radiazione solare è a lunghezze d'onda inferiori a 710 nm, circa il limite della visione umana. Di questo, circa il 12% è a lunghezze d'onda inferiori a 400 nm, lunghezze d'onda ultraviolette, che sono invisibili a occhio nudo. Si può apprezzare che una quantità piuttosto grande della radiazione solare cade nello spettro visibile abbastanza piccolo .

Il colore di una stella è determinato dalla sua temperatura, secondo la legge di Vienna. Nella costellazione di Orione , si possono confrontare Betelgeuse ( T  ≈ 3300 K, in alto a sinistra), Rigel ( T  = 12100 K, in basso a destra), Bellatrix ( T  = 22000 K, in alto a destra), e Mintaka ( T  = 31800 K, più a destra delle 3 "stelle della cintura" al centro).

• La preponderanza dell'emissione nel visibile, tuttavia, non è il caso della maggior parte delle stelle . La calda supergigante Rigel emette il 60% della sua luce nell'ultravioletto, mentre la fredda supergigante Betelgeuse emette l'85% della sua luce a lunghezze d'onda infrarosse. Con entrambe le stelle prominenti nella costellazione di Orione , si può facilmente apprezzare la differenza di colore tra il Rigel blu-bianco ( T  = 12100 K) e il rosso Betelgeuse ( T  ≈ 3300 K). Sebbene poche stelle siano calde come Rigel, le stelle più fredde del sole o addirittura fredde come Betelgeuse sono molto comuni.
• I mammiferi con una temperatura della pelle di circa 300 K emettono radiazioni di picco a circa 10 μm nel lontano infrarosso. Questa è quindi la gamma di lunghezze d'onda infrarosse che i serpenti della vipera e le telecamere IR passive devono rilevare.
• Quando si confronta il colore apparente delle sorgenti luminose (incluse luci fluorescenti , illuminazione a LED , monitor di computer e flash ), è consuetudine citare la temperatura del colore . Sebbene gli spettri di tali luci non siano accuratamente descritti dalla curva di radiazione del corpo nero, viene indicata una temperatura di colore per la quale la radiazione del corpo nero corrisponderebbe maggiormente al colore soggettivo di quella sorgente. Ad esempio, la luce fluorescente blu-bianca a volte utilizzata in un ufficio può avere una temperatura di colore di 6500 K, mentre la tinta rossastra di una luce a incandescenza attenuata può avere una temperatura di colore (e una temperatura effettiva del filamento) di 2000 K. Si noti che la descrizione informale del primo colore (bluastro) come "freddo" e del secondo (rossastro) come "caldo" è esattamente opposta all'effettivo cambiamento di temperatura coinvolto nella radiazione del corpo nero.

Scoperta

La legge prende il nome da Wilhelm Wien , che la derivò nel 1893 sulla base di un argomento termodinamico. Wien ha considerato l' espansione adiabatica di una cavità contenente onde luminose in equilibrio termico. Ha mostrato che, in caso di lenta espansione o contrazione, l'energia della luce riflessa dalle pareti cambia esattamente allo stesso modo della frequenza. Un principio generale della termodinamica è che uno stato di equilibrio termico, quando espanso molto lentamente, rimane in equilibrio termico.

Lo stesso Wien dedusse teoricamente questa legge nel 1893, seguendo il ragionamento termodinamico di Boltzmann. Era stato precedentemente osservato, almeno semiquantitativamente, da un astronomo americano, Langley. Questo spostamento verso l'alto di νmax con T è familiare a tutti: quando un ferro viene riscaldato nel fuoco, la prima radiazione visibile (a circa 900 K) è rosso intenso, la luce visibile a frequenza più bassa. Un ulteriore aumento di T fa sì che il colore viri all'arancione, poi al giallo e infine al blu a temperature molto elevate (10.000 K o più) per le quali il picco di intensità della radiazione si è spostato oltre il visibile nell'ultravioletto.

Il principio adiabatico ha permesso a Wien di concludere che per ogni modo, l'energia/frequenza dell'invariante adiabatico è solo una funzione dell'altro invariante adiabatico, la frequenza/temperatura. Una variante moderna della derivazione di Wien si trova nel libro di testo di Wannier e in un articolo di E. Buckingham

La conseguenza è che la forma della funzione di radiazione del corpo nero (che non era ancora stata compresa) si sposterebbe proporzionalmente in frequenza (o inversamente proporzionalmente in lunghezza d'onda) con la temperatura. Quando Max Planck in seguito formulò la corretta funzione di radiazione del corpo nero , non includeva esplicitamente la costante di Wien b . Piuttosto, la costante h di Planck è stata creata e introdotta nella sua nuova formula. Dalla costante di Planck h e dalla costante di Boltzmann k , si ottiene la costante b di Wien .

Formulazione dipendente dalla frequenza

Per il flusso spettrale considerato per unità di frequenza (in hertz ), la legge di spostamento di Wien descrive un'emissione di picco alla frequenza ottica data da: ${\displaystyle d\nu}$${\displaystyle \nu _{\text{picco}}}$

${\ Displaystyle \ nu _ {\ text {peak}} = {\ alpha \ over h} kT \ circa (5.879 \ volte 10 ^ {10} \ \ mathrm {Hz / K}) \ cdot T}$

o equivalente

${\ Displaystyle h \ nu _ {\ text {peak}} = \ alfa kT \ circa (2.431 \ volte 10 ^ {-4} \ \ mathrm {eV / K}) \ cdot T}$

dove α ≈2.821 439 372 122 078 893 ... è una costante risultante dall'equazione di massimizzazione, k è la costante di Boltzmann , h è la costante di Planck e T è la temperatura (in kelvin ). Con l'emissione ora considerata per unità di frequenza, questo picco corrisponde ora a una lunghezza d'onda del 70% più lunga del picco considerato per unità di lunghezza d'onda. La matematica pertinente è dettagliata nella sezione successiva.

Derivazione dalla legge di Planck

La legge di Planck per lo spettro della radiazione del corpo nero predice la legge di spostamento di Wien e può essere utilizzata per valutare numericamente la temperatura relativa costante e il valore del parametro di picco per ogni particolare parametrizzazione. Comunemente viene utilizzata una parametrizzazione della lunghezza d'onda e in tal caso la radianza spettrale del corpo nero (potenza per area di emissione per angolo solido) è:

${\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}$

Differenziando u (λ, T ) rispetto a e ponendo la derivata uguale a zero si ottiene:

${\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left( e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right) =0,}$

che può essere semplificato dando:

${\displaystyle {hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}$

Definendo:

${\displaystyle x\equiv {hc\over \lambda kT},}$

l'equazione diventa una nella singola variabile x :

${\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.}$

che equivale a:

${\displaystyle (x-5)e^{x}+5=0.}$

Questa equazione è facilmente risolvibile numericamente usando il metodo di Newton ottenendo x =4.965 114 231 744 276 303 ... per raddoppiare la precisione in virgola mobile. Risolvendo per la lunghezza d' onda λ in millimetri e usando i kelvin per la temperatura si ottiene:

λ _picco = hc / XKT = (2.897 771 955 185 172 661 ... mm K) / T.

Parametrizzazione per frequenza

Un'altra parametrizzazione comune è per frequenza . La derivazione che produce il valore del parametro di picco è simile, ma inizia con la forma della legge di Planck in funzione della frequenza ν:

${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}$

Il processo precedente che utilizza questa equazione produce:

${\displaystyle -{h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.}$

Il risultato netto è:

${\displaystyle (x-3)e^{x}+3=0.}$

Questo è risolto in modo simile con il metodo di Newton che produce x =2.821 439 372 122 078 893 ... per raddoppiare la precisione in virgola mobile. Una soluzione analitica può essere ottenuta con la funzione W di Lambert

${\displaystyle x=3+W(0,-3e^{-3})}$

Risolvendo per ν produce:

ν _picco = XKT / h = (0,058 789 257 576 468 249 46 ... THz K ⁻¹ ) · T.

I massimi differiscono in base alla parametrizzazione

Si noti che per una data temperatura, la parametrizzazione per frequenza implica una lunghezza d'onda massima diversa rispetto alla parametrizzazione per lunghezza d'onda.

Ad esempio, utilizzando T = 6000 K e parametrizzazione per lunghezza d'onda, la lunghezza d'onda per la massima radianza spettrale è λ = 482.962 nm con frequenza corrispondente ν = 620.737 THz . A parità di temperatura, ma parametrizzando per frequenza, la frequenza per la massima radianza spettrale è ν = 352.735 THz con corrispondente lunghezza d' onda λ = 849.907 nm .

Queste funzioni sono funzioni di densità di radianza , che sono funzioni di densità di probabilità scalate per dare unità di radianza. La funzione di densità ha forme diverse per diverse parametrizzazioni, a seconda dello stiramento relativo o della compressione dell'ascissa, che misura la variazione della densità di probabilità rispetto a una variazione lineare in un dato parametro. Poiché lunghezza d'onda e frequenza hanno una relazione reciproca, rappresentano spostamenti significativamente non lineari nella densità di probabilità l'uno rispetto all'altro.

La radianza totale è l'integrale della distribuzione su tutti i valori positivi, ed è invariante per una data temperatura sotto qualsiasi parametrizzazione. Inoltre, per una data temperatura, la radianza costituita da tutti i fotoni tra due lunghezze d'onda deve essere la stessa indipendentemente dalla distribuzione utilizzata. Vale a dire, integrando la distribuzione di lunghezze d'onda da λ ₁ a À ₂ comporterà lo stesso valore integrando la distribuzione di frequenza tra le due frequenze che corrispondono a À ₁ e λ ₂ , vale a dire dal c / λ ₂ per c / λ ₁ . Tuttavia, la forma della distribuzione dipende dalla parametrizzazione e per una parametrizzazione diversa la distribuzione avrà tipicamente una densità di picco diversa, come dimostrano questi calcoli.

Utilizzando il valore 4 per risolvere l'equazione implicita si ottiene il picco nella funzione di densità di radianza spettrale espressa nel parametro radianza per larghezza di banda proporzionale . Questo è forse un modo più intuitivo di presentare la "lunghezza d'onda dell'emissione di picco". Che produce x =3.920 690 394 872 886 343 ... per raddoppiare la precisione in virgola mobile.

Il punto importante della legge di Wien, tuttavia, è che qualsiasi tale marcatore lunghezza d'onda, tra cui la lunghezza d'onda mediana (o, in alternativa, la lunghezza d'onda di sotto del quale qualsiasi verifica percentuale specificata di emissione) è proporzionale al reciproco della temperatura. Cioè, la forma della distribuzione per una data parametrizzazione scala con e si traduce in base alla temperatura, e può essere calcolata una volta per una temperatura canonica, quindi opportunamente spostata e scalata per ottenere la distribuzione per un'altra temperatura. Questa è una conseguenza della forte affermazione della legge di Vienna.

Guarda anche

• Approssimazione di Vienna
• Emissività
• Equazione di Sakuma-Hattori
• Legge di Stefan-Boltzmann
• Termometro
• Catastrofe ultravioletta

Appunti

Riferimenti

Ulteriori letture

• Soffer, BH; Lynch, DK (1999). "Alcuni paradossi, errori e risoluzioni riguardanti l'ottimizzazione spettrale della visione umana" . Giornale americano di fisica . 67 (11): 946–953. Bibcode : 1999AmJPh..67..946S . doi : 10.1119/1.19170 .
• Heald, MA (2003). "Dov'è la 'vetta di Vienna'?". Giornale americano di fisica . 71 (12): 1322–1323. Bibcode : 2003AmJPh..71.1322H . doi : 10.1119/1.1604387 .

link esterno

• Il mondo della fisica di Eric Weisstein