Geometria non di Archimede - Non-Archimedean geometry

In matematica , la geometria non di Archimede è una qualsiasi delle numerose forme di geometria in cui l' assioma di Archimede è negato. Un esempio di tale geometria è il piano di Dehn . Le geometrie non di Archimede possono, come indica l'esempio, avere proprietà significativamente diverse dalla geometria euclidea .

Ci sono due sensi in cui il termine può essere usato, riferendosi a geometrie su campi che violano uno dei due sensi della proprietà di Archimede (cioè rispetto all'ordine o alla grandezza).

Geometria su un campo ordinato non di Archimede

Il primo significato del termine è la geometria su un campo ordinato non di Archimede , o su un suo sottoinsieme. Il suddetto piano di Dehn prende l'auto-prodotto della porzione finita di un certo campo ordinato non di Archimede basato sul campo delle funzioni razionali . In questa geometria, ci sono differenze significative dalla geometria euclidea; in particolare, ci sono infiniti paralleli a una retta passante per un punto - quindi il postulato delle parallele fallisce - ma la somma degli angoli di un triangolo è ancora un angolo retto.

Intuitivamente, in un tale spazio, i punti su una linea non possono essere descritti dai numeri reali o da un loro sottoinsieme, e esistono segmenti di lunghezza "infinita" o "infinitesimale".

Geometria su un campo di valore non archimedeo

Il secondo senso del termine è la geometria metrica su un campo di valore non archimedeo , o spazio ultrametrico . In un tale spazio risultano ancora più contraddizioni alla geometria euclidea. Ad esempio, tutti i triangoli sono isosceli e le sfere sovrapposte si annidano. Un esempio di tale spazio sono i numeri p-adici .

Intuitivamente, in uno spazio del genere, le distanze non riescono a "sommarsi" o "accumularsi".

Riferimenti

  1. ^ Robin Hartshorne , Geometry: Euclid and beyond (2000), p. 158.
  2. ^ Hilbert, David (1902), I fondamenti della geometria (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR  0116216
  3. ^ Conrad, B. "Diversi approcci alla geometria non di Archimede. In geometria p-adica (lezioni dalla Arizona Winter School 2007). Serie di conferenze dell'Università AMS". Amer. Matematica. Soc., Providence, RI 41 (2008): 78.