Numero di avvolgimento - Winding number

Questa curva ha l'avvolgimento numero due attorno al punto p .

Analisi matematica → Analisi complessa
Analisi complessa
Numeri complessi
Numero reale Numero immaginario Piano complesso Complesso coniugato Numero complesso unitario
Funzioni complesse
Funzione a valori complessi Funzione analitica Funzione olomorfa equazioni di Cauchy-Riemann Serie di potenze formali
Teoria di base
Zeri e poli Teorema integrale di Cauchy primitivo locale La formula integrale di Cauchy Numero di avvolgimento serie Laurent Singolarità isolata teorema dei residui Mappa conforme lemma di schwarz Funzione armonica L'equazione di Laplace
Teoria delle funzioni geometriche
Le persone
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Eulero Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
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In matematica , il numero di avvolgimento o indice di avvolgimento di una curva chiusa nel piano attorno a un dato punto è un numero intero che rappresenta il numero totale di volte che la curva si sposta in senso antiorario attorno al punto. Il numero di avvolgimenti dipende dall'orientamento della curva ed è negativo se la curva percorre il punto in senso orario.

Numeri di avvolgimento sono oggetti fondamentali di studio in topologia algebrica , e svolgono un ruolo importante nel calcolo vettoriale , analisi complessa , topologia geometrico , geometria differenziale e fisica (come nella teoria delle stringhe ).

Descrizione intuitiva

Un oggetto che viaggia lungo la curva rossa fa due giri in senso antiorario attorno alla persona all'origine.

Supponiamo di avere una curva chiusa orientata nel piano xy . Possiamo immaginare la curva come il percorso di movimento di un oggetto, con l'orientamento che indica la direzione in cui si muove l'oggetto. Quindi il numero di avvolgimento della curva è uguale al numero totale di giri in senso antiorario che l'oggetto compie attorno all'origine.

Quando si conta il numero totale di giri , il movimento in senso antiorario conta come positivo, mentre il movimento in senso orario conta come negativo. Ad esempio, se l'oggetto prima fa il giro dell'origine quattro volte in senso antiorario e poi fa un giro dell'origine una volta in senso orario, il numero totale di avvolgimento della curva è tre.

Usando questo schema, una curva che non percorre affatto l'origine ha numero di avvolgimento zero, mentre una curva che viaggia in senso orario attorno all'origine ha numero di avvolgimento negativo. Pertanto, il numero di avvolgimento di una curva può essere qualsiasi intero . Le immagini seguenti mostrano curve con numeri di avvolgimento compresi tra -2 e 3:

${\displaystyle \cdots}$
	-2	−1	0
				${\displaystyle \cdots}$
	1	2	3

Definizione formale

Una curva nel piano xy può essere definita da equazioni parametriche :

${\displaystyle x=x(t)\quad {\text{e}}\quad y=y(t)\qquad {\text{per}}0\leq t\leq 1.}$

Se pensiamo al parametro t come tempo, allora queste equazioni specificano il moto di un oggetto nel piano tra t = 0 e t = 1 . Il percorso di questo movimento è una curva finché le funzioni x ( t ) e y ( t ) sono continue . Questa curva è chiusa finché la posizione dell'oggetto è la stessa a t = 0 e t = 1 .

Possiamo definire il numero di avvolgimenti di tale curva usando il sistema di coordinate polari . Supponendo che la curva non passi per l'origine, possiamo riscrivere le equazioni parametriche in forma polare:

${\ Displaystyle r = r (t) \ quad {\ text {e}} \ quad \ theta = \ theta (t) \ qquad {\ text {per}} 0 \ leq t \ leq 1.}$

Le funzioni r ( t ) e θ ( t ) devono essere continue, con r > 0 . Poiché le posizioni iniziale e finale sono le stesse, θ (0) e θ (1) devono differire di un multiplo intero di 2 π . Questo intero è il numero di avvolgimento:

${\displaystyle {\text{numero di avvolgimento}}={\frac {\theta (1)-\theta (0)}{2\pi }}.}$

Questo definisce il numero di avvolgimento di una curva attorno all'origine nel piano xy . Traducendo il sistema di coordinate, possiamo estendere questa definizione per includere i numeri di avvolgimento attorno a qualsiasi punto p .

Definizioni alternative

Il numero di avvolgimento è spesso definito in modi diversi in varie parti della matematica. Tutte le definizioni seguenti sono equivalenti a quella data sopra:

numerazione di Alessandro

Una semplice regola combinatoria per definire il numero di avvolgimento fu proposta da August Ferdinand Möbius nel 1865 e di nuovo indipendentemente da James Waddell Alexander II nel 1928. Qualsiasi curva divide il piano in diverse regioni collegate, una delle quali è illimitata. I numeri di avvolgimento della curva attorno a due punti nella stessa regione sono uguali. Il numero di avvolgimento attorno (in qualsiasi punto) alla regione illimitata è zero. Infine, i numeri di avvolgimento per due regioni adiacenti differiscono esattamente di 1; la regione con il numero di avvolgimento maggiore appare sul lato sinistro della curva (rispetto al movimento lungo la curva).

Geometria differenziale

In geometria differenziale , le equazioni parametriche sono generalmente considerate differenziabili (o almeno differenziabili a tratti). In questo caso, la coordinata polare θ è correlata alle coordinate rettangolari x e y dall'equazione:

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{dove }}r^{2} =x^{2}+y^{2}.}$

Che si trova differenziando la seguente definizione di :

${\displaystyle \theta (t)=\arctan {\bigg (}{\frac {y(t)}{x(t)}}{\bigg )}}$

Dal teorema fondamentale del calcolo , la variazione totale di θ è uguale alla integrale di dO . Possiamo quindi esprimere il numero di avvolgimenti di una curva differenziabile come integrale di linea :

${\displaystyle {\text{numero di avvolgimento}}={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,\left({\frac {x}{r^{2}}}\ ,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx\right).}$

L' unico modulo dO (definita sul complemento di origine) viene chiuso , ma non è esatto, e genera il primo de Rham cohomology gruppo del piano forato . In particolare, se ω è qualsiasi differenziabile una forma chiusa definita sul complemento dell'origine, allora l'integrale di ω lungo anelli chiusi dà un multiplo del numero di avvolgimenti.

Analisi complessa

I numeri tortuosi giocano un ruolo molto importante in tutta l'analisi complessa (cfr. l'affermazione del teorema dei residui ). Nel contesto dell'analisi complessa , il numero di avvolgimento di una curva chiusa nel piano complesso può essere espresso in termini della coordinata complessa z = x + iy . Nello specifico, se scriviamo z  =  re ^iθ , allora ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle dz=e^{i\theta}dr+ire^{i\theta }d\theta \!\,}$

e quindi

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\, d\teta .}$

Essendo una curva chiusa, la variazione totale di è zero e quindi l'integrale di è uguale a moltiplicato per la variazione totale di . Pertanto, il numero tortuoso del percorso chiuso attorno all'origine è dato dall'espressione ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \ln(r)}$${\displaystyle {\frac {dz}{z}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}}$.

Più in generale, se è una curva chiusa parametrizzata da , il numero di avvolgimenti di circa , detto anche indice di rispetto a , è definito per complesso come ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\ zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t )-z_{0}}}dt}$.

Questo è un caso speciale della famosa formula integrale di Cauchy .

Alcune delle proprietà di base del numero di avvolgimenti nel piano complesso sono date dal seguente teorema:

Teorema. Sia un percorso chiuso e sia il complemento d'insieme dell'immagine di , cioè . Allora l'indice di rispetto a ,${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$${\displaystyle\Omega}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \Omega:=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{ \frac {d\zeta }{\zeta -z}}}$,

è (i) valore intero, cioè per tutti ; (ii) costante su ogni componente (cioè, massimo sottoinsieme connesso) di ; e (iii) zero se è nella componente illimitata di .${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle z\in \Omega}$${\displaystyle\Omega}$${\displaystyle z}$${\displaystyle\Omega}$

Come immediato corollario, questo teorema fornisce il numero degli avvolgimenti di una traiettoria circolare attorno a un punto . Come previsto, il numero di avvolgimento conta il numero di loop (in senso antiorario) che fa intorno : ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z}$

Corollario. Se è il percorso definito da , allora${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{casi}n,&|za|<r;\\0,&|za|>r.\end{casi}}}$

topologia

In topologia , il numero di avvolgimento è un termine alternativo per il grado di una mappatura continua . In fisica , i numeri tortuosi sono spesso chiamati numeri quantici topologici . In entrambi i casi vale lo stesso concetto.

L'esempio sopra di una curva che si snoda attorno a un punto ha una semplice interpretazione topologica. Il complemento di un punto nel piano è l' omotopia equivalente al cerchio , tale che le mappe dal cerchio a se stesso sono davvero tutto ciò che occorre considerare. Si può dimostrare che ciascuna di tali mappe può essere continuamente deformata (è omotopica a) una delle mappe standard , dove la moltiplicazione nel cerchio è definita identificandola con il cerchio unitario complesso. L'insieme delle classi di omotopia di mappe da un cerchio a uno spazio topologico formano un gruppo , che è chiamato il primo gruppo di omotopia o gruppo fondamentale di quello spazio. Il gruppo fondamentale del cerchio è il gruppo degli interi , Z ; e il numero di avvolgimento di una curva complessa è solo la sua classe di omotopia. ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$

Le mappe dalla 3-sfera a se stessa sono classificate anche da un numero intero chiamato anche numero di avvolgimento o talvolta indice di Pontryagin .

Numero di svolta

Questa curva ha curvatura totale 6 π , girando il numero 3, sebbene abbia solo il numero di avvolgimento 2 intorno a p .

Si può anche considerare il numero di tornanti del percorso rispetto alla tangente del percorso stesso. Come un percorso seguito nel tempo, questo sarebbe il numero di avvolgimento rispetto all'origine del vettore velocità. In questo caso l'esempio illustrato all'inizio di questo articolo ha un numero di avvolgimento pari a 3, perché viene contato il piccolo anello .

Questo è definito solo per cammini immersi (cioè, per cammini differenziabili senza derivate nulle), ed è il grado della mappa di Gauss tangenziale .

Questo è chiamato il tornitura numero , numero di rotazione , indice di rotazione o indice della curva , e può essere calcolata come la curvatura totale diviso per 2 π .

poligoni

Nei poligoni , il numero di rotazione è indicato come densità del poligono . Per i poligoni convessi, e più in generale i poligoni semplici (non autointersecanti), la densità è 1, per il teorema della curva di Jordan . Al contrario, per un poligono a stella regolare { p / q }, la densità è q .

Numero di avvolgimenti ed equazioni del ferromagnete di Heisenberg

Il numero di avvolgimenti è strettamente correlato con le equazioni del ferromagnete di Heisenberg continue (2 + 1)-dimensionali e le sue estensioni integrabili: l' equazione di Ishimori ecc. Le soluzioni delle ultime equazioni sono classificate in base al numero di avvolgimenti o carica topologica ( invariante topologico e/o topologico numero quantico ).

Applicazioni

Visualizzazione dell'algoritmo dei numeri a spirale di Dan Sunday. Un numero di avvolgimento pari a 0 significa che il punto è al di fuori del poligono; altri valori indicano che il punto è all'interno del poligono

Punto nel poligono

Il numero di avvolgimento di un punto rispetto a un poligono può essere utilizzato per risolvere il problema del punto nel poligono (PIP), ovvero può essere utilizzato per determinare se il punto è all'interno del poligono o meno.

Questa può essere una buona alternativa ad altri algoritmi, in quanto non richiede calcoli che coinvolgono angoli o funzioni trigonometriche, ma necessita invece solo di un elenco di bordi che compongono il poligono.

Guarda anche

Riferimenti

link esterno

• Numero di avvolgimento su PlanetMath .