Z-trasformata - Z-transform

In matematica e nell'elaborazione del segnale , la trasformata Z converte un segnale a tempo discreto , che è una sequenza di numeri reali o complessi , in una rappresentazione complessa nel dominio della frequenza .

Può essere considerato come un equivalente a tempo discreto della trasformata di Laplace . Questa somiglianza è esplorata nella teoria del calcolo su scala temporale .

Storia

L'idea di base ora nota come trasformazione Z era nota a Laplace e fu reintrodotta nel 1947 da W. Hurewicz e altri come un modo per trattare i sistemi di controllo dei dati campionati utilizzati con il radar. Fornisce un modo trattabile per risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficiente costante . E 'stato poi soprannominato "la z-trasformata" da Ragazzini e Zadeh nel gruppo di controllo dei dati campionati presso la Columbia University nel 1952.

La trasformazione Z modificata o avanzata è stata successivamente sviluppata e resa popolare da EI Jury .

L'idea contenuta all'interno della Z-trasformata è anche conosciuta nella letteratura matematica come il metodo di generazione di funzioni che può essere fatto risalire già al 1730 quando fu introdotto da de Moivre in concomitanza con la teoria della probabilità. Da un punto di vista matematico, la trasformata Z può anche essere vista come una serie di Laurent in cui si vede la sequenza di numeri in esame come l'espansione (di Laurent) di una funzione analitica.

Definizione

La trasformata Z può essere definita come una trasformazione unilaterale o bilaterale .

Trasformata Z bilaterale

Il bilaterale o due lati Z-trasformata di un segnale discreto è le serie formali definiti ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$

dove è un intero ed è, in generale, un numero complesso : ${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })}$

dove è la grandezza di , è l' unità immaginaria ed è l' argomento complesso (indicato anche come angolo o fase ) in radianti . ${\displaystyle A}$${\displaystyle z}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \phi}$

Trasformata Z unilaterale

In alternativa, nei casi in cui è definita solo per il solo lato o unilaterale trasformata z è definito come ${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle n\geq 0}$

Nel trattamento del segnale , questa definizione può essere usata per valutare la Z-trasformata di risposta impulso unitario di un tempo discreto sistema causale .

Un esempio importante della trasformata Z unilaterale è la funzione generatrice di probabilità , dove la componente è la probabilità che una variabile casuale discreta assuma il valore , e la funzione è solitamente scritta come in termini di . Le proprietà delle trasformate Z (sotto) hanno interpretazioni utili nel contesto della teoria della probabilità. ${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X(z)}$${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle s=z^{-1}}$

Trasformata Z inversa

L' inversa Z-trasformata è

dove C è un percorso chiuso in senso antiorario che circonda l'origine e interamente nella regione di convergenza (ROC). Nel caso in cui il ROC sia causale (vedi Esempio 2 ), questo significa che il cammino C deve circondare tutti i poli di . ${\displaystyle X(z)}$

Un caso speciale di questo integrale di contorno si verifica quando C è il cerchio unitario. Questo contorno può essere utilizzato quando il ROC include il cerchio unitario, che è sempre garantito quando è stabile, cioè quando tutti i poli sono all'interno del cerchio unitario. Con questo contorno, la trasformata Z inversa si semplifica nella trasformata di Fourier a tempo discreto inversa , o serie di Fourier , dei valori periodici della trasformata Z attorno al cerchio unitario: ${\displaystyle X(z)}$

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}$

La trasformata Z con un intervallo finito di n e un numero finito di valori z uniformemente spaziati può essere calcolata in modo efficiente tramite l'algoritmo FFT di Bluestein . La trasformata discreta di Fourier (DTFT) - da non confondere con la trasformata discreta di Fourier (DFT) - è un caso speciale di tale trasformata Z ottenuta limitando z a giacere sul cerchio unitario.

Regione di convergenza

La regione di convergenza (ROC) è l'insieme dei punti nel piano complesso per cui converge la sommatoria in Z-trasformata.

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \ Giusto\}}$

Esempio 1 (nessun ROC)

Sia x[n] = (0.5) ⁿ . Espandendo x[n] sull'intervallo (−∞, ∞) diventa

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots,0,5^{-3},0,5^{-2},0,5^{-1},1,0,5,0,5^{2},0,5^{3 },\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0,5,0,5^{2},0,5^{3},\cdots \right \}.}$

Guardando la somma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

Pertanto, non esistono valori di z che soddisfano questa condizione.

Esempio 2 (ROC causale)

ROC mostrato in blu, il cerchio unitario come un cerchio grigio punteggiato e il cerchio | z | = 0,5 è mostrato come un cerchio nero tratteggiato

Let (dove u è la funzione gradino di Heaviside ). Espandendo x[n] sull'intervallo (−∞, ∞) diventa ${\displaystyle x[n]=0,5^{n}u[n]\ }$

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0,5,0,5^{2},0,5^{3},\cdots \right\}.}$

Guardando la somma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{ -n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^ 1-1}}}.}$

L'ultima uguaglianza deriva dalla serie geometrica infinita e l'uguaglianza vale solo se |0,5 z ⁻¹ | < 1 che può essere riscritto in termini di z come | z | > 0,5. Quindi, il ROC è | z | > 0,5. In questo caso il ROC è il piano complesso con un disco di raggio 0,5 all'origine "punzonato".

Esempio 3 (ROC anti causale)

ROC mostrato in blu, il cerchio unitario come un cerchio grigio punteggiato e il cerchio | z | = 0,5 è mostrato come un cerchio nero tratteggiato

Let (dove u è la funzione gradino di Heaviside ). Espandendo x[n] sull'intervallo (−∞, ∞) diventa ${\displaystyle x[n]=-(0,5)^{n}u[-n-1]\ }$

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0,5)^{-3},-(0,5)^{-2},-(0,5)^{-1},0,0,0 ,0,\cdots \right\}.}$

Guardando la somma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n} z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{ -1}z}{1-0,5^{-1}z}}=-{\frac {1}{0,5z^{-1}-1}}={\frac {1}{1-0,5z^ 1-1}}}.}$

Usando ancora la serie geometrica infinita , l'uguaglianza vale solo se |0.5 ⁻¹ z | < 1 che può essere riscritto in termini di z come | z | < 0,5. Quindi, il ROC è | z | < 0,5. In questo caso il ROC è un disco centrato nell'origine e di raggio 0,5.

Ciò che differenzia questo esempio dall'esempio precedente è solo il ROC. Questo è intenzionale per dimostrare che il risultato della trasformazione da solo è insufficiente.

Esempi conclusione

Gli esempi 2 e 3 mostrano chiaramente che la trasformata Z X(z) di x[n] è unica quando e solo quando si specifica il ROC. La creazione del grafico polo-zero per il caso causale e anticausale mostra che il ROC per entrambi i casi non include il polo che è a 0,5. Questo si estende ai casi con più poli: il ROC non conterrà mai i poli.

Nell'esempio 2, il sistema causale produce un ROC che include | z | = ∞ mentre il sistema anticausale nell'esempio 3 produce un ROC che include | z | = 0.

ROC mostrato come un anello blu 0,5 < | z | < 0,75

In impianti con più poli è possibile avere un ROC che non includa né | z | = ∞ né | z | = 0. Il ROC crea una banda circolare. Per esempio,

${\displaystyle x[n]=0,5^{n}u[n]-0,75^{n}u[-n-1]}$

ha poli a 0,5 e 0,75. Il ROC sarà 0,5 < | z | < 0,75, che non include né l'origine né l'infinito. Tale sistema è chiamato sistema di causalità mista poiché contiene un termine causale (0.5) ⁿ u [ n ] e un termine anticausale −(0.75) ⁿ u [− n −1].

La stabilità di un sistema può essere determinata anche conoscendo solo il ROC. Se il ROC contiene il cerchio unitario (cioè | z | = 1) allora il sistema è stabile. Nei suddetti sistemi il sistema causale (Esempio 2) è stabile perché | z | > 0,5 contiene il cerchio unitario.

Supponiamo che ci venga fornita una trasformata Z di un sistema senza ROC (cioè un x[n] ambiguo ). Possiamo determinare un unico x[n] purché desideriamo quanto segue:

• Stabilità
• Causalità

Per la stabilità il ROC deve contenere il cerchio unitario. Se abbiamo bisogno di un sistema causale, allora il ROC deve contenere l'infinito e la funzione del sistema sarà una sequenza di lato destro. Se abbiamo bisogno di un sistema anticausale, il ROC deve contenere l'origine e la funzione del sistema sarà una sequenza di lato sinistro. Se abbiamo bisogno sia di stabilità che di causalità, tutti i poli della funzione del sistema devono essere all'interno del cerchio unitario.

L'unico x[n] può quindi essere trovato.

Proprietà

Proprietà della trasformata z

	Dominio del tempo	Z-dominio	Prova	ROC
Notazione	${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}$		${\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}$
Linearità	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{allineato}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2 }(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{ 2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2} X_{2}(z)\end{allineato}}}$	Contiene ROC 1 ∩ ROC 2
Espansione temporale	${\displaystyle x_{K}[n]={\begin{casi}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{casi}}}$ insieme a ${\displaystyle K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}}$	${\displaystyle X(z^{K})}$	${\displaystyle {\begin{allineato}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}x_{K}(n)z^{-n}\\&= \sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z ^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{allineato}}}$	${\displaystyle R^{\frac {1}{K}}}$
Decimazione	${\displaystyle x[Kn]}$	${\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i {\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)}$	ohio-state.edu   o   ee.ic.ac.uk
Ritardo	${\displaystyle x[nk]}$ con e${\displaystyle k>0}$${\displaystyle x:x[n]=0\\forall n<0}$	${\displaystyle z^{-k}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{allineato}Z\{x[nk]\}&=\sum _{n=0}^{\infty}x[nk]z^{-n}\\&=\sum _ {j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=nk\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j] z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&= z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k }X(z)\end{allineato}}}$	ROC, eccetto z = 0 se k > 0 ez = ∞ se k < 0
Anticipo del tempo	${\displaystyle x[n+k]}$ insieme a ${\displaystyle k>0}$	Trasformata Z bilaterale: $${\displaystyle z^{k}X(z)}$$ Trasformata Z unilaterale: $${\displaystyle z^{k}X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]z^{-n}}$$
Prima differenza all'indietro	${\displaystyle x[n]-x[n-1]}$ con x [ n ]=0 per n <0	${\displaystyle (1-z^{-1})X(z)}$		Contiene l'intersezione di ROC di X 1 (z) e z ≠ 0
Prima differenza in avanti	${\displaystyle x[n+1]-x[n]}$	${\displaystyle (z-1)X(z)-zx[0]}$
Inversione del tempo	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X(z^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{allineato}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{ -n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty } x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{allineato}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}}$
Ridimensionamento nel dominio z	${\displaystyle a^{n}x[n]}$	${\displaystyle X(a^{-1}z)}$	${\displaystyle {\begin{allineato}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty } a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{- n}\\&=X(a^{-1}z)\end{allineato}}}$	${\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}$
coniugazione complessa	${\displaystyle x^{*}[n]}$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})}$	${\displaystyle {\begin{allineato}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*} (n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right] ^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\ \&=X^{*}(z^{*})\end{allineato}}}$
parte reale	${\displaystyle \nomeoperatore {Re} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}$
parte immaginaria	${\displaystyle \nomeoperatore {Im} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}$
Differenziazione	${\displaystyle nx[n]}$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{allineato}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}nx(n)z^{-n }\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^ {\infty}x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty}^{\infty}x(n){\frac {d} {dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{allineato}}}$	ROC, se è razionale; ${\displaystyle X(z)}$ ROC possibilmente escludendo il confine, se è irrazionale ${\displaystyle X(z)}$
convoluzione	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{allineato}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(nl)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty } \left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(nl)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l =-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(nl)z^{-n}\right ]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{ n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{allineato} }}$	Contiene ROC 1 ∩ ROC 2
Cross-correlazione	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z) }$		Contiene l'intersezione di ROC di e${\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})}$${\displaystyle X_{2}(z)}$
Accumulo	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{allineato}\sum _{n=-\infty}^{\infty}\sum _{k=-\infty}^{n}x[k]z^{-n}&= \sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X(z)\left(1+ z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&= X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{allineato}}}$
Moltiplicazione	${\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1} \mathrm {d} v}$		-

Teorema di Parseval

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\ pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d } v}$

Teorema del valore iniziale : se x [ n ] è causale, allora

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty}X(z).}$

Teorema del valore finale : se i poli di ( z −1) X ( z ) sono all'interno del cerchio unitario, allora

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

Tabella delle coppie di trasformate Z comuni

Qui:

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{casi}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{casi}}}$

è la funzione step unit (o Heaviside) e

${\displaystyle \delta:n\mapsto \delta [n]={\begin{casi}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{casi}}}$

è la funzione impulso dell'unità di tempo discreto (cfr. funzione delta di Dirac che è una versione a tempo continuo). Le due funzioni vengono scelte insieme in modo che la funzione a gradino unitario sia l'accumulo (totale parziale) della funzione a impulso unitario.

	Segnale, ${\displaystyle x[n]}$	Z-trasformare, ${\displaystyle X(z)}$	ROC
1	${\displaystyle \delta [n]}$	1	tutto z
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}}$	${\displaystyle z\neq 0}$
3	${\displaystyle u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
4	${\displaystyle -u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
5	${\displaystyle nu[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
6	${\displaystyle -nu[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
7	${\displaystyle n^{2}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
8	${\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
9	${\displaystyle n^{3}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
10	${\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
11	${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
12	${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
13	${\displaystyle na^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
14	${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
15	${\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
16	${\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
17	${\displaystyle \left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}$, per intero positivo ${\displaystyle m}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
18	${\displaystyle (-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-nm ]}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}$, per intero positivo ${\displaystyle m}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
19	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{- 2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
20	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2} }}}$	${\displaystyle |z|>1}$
21	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2 }z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
22	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z ^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$

Relazione con la serie di Fourier e la trasformata di Fourier

Per valori di nella regione , nota come cerchio unitario , possiamo esprimere la trasformata in funzione di una singola variabile reale, , definendo . E la trasformata bilaterale si riduce a una serie di Fourier : ${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle z=e^{j\omega }}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n},}$

( Eq.4 )

nota anche come trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) della sequenza. Questo 2 π funzione -periodic è la somma periodica di una trasformata di Fourier , che lo rende uno strumento di analisi ampiamente utilizzato. Per capirlo, sia la trasformata di Fourier di qualsiasi funzione, , i cui campioni ad un certo intervallo, T , sono uguali alla sequenza x[ n ]. Quindi il DTFT della sequenza x [ n ] può essere scritto come segue. ${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty}^{\infty}\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\ text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(fk/T).}$

( Eq.5 )

Quando T ha unità di secondi, ha unità di hertz . Il confronto delle due serie rivela che     è una frequenza normalizzata con unità di radianti per campione . Il valore ω=2 π corrisponde a Hz. Ed ora, con la sostituzione   Eq.4 può essere espresso in termini della trasformata di Fourier, X(•) :${\displaystyle \scriptstyle f}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ omega = 2 \ pi fT}$${\displaystyle \scriptstyle f={\frac {1}{T}}}$${\displaystyle \scriptstyle f={\frac {\omega}{2\pi T}},}$ 

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=- \infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega}{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left( {\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.}$

( Eq.6 )

Al variare del parametro T, i singoli termini dell'Eq.5 si allontanano o si avvicinano lungo l'asse f. In Eq.6 tuttavia, i centri rimangono 2 π a parte, mentre la loro larghezza espandono o contratto. Quando la sequenza x ( nT ) rappresenta la risposta all'impulso di un sistema LTI , queste funzioni sono anche note come risposta in frequenza . Quando la sequenza è periodica, la sua DTFT è divergente a una o più frequenze armoniche e zero a tutte le altre frequenze. Questo è spesso rappresentato dall'uso di funzioni delta di Dirac con variazione di ampiezza alle frequenze armoniche. A causa della periodicità, esiste solo un numero finito di ampiezze uniche, che vengono prontamente calcolate dalla trasformata discreta di Fourier (DFT) molto più semplice . (Vedi DTFT § Dati periodici .) ${\displaystyle x(nT)}$

Relazione con la trasformata di Laplace

Trasformata bilineare

La trasformata bilineare può essere utilizzata per convertire filtri a tempo continuo (rappresentati nel dominio di Laplace) in filtri a tempo discreto (rappresentati nel dominio Z) e viceversa. Viene utilizzata la seguente sostituzione:

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

convertire una funzione nel dominio di Laplace in una funzione nel dominio Z ( trasformazione di Tustin ), o ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle z=e^{sT}\circa {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

dal dominio Z al dominio di Laplace. Attraverso la trasformazione bilineare, il piano s complesso (della trasformata di Laplace) viene mappato sul piano z complesso (della trasformata z). Sebbene questa mappatura sia (necessariamente) non lineare, è utile in quanto mappa l'intero asse del piano s sul cerchio unitario nel piano z. Come tale, la trasformata di Fourier (che è la trasformata di Laplace valutata sull'asse) diventa la trasformata di Fourier a tempo discreto. Ciò presuppone che esista la trasformata di Fourier; cioè, che l' asse è nella regione di convergenza della trasformata di Laplace. ${\displaystyle j\omega}$${\displaystyle j\omega}$${\displaystyle j\omega}$

Trasformazione speciale

Data una trasformata Z unilaterale, X(z), di una funzione campionata nel tempo, la corrispondente trasformata con stelle produce una trasformata di Laplace e ripristina la dipendenza dal parametro di campionamento, T :

${\displaystyle {\bigg.}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

La trasformata inversa di Laplace è un'astrazione matematica nota come funzione campionata a impulsi .

Equazione di differenza lineare costante-coefficiente

L'equazione della differenza di coefficiente costante lineare (LCCD) è una rappresentazione per un sistema lineare basato sull'equazione della media mobile autoregressiva .

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[np]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[nq]\beta _{q}}$

Entrambi i lati dell'equazione sopra possono essere divisi per α ₀ , se non è zero, normalizzando α ₀ = 1 e l'equazione LCCD può essere scritta

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[nq]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[np]\alpha _ {P}.}$

Questa forma dell'equazione LCCD è favorevole per rendere più esplicito che l'uscita "corrente" y[n] è una funzione delle uscite passate y[n−p] , dell'ingresso corrente x[n] e degli ingressi precedenti x[n− q] .

Funzione di trasferimento

Prendendo la Z-trasformata dell'equazione di cui sopra (usando linearità e leggi di time-shifting) si ottiene

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^ {-q}\beta _{q}}$

e riordinando i risultati in

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _ {q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\ beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\ alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

Zeri e poli

Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici (corrispondenti agli zeri di H) e il denominatore ha N radici (corrispondenti ai poli). Riscrivere la funzione di trasferimento in termini di zeri e poli

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z ^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1 })}}}$

dove q _k è il k -esimo zero e p _k è il k -esimo polo. Gli zeri e i poli sono comunemente complessi e quando vengono tracciati sul piano complesso (piano z) viene chiamato grafico polo-zero .

Inoltre, possono esistere anche zeri e poli in z = 0 ez = ∞. Se prendiamo in considerazione questi poli e zeri, nonché zeri e poli di ordine multiplo, il numero di zeri e poli è sempre uguale.

Scomponendo in fattori il denominatore, è possibile utilizzare la scomposizione parziale della frazione , che può quindi essere riconvertita nel dominio del tempo. Ciò comporterebbe la risposta all'impulso e l'equazione di differenza del coefficiente costante lineare del sistema.

Risposta in uscita

Se un tale sistema H(z) è pilotato da un segnale X(z) allora l'uscita è Y(z) = H(z)X(z) . Eseguendo la scomposizione parziale della frazione su Y(z) e quindi prendendo l'inversa Z-trasformata si può trovare l'output y[n] . In pratica, è spesso utile scomporre in modo frazionario prima di moltiplicare quella quantità per z per generare una forma di Y(z) che ha termini con trasformate Z inverse facilmente calcolabili. ${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$

Guarda anche

• Trasformazione Z avanzata
• Trasformata bilineare
• Equazione alle differenze (relazione di ricorrenza)
• Convoluzione discreta
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Risposta all'impulso finita
• Serie di potenze formali
• Funzione generatrice
• Trasformazione della funzione generatrice
• Trasformata di Laplace
• serie Laurent
• Funzione generatrice di probabilità
• Trasformazione stellare
• Zak trasforma
• Regolarizzazione della funzione Zeta

Riferimenti

Ulteriori letture

• Refaat El Attar, Appunti delle lezioni su Z-Transform , Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN  1-4116-1979-X .
• Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed , Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN  0-13-034281-5 .
• Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer (1999). Elaborazione del segnale a tempo discreto, 2a edizione, serie di elaborazione del segnale Prentice Hall. ISBN  0-13-754920-2 .

link esterno

• "Z-transform" , Enciclopedia della matematica , EMS Press , 2001 [1994]
• Inversione numerica della trasformata Z
• Tabella Z-Transform di alcune comuni trasformate di Laplace
• L'ingresso di Mathworld sulla trasformata Z
• Discussioni Z-Transform in Comp.DSP
• Un grafico della relazione tra la trasformata di Laplace piano s e piano Z della trasformata Z
• Una spiegazione basata su video della Z-Transform per gli ingegneri
• Cos'è la trasformazione z?