Gioco del caos - Chaos game
In matematica , il termine gioco del caos si riferiva originariamente a un metodo per creare un frattale , utilizzando un poligono e un punto iniziale scelto a caso al suo interno. Il frattale viene creato creando iterativamente una sequenza di punti, a partire dal punto casuale iniziale, in cui ogni punto della sequenza è una data frazione della distanza tra il punto precedente e uno dei vertici del poligono; il vertice è scelto a caso in ogni iterazione. Ripetendo questo processo iterativo un gran numero di volte, selezionando il vertice a caso ad ogni iterazione e gettando via i primi pochi punti della sequenza, spesso (ma non sempre) si produce una forma frattale. Utilizzando un triangolo regolare e il fattore 1/2 si otterrà il triangolo di Sierpinski , mentre la creazione della corretta disposizione con quattro punti e un fattore 1/2 creerà una visualizzazione di un "Sierpinski Tetrahedron", l'analogo tridimensionale del Sierpinski triangolo. Man mano che il numero di punti viene aumentato a un numero N, la disposizione forma un Sierpinski Simplex (N-1) -dimensionale corrispondente .
Il termine è stato generalizzato per riferirsi a un metodo per generare l' attrattore , o il punto fisso , di qualsiasi sistema di funzioni iterate (IFS). Partendo da qualsiasi punto x 0 , le iterazioni successive sono formate come x k + 1 = f r (x k ), dove f r è un membro dell'IFS dato selezionato casualmente per ogni iterazione. Le iterazioni convergono al punto fisso dell'IFS. Ogni volta che x 0 appartiene all'attrattore dell'IFS, tutte le iterazioni x k rimangono all'interno dell'attrattore e, con probabilità 1, formano un insieme denso in quest'ultimo.
Il metodo "gioco del caos" traccia i punti in ordine casuale in tutto l'attrattore. Ciò è in contrasto con altri metodi di disegno dei frattali, che testano ogni pixel sullo schermo per vedere se appartiene al frattale. La forma generale di un frattale può essere tracciata rapidamente con il metodo "gioco del caos", ma può essere difficile tracciare in dettaglio alcune aree del frattale.
Il metodo del "gioco del caos" è menzionato nel gioco Arcadia del 1993 di Tom Stoppard .
Con l'ausilio del "gioco del caos" si può creare un nuovo frattale e mentre si crea il nuovo frattale si possono ottenere alcuni parametri. Questi parametri sono utili per le applicazioni della teoria frattale come la classificazione e l'identificazione. Il nuovo frattale è auto-simile all'originale in alcune caratteristiche importanti come la dimensione frattale.
Se nel "gioco del caos" inizi da ogni vertice e percorri tutti i possibili percorsi che il gioco può prendere, otterrai la stessa immagine di un solo percorso casuale. Tuttavia, è raro che si percorra più di un percorso poiché l'overhead per tenere traccia di ogni percorso rende molto più lento il calcolo. Questo metodo ha i vantaggi di illustrare come si forma il frattale in modo più chiaro rispetto al metodo standard, oltre ad essere deterministico.
Gioco di caos limitato
Se il gioco del caos viene eseguito con un quadrato, non appare alcun frattale e l'interno del quadrato si riempie uniformemente di punti. Tuttavia, se vengono poste delle restrizioni sulla scelta dei vertici, i frattali appariranno nel quadrato. Ad esempio, se il vertice corrente non può essere scelto nell'iterazione successiva, viene visualizzato questo frattale:
Se il vertice corrente non può essere un posto (in senso antiorario) dal vertice scelto in precedenza, appare questo frattale:
Se al punto viene impedito di atterrare su una particolare regione del quadrato, la forma di quella regione verrà riprodotta come un frattale in altre parti apparentemente libere del quadrato. Ecco, ad esempio, il frattale prodotto quando il punto non può saltare in modo da atterrare su un simbolo Om rosso al centro del quadrato:
- Altre restrizioni creano ulteriori frattali:
Un punto all'interno di un quadrato salta ripetutamente la metà della distanza verso un vertice scelto a caso, ma il vertice attualmente scelto non può trovarsi a 2 posti dal vertice scelto in precedenza.
Un punto all'interno di un quadrato salta ripetutamente metà della distanza verso un vertice scelto a caso, ma il vertice attualmente scelto non può essere adiacente al vertice scelto in precedenza se i due vertici scelti in precedenza sono gli stessi.
Un punto all'interno di un pentagono salta ripetutamente la metà della distanza verso un vertice scelto a caso, ma il vertice attualmente scelto non può essere lo stesso del vertice scelto in precedenza.
Un punto all'interno di un pentagono salta ripetutamente metà della distanza verso un vertice scelto a caso, ma il vertice attualmente scelto non può essere adiacente al vertice scelto in precedenza se i due vertici scelti in precedenza sono gli stessi.
Salti diversi da 1/2
Quando la lunghezza del salto verso un vertice o un altro punto non è 1/2, il gioco del caos genera altri frattali, alcuni dei quali molto noti. Ad esempio, quando il salto è 2/3 e il punto può anche saltare verso il centro del quadrato, il gioco del caos genera il frattale Vicsek :
Quando il salto è 2/3 e il punto può saltare anche verso i punti medi dei quattro lati, il gioco del caos genera il tappeto Sierpinski :
Quando il salto è 1 / phi e il punto salta a caso verso l'uno o l'altro dei cinque vertici di un pentagono regolare, il gioco del caos genera un n-flake pentagonale :
Guarda anche
link esterno
- Simulazioni di giochi di caos realizzati con Scratch .
- Spiegazione del gioco del caos su beltoforion.de.