problema di Keplero - Kepler problem
In meccanica classica , il problema di Keplero è un caso speciale del problema dei due corpi, in cui i due corpi interagiscono mediante una forza centrale F che varia in forza come l' inverso del quadrato della distanza r tra loro. La forza può essere attrattiva o repulsiva. Il problema è trovare la posizione o la velocità dei due corpi nel tempo date le loro masse , posizioni e velocità . Usando la meccanica classica, la soluzione può essere espressa come un'orbita di Keplero usando sei elementi orbitali .
Il problema di Keplero prende il nome da Johannes Kepler , che propose le leggi del moto planetario di Keplero (che fanno parte della meccanica classica e risolsero il problema delle orbite dei pianeti) e studiò i tipi di forze che avrebbero provocato orbite che obbediscono a quelle leggi (chiamate problema inverso di Keplero ).
Per una discussione del problema di Keplero specifico per le orbite radiali, vedere Traiettoria radiale . La relatività generale fornisce soluzioni più accurate al problema dei due corpi, specialmente in forti campi gravitazionali .
Applicazioni
Il problema di Keplero si pone in molti contesti, alcuni al di là della fisica studiata dallo stesso Keplero. Il problema di Keplero è importante nella meccanica celeste , poiché la gravità newtoniana obbedisce a una legge dell'inverso del quadrato . Gli esempi includono un satellite che si muove intorno a un pianeta, un pianeta intorno al suo sole o due stelle binarie l'una intorno all'altra. Il problema di Keplero è importante anche nel moto di due particelle cariche, poiché anche la legge dell'elettrostatica di Coulomb obbedisce a una legge dell'inverso del quadrato . Gli esempi includono l' atomo di idrogeno , il positronio e il muonio , che hanno tutti svolto ruoli importanti come sistemi modello per testare teorie fisiche e misurare le costanti della natura.
Il problema di Keplero e il problema dell'oscillatore armonico semplice sono i due problemi fondamentali della meccanica classica . Sono gli unici due problemi che hanno orbite chiuse per ogni possibile insieme di condizioni iniziali, cioè ritornano al punto di partenza con la stessa velocità ( teorema di Bertrand ). Il problema di Keplero è stato spesso utilizzato per sviluppare nuovi metodi nella meccanica classica, come la meccanica lagrangiana , la meccanica hamiltoniana , l' equazione di Hamilton-Jacobi e le coordinate angolo di azione . Il problema di Keplero conserva anche il vettore di Laplace-Runge-Lenz , che da allora è stato generalizzato per includere altre interazioni. La soluzione del problema di Keplero permise agli scienziati di dimostrare che il moto planetario poteva essere spiegato interamente dalla meccanica classica e dalla legge di gravità di Newton ; la spiegazione scientifica del moto planetario ha giocato un ruolo importante nell'introdurre l' Illuminismo .
Definizione matematica
La forza centrale F tra due oggetti varia in forza come l' inverso del quadrato della distanza r tra loro:
dove k è una costante e rappresenta il vettore unitario lungo la linea che li separa. La forza può essere attrattiva ( k <0) o repulsiva ( k > 0). Il potenziale scalare corrispondente è:
Soluzione del problema di Keplero
L'equazione del moto per il raggio di una particella di massa che si muove in un potenziale centrale è data dalle equazioni di Lagrange
- e si conserva il momento angolare . A titolo illustrativo, il primo termine a sinistra è zero per le orbite circolari e la forza applicata verso l'interno è uguale al requisito della forza centripeta , come previsto.
Se L non è zero la definizione di momento angolare consente un cambio di variabile indipendente da a
dando la nuova equazione del moto che è indipendente dal tempo
L'espansione del primo termine è
Questa equazione diventa quasi lineare effettuando il cambio di variabili e moltiplicando entrambi i membri per
Dopo la sostituzione e il riarrangiamento:
Per una legge di forza del quadrato inverso come il potenziale gravitazionale o elettrostatico , il potenziale può essere scritto
L'orbita può essere derivata dall'equazione generale
la cui soluzione è la costante più una sinusoide semplice
dove (l' eccentricità ) e (l' offset di fase ) sono costanti di integrazione.
Questa è la formula generale per una sezione conica che ha un fuoco all'origine; corrisponde a un cerchio , corrisponde a un'ellisse, corrisponde a una parabola e corrisponde a un'iperbole . L'eccentricità è correlata all'energia totale (cfr. il vettore di Laplace-Runge-Lenz )
Il confronto di queste formule mostra che corrisponde a un'ellisse (tutte le soluzioni che sono orbite chiuse sono ellissi), corrisponde a una parabola e corrisponde a un'iperbole . In particolare, per orbite perfettamente circolari (la forza centrale è esattamente uguale alla forza centripeta richiesta , che determina la velocità angolare richiesta per un dato raggio circolare).
Per una forza repulsiva ( k > 0) si applica solo e > 1.
Guarda anche
- Coordinate dell'angolo di azione
- Il teorema di Bertrand
- Equazione di Binet
- Equazione di Hamilton-Jacobi
- Vettore di Laplace–Runge–Lenz
- orbita di Keplero
- Problema di Keplero in relatività generale
- L'equazione di Keplero
- Le leggi del moto planetario di Keplero