Trama Polo-zero - Pole–zero plot

In matematica , elaborazione del segnale e teoria del controllo , un grafico polo-zero è una rappresentazione grafica di una funzione di trasferimento razionale nel piano complesso che aiuta a trasmettere alcune proprietà del sistema come:

Un grafico pole-zero mostra la posizione nel piano complesso dei poli e degli zeri della funzione di trasferimento di un sistema dinamico , come un controller, un compensatore, un sensore, un equalizzatore, un filtro o un canale di comunicazione. Per convenzione, i poli del sistema sono indicati nel grafico da una X mentre gli zeri sono indicati da un cerchio o da una O.

Un grafico polo zero può rappresentare un sistema a tempo continuo (CT) o a tempo discreto (DT). Per un sistema CT, il piano in cui compaiono i poli e gli zeri è il piano s della trasformata di Laplace . In questo contesto, il parametro s rappresenta la frequenza angolare complessa , che è il dominio della funzione di trasferimento CT. Per un sistema DT, il piano è il piano z, dove z rappresenta il dominio della trasformata z .

Sistemi a tempo continuo

In generale, una funzione di trasferimento razionale per un sistema LTI a tempo continuo ha la forma:

H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m} } \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1 }s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}

dove

$B$ e sono polinomi in , $A$ ${\displaystyle}$
$M$ è l'ordine del polinomio numeratore,
$b_{m}$ è l' m -esimo coefficiente del polinomio numeratore,
$N$ è l'ordine del polinomio denominatore, e
$a_{n}$ è l' n -esimo coefficiente del polinomio denominatore.

O M o N o entrambi possono essere zero, ma nei sistemi reali dovrebbe essere che ; altrimenti il guadagno sarebbe illimitato alle alte frequenze. $M\leq N$

Poli e zeri

gli zeri del sistema sono radici del polinomio numeratore:

 $s=\{\beta _{m}|m\in 1,\ldots M\}$  such that  $B(s)|_{s=\beta _{m}}=0$

i poli del sistema sono radici del polinomio denominatore:

 $s=\{\alpha _{n}|n\in 1,\ldots N\}$  such that  $A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0$  .

Regione di convergenza

La regione di convergenza (ROC) per una data funzione di trasferimento CT è un semipiano o una striscia verticale, nessuna delle quali contiene poli. In generale, il ROC non è unico e il particolare ROC in ogni dato caso dipende dal fatto che il sistema sia causale o anticausale.

Se il ROC include l' asse immaginario , il sistema è stabile a input limitato, output limitato (BIBO) .
Se il ROC si estende verso destra dal polo con la parte reale più grande (ma non all'infinito), allora il sistema è causale.
Se il ROC si estende verso sinistra dal polo con la parte reale più piccola (ma non all'infinito negativo), allora il sistema è anti-causale.

Il ROC viene solitamente scelto per includere l'asse immaginario poiché è importante per la maggior parte dei sistemi pratici avere stabilità BIBO .

Esempio

H(s)={25 \over s^{2}+6s+25}

Questo sistema non ha zeri (finiti) e due poli:

s=\alpha _{1}=-3+4j

e

s=\alpha _{2}=-3-4j

Il grafico del polo zero sarebbe:

Si noti che questi due poli sono coniugati complessi , condizione necessaria e sufficiente per avere coefficienti reali nell'equazione differenziale che rappresenta il sistema.

Sistemi a tempo discreto

In generale, una funzione di trasferimento razionale per un sistema LTI a tempo discreto ha la forma:

H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^ {-m}}}} {1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1 }z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2} z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}

dove

$M$ è l'ordine del polinomio numeratore,
$b_{m}$ è l' m -esimo coefficiente del polinomio numeratore,
$N$ è l'ordine del polinomio denominatore, e
$a_{n}$ è l' n -esimo coefficiente f il polinomio denominatore.

O M o N o entrambi possono essere zero.

Poli e zeri

$z=\beta _{m}$ tali che sono gli zeri del sistema $P(z)|_{z=\beta _{m}}=0$
$z=\alpha _{n}$ tali che sono i poli del sistema. $Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0$

Regione di convergenza

La regione di convergenza (ROC) per una data funzione di trasferimento DT è un disco o anello che non contiene poli. In generale, il ROC non è unico e il particolare ROC in ogni dato caso dipende dal fatto che il sistema sia causale o anticausale.

Se il ROC include il cerchio unitario , il sistema è stabile a input limitato, output limitato (BIBO) .
Se il ROC si estende verso l'esterno dal polo con la grandezza maggiore (ma non infinita), allora il sistema ha una risposta all'impulso di lato destro. Se il ROC si estende verso l'esterno dal polo con la più grande grandezza e non c'è polo all'infinito, allora il sistema è causale.
Se il ROC si estende verso l'interno dal polo con la più piccola magnitudine (diversa da zero), allora il sistema è anti-causale.

Il ROC viene solitamente scelto per includere il cerchio unitario poiché è importante per la maggior parte dei sistemi pratici avere stabilità BIBO .

Esempio

Se e sono completamente fattorizzati, la loro soluzione può essere facilmente rappresentata nel piano z . Ad esempio, data la seguente funzione di trasferimento: $P(z)$ $Q(z)$