Quadrilatero Lambert - Lambert quadrilateral

In geometria , un quadrilatero di Lambert , dal nome di Johann Heinrich Lambert , è un quadrilatero in cui tre dei suoi angoli sono retti. Storicamente, il quarto angolo di un quadrilatero di Lambert era di notevole interesse poiché se si potesse dimostrare che fosse un angolo retto, allora il postulato del parallelo euclideo potrebbe essere dimostrato come un teorema. È ormai noto che il tipo del quarto angolo dipende dalla geometria in cui esiste il quadrilatero. In geometria iperbolica il quarto angolo è acuto , in geometria euclidea è un angolo retto e in geometria ellittica è un angolo ottuso .

Un quadrilatero di Lambert può essere costruito da un quadrilatero di Saccheri unendo i punti medi della base e del vertice del quadrilatero di Saccheri. Questo segmento di linea è perpendicolare sia alla base che alla sommità e quindi una delle due metà del quadrilatero Saccheri è un quadrilatero di Lambert.

Quadrilatero di Lambert in geometria iperbolica

In geometria iperbolica un quadrilatero di Lambert AOBF dove gli angoli sono retti e F è opposto a O , è un angolo acuto e la curvatura = -1 valgono le seguenti relazioni: ${\displaystyle \angolo FAO,\angolo AOB,\angolo OBF}$${\displaystyle \angle AFB}$

${\displaystyle \sinh AF=\sinh OB\cosh BF}$

${\displaystyle\tanh AF=\cosh OA\tanh OB}$

${\displaystyle \sinh BF=\sinh OA\cosh AF}$

${\displaystyle\tanh BF=\cosh OB\tanh OA}$

${\displaystyle\cosh OF=\cosh OA\cosh AF}$

${\displaystyle\cosh OF=\cosh OB\cosh BF}$

${\displaystyle \sin \angle AFB={\frac {\cosh OB}{\cosh AF}}={\frac {\cosh OA}{\cosh BF}}}$

${\ Displaystyle \ cos \ angolo AFB = \ sinh OA \ sinh OB = \ tanh AF \ tanh BF}$

${\displaystyle \cot \angle AFB=\tanh OA\sinh AF=\tanh OB\sinh BF}$

${\displaystyle \sin \angle AOF={\frac {\sinh AF}{\sinh OF}}}$

${\displaystyle \cos \angle AOF={\frac {\tanh OA}{\tanh OF}}}$

${\displaystyle \tan \angle AOF={\frac {\tanh AF}{\sinh OA}}}$

Dove sono le funzioni iperboliche?${\displaystyle \tanh,\cosh,\sinh}$

Esempi

Dominio fondamentale del quadrilatero di Lambert in orbifold *p222

* 3222 simmetria con angolo di 60 gradi su uno dei suoi angoli.

* 4222 simmetria con angolo di 45 gradi su uno dei suoi angoli.

Il quadrilatero di Lambert limite ha 3 angoli retti e un angolo di 0 gradi con un vertice ideale all'infinito, definendo orbifold * 222 simmetria.

Guarda anche

• Geometria non euclidea

Appunti

Riferimenti

• George E. Martin, I fondamenti della geometria e il piano non euclideo , Springer-Verlag, 1975
• MJ Greenberg, Geometrie euclidee e non euclidee: sviluppo e storia , 4a edizione, WH Freeman, 2008.