Teorema di farfalla - Butterfly theorem

Teorema di Butterfly

Il teorema della farfalla è un risultato classico nella geometria euclidea , che può essere affermato come segue:

Sia M il punto medio di un accordo PQ di un cerchio , attraverso il quale sono disegnati altri due accordi AB e CD ; AD e BC intersecano l'accordo PQ in X e Y corrispondentemente. Allora M è il punto medio di XY .

Prova

Dimostrazione del teorema di Butterfly

Una dimostrazione formale del teorema è la seguente: lasciate cadere le perpendicolari XX ′ e XX ″ dal punto X sulle rette AM e DM rispettivamente. Allo stesso modo, lasciate cadere YY ′ e YY ″ dal punto Y perpendicolare alle linee rette BM e CM rispettivamente.

Da

${\ displaystyle \ triangle MXX '\ sim \ triangle MYY',}$

${\ displaystyle {MX \ over MY} = {XX '\ over YY'},}$

${\ displaystyle \ triangle MXX '' \ sim \ triangle MYY '',}$

${\ displaystyle {MX \ over MY} = {XX '' \ over YY ''},}$

${\ displaystyle \ triangle AXX '\ sim \ triangle CYY' ',}$

${\ displaystyle {XX '\ over YY' '} = {AX \ over CY},}$

${\ Displaystyle \ triangle DXX '' \ sim \ triangle BYY ',}$

${\ displaystyle {XX '' \ over YY '} = {DX \ over BY}.}$

Dalle equazioni precedenti e dal teorema degli accordi intersecanti , lo si può vedere

${\ displaystyle \ left ({MX \ over MY} \ right) ^ {2} = {XX '\ over YY'} {XX '' \ over YY ''},}$

${\ displaystyle {} = {AX \ cdot DX \ over CY \ cdot BY},}$

${\ displaystyle {} = {PX \ cdot QX \ over PY \ cdot QY},}$

${\ displaystyle {} = {(PM-XM) \ cdot (MQ + XM) \ over (PM + MY) \ cdot (QM-MY)},}$

${\ displaystyle {} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ over (PM) ^ {2} - (MY) ^ {2}},}$

da PM = MQ .

Così

${\ displaystyle {(MX) ^ {2} \ over (MY) ^ {2}} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ over (PM) ^ {2} - (MY ) ^ {2}}.}$

Moltiplicazioni incrociate nell'ultima equazione,

${\ displaystyle {(MX) ^ {2} \ cdot (PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ cdot (MY) ^ {2}} = {(MY) ^ {2} \ cdot ( PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ cdot (MY) ^ {2}}.}$

Annullamento del termine comune

${\ displaystyle {- (MX) ^ {2} \ cdot (MY) ^ {2}}}$

da entrambi i lati dell'equazione risultante produce

${\ displaystyle {(MX) ^ {2} \ cdot (PM) ^ {2}} = {(MY) ^ {2} \ cdot (PM) ^ {2}},}$

quindi MX = MY , poiché MX, MY e PM sono tutti numeri reali positivi.

Quindi, M è il punto medio di XY .

Esistono altre prove, inclusa una che utilizza la geometria proiettiva.

Storia

La dimostrazione del teorema della farfalla è stata posta come un problema da William Wallace in The Gentlemen's Mathematical Companion (1803). Tre soluzioni furono pubblicate nel 1804 e nel 1805 Sir William Herschel pose nuovamente la questione in una lettera a Wallace. Il Rev. Thomas Scurr fece di nuovo la stessa domanda nel 1814 nel Gentlemen's Diary o Mathematical Repository .

Riferimenti

link esterno

• The Butterfly Theorem at the knot-the-knot
• Un teorema di farfalla migliore al nodo
• Dimostrazione del teorema di Butterfly su PlanetMath
• The Butterfly Theorem di Jay Warendorff, il Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Teorema della farfalla" . MathWorld .