Filtro Sinc - Sinc filter

La funzione sinc normalizzata , la risposta all'impulso del filtro sinc.

La funzione rettangolare , la risposta in frequenza del filtro sinc.

Nel trattamento del segnale , un filtro sinc è un idealizzato filtro che rimuove tutte le componenti di frequenza superiori ad una determinata frequenza di taglio , senza influenzare le frequenze più basse, e ha fase lineare risposta. La risposta all'impulso del filtro è una funzione sinc nel dominio del tempo e la sua risposta in frequenza è una funzione rettangolare .

È un filtro passa-basso "ideale" nel senso della frequenza, fa passare perfettamente le basse frequenze, tagliando perfettamente le alte frequenze; e quindi può essere considerato un filtro da muro di mattoni .

I filtri in tempo reale possono solo approssimare questo ideale, poiché un filtro sinc ideale (noto anche come filtro rettangolare ) non è causale e ha un ritardo infinito, ma si trova comunemente in dimostrazioni o dimostrazioni concettuali, come il teorema di campionamento e il Whittaker– Formula di interpolazione di Shannon .

In termini matematici, la risposta in frequenza desiderata è la funzione rettangolare :

${\ displaystyle H (f) = \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {f} {2B}} \ right) = {\ begin {case} 0, & {\ text {if}} | f |> B, \\ {\ frac {1} {2}}, & {\ text {if}} | f | = B, \\ 1, & {\ text {if}} | f | <B, \ end { case}}}$

dove è una frequenza di taglio arbitraria (nota anche come larghezza di banda ). La risposta all'impulso di un tale filtro è data dalla trasformata di Fourier inversa della risposta in frequenza: ${\ displaystyle B \,}$

${\ displaystyle {\ begin {align} h (t) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {H (f) \} & = \ int _ {- B} ^ {B} \ exp ( 2 \ pi ift) \, df \\ & = 2B \ nome operatore {sinc} (2Bt) \ end {allineato}}}$

dove sinc è la funzione sinc normalizzata .

Poiché il filtro sinc ha una risposta all'impulso infinita in direzioni temporali sia positive che negative, deve essere approssimato per applicazioni del mondo reale (non astratte); al suo posto viene spesso utilizzato un filtro sinc con finestra . Il windowing e il troncamento di un kernel di filtro sinc per utilizzarlo su qualsiasi set di dati pratico del mondo reale riduce le sue proprietà ideali.

Filtri da muro di mattoni

Un filtro elettronico idealizzato , che ha piena trasmissione nella banda passante e completa attenuazione nella banda di arresto, con transizioni brusche, è noto colloquialmente come "filtro a muro di mattoni", in riferimento alla forma della funzione di trasferimento . Il filtro sinc è un filtro passa-basso a muro di mattoni , dal quale si possono facilmente costruire filtri passa-banda a muro di mattoni e filtri passa-alto .

Il filtro passa basso con cutoff brick-wall alla frequenza B _L ha la risposta all'impulso e la funzione di trasferimento data da:

${\ Displaystyle h_ {LPF} (t) = 2B_ {L} \ operatorname {sinc} \ left (2B_ {L} t \ right)}$

${\ displaystyle H_ {LPF} (f) = \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {f} {2B_ {L}}} \ right).}$

Il filtro passa-banda con bordo di banda inferiore B _L e bordo di banda superiore B _H è solo la differenza di due di questi filtri sinc (poiché i filtri sono a fase zero, le loro risposte di ampiezza vengono sottratte direttamente):

${\ Displaystyle h_ {BPF} (t) = 2B_ {H} \ nome operatore {sinc} \ sinistra (2B_ {H} t \ destra) -2B_ {L} \ nome operatore {sinc} \ sinistra (2B_ {L} t \ destra)}$

${\ Displaystyle H_ {BPF} (f) = \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {f} {2B_ {H}}} \ right) - \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {f} {2B_ {L}}} \ right).}$

Il filtro passa-alto con bordo di banda inferiore B _H è solo un filtro trasparente meno un filtro sinc, il che rende chiaro che la funzione delta di Dirac è il limite di un filtro sinc a tempo limitato:

${\ Displaystyle h_ {HPF} (t) = \ delta (t) -2B_ {H} \ operatorname {sinc} \ left (2B_ {H} t \ right)}$

${\ displaystyle H_ {HPF} (f) = 1- \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {f} {2B_ {H}}} \ right).}$

I filtri brick-wall che funzionano in tempo reale non sono fisicamente realizzabili in quanto hanno una latenza infinita (cioè, il suo supporto compatto nel dominio della frequenza forza la sua risposta temporale a non avere supporto compatto, il che significa che è sempre duraturo) e un ordine infinito (cioè, la risposta non può essere espressa come un'equazione differenziale lineare con una somma finita), ma a volte vengono utilizzate implementazioni approssimative e sono spesso chiamate filtri a muro.

Sinc nel dominio della frequenza

Il nome "filtro sinc" viene applicato anche alla forma del filtro che è rettangolare nel tempo e una funzione sinc in frequenza, al contrario del filtro sinc passa basso ideale, che è sinc nel tempo e rettangolare in frequenza. In caso di confusione, ci si può riferire a questi come sinc-in-frequency e sinc-in-time, a seconda del dominio in cui si trova il filtro.

I filtri CIC sinc-in-frequency , tra molte altre applicazioni, sono quasi universalmente utilizzati per decimare gli ADC delta-sigma , poiché sono facili da implementare e quasi ottimali per questo uso.

L'implementazione più semplice di un filtro Sinc-in-frequency è un filtro di media del gruppo, noto anche come filtro accumulate-and-dump. Questo filtro esegue anche una riduzione della velocità dei dati.

Funzione di trasmissione del filtro di un filtro di media del gruppo di 4 campioni

Raccoglie N campioni di dati, li accumula e fornisce il valore dell'accumulatore come output. Così, il fattore di decimazione di questo filtro è N . Può essere modellato come un filtro FIR con tutti i coefficienti N uguali, seguito da un blocco di downsampling N-tempo. La semplicità del filtro, che richiede solo un accumulatore come blocco centrale di elaborazione dei dati, è sventata con forti effetti di aliasing: un N sample filter alias tutti i componenti del segnale attenuati e non attenuati che si trovano sopra alla banda base che vanno da 0 a ( f _S è il campione di input Vota). ${\ textstyle {\ frac {f_ {S}} {2N}}}$${\ textstyle {\ frac {f_ {S}} {2N}}}$

Funzione di trasmissione del filtro di un filtro di media del gruppo di 32 campioni

Un filtro di media di gruppo che elabora N campioni ha N / 2 zeri di trasmissione.
L'immagine "funzione di trasmissione di un filtro di media del gruppo di 16 campioni" mostra come la funzione di trasmissione appare al di sopra della frequenza di Nyquist.

funzione di trasmissione di un filtro di media del gruppo di 16 campioni che lavora su una velocità di trasmissione dati in ingresso di 1kHz, estesa a 4x la frequenza di Nyquist

Stabilità

Il filtro sinc non è stabile BIBO (bounded-input-bounded-output) . Cioè, un input limitato può produrre un output illimitato, perché l'integrale del valore assoluto della funzione sinc è infinito. Un input limitato che produce un output illimitato è sgn (sinc ( t )). Un altro è sin (2 π Bt ) u ( t ), un'onda sinusoidale che inizia al tempo 0, alla frequenza di taglio.

Guarda anche

• Ricampionamento di Lanczos
• Aliasing
• Filtro anti-aliasing

Riferimenti

link esterno

• Filtri digitali a muro di mattoni e deviazioni di fase
• Filtri da muro di mattoni