Spazio Anti-de Sitter - Anti-de Sitter space

In matematica e fisica , lo spazio anti-de Sitter n -dimensionale (AdS _n ) è una varietà Lorentziana massimamente simmetrica con curvatura scalare negativa costante . Lo spazio Anti-de Sitter e lo spazio de Sitter prendono il nome da Willem de Sitter (1872-1934), professore di astronomia all'Università di Leiden e direttore dell'Osservatorio di Leiden . Willem de Sitter e Albert Einstein hanno lavorato insieme a Leida negli anni '20 sulla struttura dello spaziotempo dell'universo.

Le varietà di curvatura costante sono più familiari nel caso di due dimensioni, dove la superficie di una sfera è una superficie di curvatura positiva costante, un piano piano ( euclideo ) è una superficie di curvatura zero costante e un piano iperbolico è una superficie di curvatura negativa costante.

La teoria della relatività generale di Einstein pone lo spazio e il tempo sullo stesso piano, in modo che si consideri la geometria di uno spaziotempo unificato invece di considerare lo spazio e il tempo separatamente. I casi di spaziotempo a curvatura costante sono lo spazio di de Sitter (positivo), lo spazio di Minkowski (zero) e lo spazio anti-de Sitter (negativo). In quanto tali, sono soluzioni esatte delle equazioni di campo di Einstein per un universo vuoto con una costante cosmologica positiva, zero o negativa , rispettivamente.

Lo spazio Anti-de Sitter si generalizza a qualsiasi numero di dimensioni spaziali. In dimensioni superiori, è meglio conosciuto per il suo ruolo nella corrispondenza AdS/CFT , il che suggerisce che è possibile descrivere una forza in meccanica quantistica (come l' elettromagnetismo , la forza debole o la forza forte ) in un certo numero di dimensioni ( per esempio quattro) con una teoria delle stringhe in cui le stringhe esistono in uno spazio anti-de Sitter, con una dimensione aggiuntiva (non compatta).

Spiegazione non tecnica

Questa spiegazione non tecnica definisce innanzitutto i termini utilizzati nel materiale introduttivo di questa voce. Quindi, espone brevemente l'idea di fondo di uno spaziotempo simile alla relatività generale. Quindi discute come lo spazio di de Sitter descrive una variante distinta dello spaziotempo ordinario della relatività generale (chiamato spazio di Minkowski) correlato alla costante cosmologica e come lo spazio anti-de Sitter differisce dallo spazio di de Sitter. Spiega anche che lo spazio Minkowski, lo spazio de Sitter e lo spazio anti-de Sitter, applicati alla relatività generale, possono essere tutti pensati come incorporati in uno spaziotempo piatto a cinque dimensioni. Infine, offre alcuni avvertimenti che descrivono in termini generali come questa spiegazione non tecnica non riesca a catturare tutti i dettagli del concetto matematico.

Termini tecnici tradotti

Una varietà Lorentziana massimamente simmetrica è uno spaziotempo in cui nessun punto nello spazio e nel tempo può essere distinto in alcun modo da un altro, e (essendo Lorentziano) l'unico modo in cui una direzione (o tangente a un percorso in un punto dello spaziotempo) può essere distinto è se è simile allo spazio, alla luce o al tempo. Lo spazio della relatività speciale ( spazio Minkowski ) è un esempio.

Una curvatura scalare costante significa una flessione dello spaziotempo simile alla gravità della relatività generale che ha una curvatura descritta da un singolo numero che è lo stesso ovunque nello spaziotempo in assenza di materia o energia.

Curvatura negativa significa curva iperbolica, come una superficie di sella o la superficie del corno di Gabriel , simile a quella di una campana di tromba . Potrebbe essere descritto come l'"opposto" della superficie di una sfera, che ha una curvatura positiva.

Lo spaziotempo nella relatività generale

La relatività generale è una teoria della natura del tempo, dello spazio e della gravità in cui la gravità è una curvatura dello spazio e del tempo che risulta dalla presenza di materia o energia. Energia e massa sono equivalenti (come espresso nell'equazione E  =  mc ² ). I valori di spazio e tempo possono essere convertiti in unità di tempo o spazio moltiplicando o dividendo il valore per la velocità della luce (ad esempio, secondi per metri al secondo equivalgono a metri).

Un'analogia comune riguarda il modo in cui un tuffo in un foglio piatto di gomma, causato da un oggetto pesante seduto su di esso, influenza il percorso seguito da piccoli oggetti che rotolano nelle vicinanze, facendoli deviare verso l'interno dal percorso che avrebbero seguito se il pesante oggetto è stato assente. Naturalmente, nella relatività generale, sia gli oggetti piccoli che quelli grandi influenzano reciprocamente la curvatura dello spaziotempo.

La forza attrattiva della gravità creata dalla materia è dovuta a una curvatura negativa dello spaziotempo, rappresentata nell'analogia del foglio di gomma dall'immersione curva negativamente (a campana-tromba) nel foglio.

Una caratteristica chiave della relatività generale è che descrive la gravità non come una forza convenzionale come l'elettromagnetismo, ma come un cambiamento nella geometria dello spaziotempo che risulta dalla presenza di materia o energia.

L'analogia usata sopra descrive la curvatura di uno spazio bidimensionale causata dalla gravità nella relatività generale in un superspazio tridimensionale in cui la terza dimensione corrisponde all'effetto della gravità. Un modo geometrico di pensare alla relatività generale descrive geometricamente gli effetti della gravità nello spazio quadridimensionale del mondo reale proiettando quello spazio in un superspazio pentadimensionale con la quinta dimensione corrispondente alla curvatura nello spaziotempo prodotta dalla gravità e dalla gravità effetti simili nella relatività generale.

Di conseguenza, nella relatività generale, la familiare equazione newtoniana della gravità (cioè l'attrazione gravitazionale tra due oggetti è uguale alla costante gravitazionale per il prodotto delle loro masse diviso per il quadrato della distanza tra di loro) è semplicemente un'approssimazione degli effetti gravitazionali visti nella relatività generale. Tuttavia questa approssimazione diventa imprecisa in situazioni fisiche estreme, come velocità relativistiche (luce, in particolare), o masse grandi e molto dense. ${\displaystyle \textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$

Nella relatività generale, la gravità è causata dal fatto che lo spaziotempo è curvo ("distorto"). È un errore comune attribuire la gravità allo spazio curvo; né lo spazio né il tempo hanno un significato assoluto nella relatività. Tuttavia, per descrivere la gravità debole, come sulla terra, è sufficiente considerare la distorsione temporale in un particolare sistema di coordinate. Troviamo la gravità sulla terra molto evidente, mentre la distorsione temporale relativistica richiede strumenti di precisione per essere rilevata. Il motivo per cui non ci rendiamo conto degli effetti relativistici nella nostra vita quotidiana è l'enorme valore della velocità della luce (c =300 000  km/s circa), che ci fa percepire lo spazio e il tempo come entità diverse.

Lo spazio di De Sitter nella relatività generale

Lo spazio di de Sitter implica una variazione della relatività generale in cui lo spaziotempo è leggermente curvo in assenza di materia o energia. Questo è analogo alla relazione tra la geometria euclidea e la geometria non euclidea .

Una curvatura intrinseca dello spaziotempo in assenza di materia o energia è modellata dalla costante cosmologica nella relatività generale. Ciò corrisponde al vuoto che ha una densità di energia e una pressione. Questa geometria spaziotemporale si traduce in geodetiche di tipo temporale inizialmente parallele divergenti, con sezioni di tipo spaziale aventi curvatura positiva.

Spazio anti-de Sitter distinto dallo spazio de Sitter

Uno spazio anti-de Sitter in relatività generale è simile a uno spazio de Sitter , tranne per il segno della curvatura dello spaziotempo cambiato. Nello spazio anti-de Sitter, in assenza di materia o energia, la curvatura delle sezioni di tipo spaziale è negativa, corrispondente a una geometria iperbolica , e le geodetiche inizialmente parallele alla fine si intersecano. Ciò corrisponde a una costante cosmologica negativa , in cui lo stesso spazio vuoto ha densità di energia negativa ma pressione positiva, a differenza del modello ΛCDM standard del nostro universo per il quale le osservazioni di supernove lontane indicano una costante cosmologica positiva corrispondente allo spazio (asintotico) di de Sitter .

In uno spazio anti-de Sitter, come in uno spazio de Sitter, la curvatura spazio-temporale intrinseca corrisponde alla costante cosmologica.

Spazio De Sitter e spazio anti-de Sitter visti come incorporati in cinque dimensioni

Come notato sopra, l'analogia usata sopra descrive la curvatura di uno spazio bidimensionale causata dalla gravità nella relatività generale in uno spazio di immersione tridimensionale che è piatto, come lo spazio di Minkowski della relatività speciale. L'inclusione di spazi de Sitter e anti-de Sitter di cinque dimensioni piatte consente di determinare le proprietà degli spazi incorporati. Le distanze e gli angoli all'interno dello spazio incorporato possono essere determinati direttamente dalle proprietà più semplici dello spazio piatto a cinque dimensioni.

Mentre lo spazio anti-de Sitter non corrisponde alla gravità nella relatività generale con la costante cosmologica osservata, si ritiene che uno spazio anti-de Sitter corrisponda ad altre forze nella meccanica quantistica (come l'elettromagnetismo, la forza nucleare debole e la forza nucleare forte) . Questa è chiamata corrispondenza AdS/CFT .

Avvertenze

Il resto di questo articolo spiega i dettagli di questi concetti con una descrizione matematica e fisica molto più rigorosa e precisa. Le persone non sono adatte a visualizzare le cose in cinque o più dimensioni, ma le equazioni matematiche non sono sfidate allo stesso modo e possono rappresentare concetti a cinque dimensioni in un modo altrettanto appropriato quanto i metodi che le equazioni matematiche usano per descrivere più facilmente visualizzabili a tre e quattro. concetti dimensionali.

C'è un'implicazione particolarmente importante della descrizione matematica più precisa che differisce dalla descrizione euristica basata sull'analogia dello spazio di de Sitter e dello spazio anti-de Sitter di cui sopra. La descrizione matematica dello spazio anti-de Sitter generalizza l'idea di curvatura. Nella descrizione matematica, la curvatura è una proprietà di un punto particolare e può essere separata da una superficie invisibile alla quale si fondono punti curvi nello spaziotempo. Quindi, ad esempio, concetti come singolarità (il più noto dei quali nella relatività generale è il buco nero ) che non possono essere espressi completamente in una geometria del mondo reale, possono corrispondere a stati particolari di un'equazione matematica.

La descrizione matematica completa cattura anche alcune sottili distinzioni fatte nella relatività generale tra dimensioni simili allo spazio e dimensioni simili al tempo.

Definizione e proprietà

Proprio come gli spazi sferici e iperbolici possono essere visualizzati da un'immersione isometrica in uno spazio piatto di una dimensione superiore (come rispettivamente la sfera e la pseudosfera ), lo spazio anti-de Sitter può essere visualizzato come l'analogo lorenziano di una sfera in uno spazio di uno dimensione aggiuntiva. La dimensione extra è simile al tempo. In questo articolo adottiamo la convenzione che la metrica in una direzione simile al tempo è negativa.

Immagine di (1 + 1) spazio -dimensionale anti-de Sitter incorporato in uno spazio piano (1 + 2) -dimensionale. Il t ₁ - e t ₂ -axes giacciono nel piano di simmetria rotazionale, e il x ₁ -axis è normale a tale piano. La superficie incorporata contiene curve chiuse simili al tempo che circondano l' asse x ₁ , sebbene queste possano essere eliminate "srotolando" l'incasso (più precisamente, prendendo la copertura universale).

Lo spazio di segnatura anti-de Sitter ( p , q ) può quindi essere isometricamente incorporato nello spazio con coordinate ( x ₁ , ..., x _p , t ₁ , ..., t _{q +1} ) e la metrica${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q+1}}$

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}dt_{j}^{ 2}}$

come la quasi-sfera

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-\sum _{j=1}^{q+1}t_{j}^{2}=-\alpha ^{2},}$

dove è una costante diversa da zero con dimensioni di lunghezza (il raggio di curvatura ). Questa è una sfera (generalizzata) nel senso che è un insieme di punti per cui la "distanza" (determinata dalla forma quadratica) dall'origine è costante, ma visivamente è un iperboloide , come nell'immagine mostrata. ${\displaystyle\alpha}$

La metrica sullo spazio anti-de Sitter è quella indotta dalla metrica ambientale . Non è degenere e, nel caso di q = 1, ha firma Lorentziana.

Quando q = 0 , questa costruzione fornisce uno spazio iperbolico standard. Il resto della discussione si applica quando q ≥ 1 .

Curve chiuse a tempo e copertura universale

Quando q ≥ 1 , l'immersione sopra ha curve chiuse di tipo tempo ; per esempio, il percorso parametrizzato da e tutte le altre coordinate zero, è una tale curva. Quando q ≥ 2 queste curve sono inerenti alla geometria (non sorprende che ogni spazio con più di una dimensione temporale contenga curve chiuse di tipo temporale), ma quando q = 1 , possono essere eliminate passando allo spazio coprente universale , di fatto "srotolando "l'incorporamento. Una situazione simile si verifica con la pseudosfera , che si arriccia su se stessa sebbene il piano iperbolico non lo faccia; di conseguenza contiene rette autointersecanti (geodetiche) mentre il piano iperbolico no. Alcuni autori definiscono lo spazio anti-de Sitter come equivalente alla stessa quasi-sfera incorporata, mentre altri lo definiscono equivalente alla copertura universale dell'incastonatura. ${\displaystyle t_{1}=\alpha \sin(\tau),t_{2}=\alpha \cos(\tau),}$

simmetrie

Se non si prende la copertura universale, ( p , q ) lo spazio anti-de Sitter ha O( p , q + 1) come suo gruppo di isometria . Se si prende la copertura universale, il gruppo di isometria è una copertura di O( p , q + 1) . Questo è più facilmente comprensibile definendo lo spazio anti-de Sitter come uno spazio simmetrico , usando la costruzione dello spazio quoziente , data di seguito.

Instabilità

La "congettura di instabilità AdS" non dimostrata introdotta dai fisici Piotr Bizon e Andrzej Rostworowski nel 2011 afferma che perturbazioni arbitrariamente piccole di determinate forme in AdS portano alla formazione di buchi neri. Il matematico Georgios Moschidis ha dimostrato che, data la simmetria sferica, la congettura è vera per i casi specifici del sistema di polveri nulle di Einstein con uno specchio interno (2017) e del sistema Vlasov senza massa di Einstein (2018).

Patch coordinate

Un cerotto coordinata copre parte dello spazio dà semispazio coordinatization anti-de Sitter spazio. Il tensore metrico per questa patch è

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{y^{2}}}\left(-dt^{2}+dy^{2}+\sum _{i}dx_{i}^ {2}\destra),}$

con dando la metà dello spazio. Vediamo facilmente che questa metrica è conforme ad uno spaziotempo di Minkowski semispazio piatto. ${\displaystyle y>0}$

Gli intervalli di tempo costanti di questa patch di coordinate sono spazi iperbolici nella metrica del semispazio di Poincaré. Nel limite as , questa metrica del semispazio è conforme alla metrica Minkowski . Pertanto, lo spazio anti-de Sitter contiene uno spazio conforme di Minkowski all'infinito ("infinito" con coordinata y zero in questa patch). ${\displaystyle y\to 0}$${\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}}$

Nello spazio AdS il tempo è periodico e la copertura universale ha un tempo non periodico. La patch di coordinate sopra copre metà di un singolo periodo dello spaziotempo.

Poiché l' infinito conforme di AdS è di tipo temporale , specificare i dati iniziali su un'ipersuperficie di tipo spaziale non determinerebbe l'evoluzione futura in modo univoco ( cioè deterministico) a meno che non vi siano condizioni al contorno associate all'infinito conforme.

La regione del "mezzospazio" dello spazio anti-de Sitter e il suo confine.

Un altro sistema di coordinate comunemente usato che copre l'intero spazio è dato dalle coordinate t e dalle coordinate iperpolari α, θ e φ. ${\displaystyle r\geqslant 0}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(k^{2}r^{2}+1\right)dt^{2}+{\frac {1}{k^{2}r^{2 }+1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

L'immagine adiacente rappresenta la regione del "mezzo spazio" dello spazio anti-de Sitter e il suo confine. L'interno del cilindro corrisponde allo spaziotempo anti-de Sitter, mentre il suo confine cilindrico corrisponde al suo confine conforme. La regione ombreggiata di verde all'interno corrisponde alla regione di AdS coperta dalle coordinate del semispazio ed è delimitata da due iperpiani geodetici nulli, ovvero leggeri; l'area ombreggiata in verde sulla superficie corrisponde alla regione di spazio conforme coperta dallo spazio di Minkowski.

La regione verde ombreggiata copre metà dello spazio AdS e metà dello spaziotempo conforme; le estremità sinistre dei dischi verdi si toccheranno allo stesso modo delle estremità destre.

Come uno spazio omogeneo e simmetrico

Nello stesso modo in cui la 2-sfera

${\displaystyle S^{2}={\frac {\mathrm {O} (3)}{\mathrm {O} (2)}}}$

è un quoziente di due gruppi ortogonali , anti-de Sitter con parità (simmetria riflessiva) e simmetria di inversione temporale può essere visto come un quoziente di due gruppi ortogonali generalizzati

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}={\frac {\mathrm {O} (2,n-1)}{\mathrm {O} (1,n-1)}}}$

mentre AdS senza P o C può essere visto come il quoziente

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}}}$

di gruppi di spin .

Questa formulazione del quoziente dà la struttura di uno spazio omogeneo . L' algebra di Lie del gruppo ortogonale generalizzato è data da matrici ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$${\displaystyle o(1,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v ^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}}$,

dove è una matrice antisimmetrica . Un generatore complementare nell'algebra di Lie di is ${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathrm {o} (2,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix} }.}$

Questi due soddisfano . Il calcolo esplicito della matrice mostra che e . Pertanto, l'anti-de Sitter è uno spazio omogeneo riduttivo e uno spazio simmetrico non riemanniano . ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle [{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle [{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}}$

Una panoramica dello spaziotempo AdS in fisica e delle sue proprietà

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$è una soluzione n -dimensionale per la teoria della gravitazione ad azione di Einstein–Hilbert con costante cosmologica negativa , ( ), ovvero la teoria descritta dalla seguente densità lagrangiana : ${\displaystyle\Lambda}$${\displaystyle \Lambda <0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda)}$,

dove G _{( n )} è la costante gravitazionale nello spaziotempo n -dimensionale. Pertanto, è una soluzione delle equazioni di campo di Einstein :

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,}$

dove è il tensore di Einstein ed è la metrica dello spaziotempo. Introducendo il raggio poiché questa soluzione può essere immersa in uno spaziotempo piatto dimensionale con la metrica in coordinate dal seguente vincolo: ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu}}$${\displaystyle\alpha}$${\textstyle \Lambda ={\frac {-(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle diag(-1,-1,+1,\ldots ,+1)}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})}$

${\displaystyle -X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+\sum _{i=3}^{n+1}X_{i}^{2}=-\alpha ^{ 2}.}$

Coordinate globali

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$è parametrizzato in coordinate globali dai parametri come: ${\displaystyle (\tau,\rho,\theta,\varphi _{1},\cdots,\varphi _{n-3})}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{casi}}}$,

dove parametrizzano una sfera, e in termini di coordinate sono , , e così via. La metrica in queste coordinate è: ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$${\displaystyle S^{n-2}}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \sin \varphi _{n-3}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-3}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-2}}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^ {2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)}$

dove e . Considerando la periodicità del tempo e al fine di evitare curve timelike chiuse (CTC), si dovrebbe adottare la copertura universale . Nel limite ci si può avvicinare al confine di questo spaziotempo comunemente chiamato confine conforme. ${\displaystyle \tau \in [0,2\pi]}$${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \rho \to \infty}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

Con le trasformazioni e possiamo avere la solita metrica in coordinate globali: ${\displaystyle r\equiv\alpha \sinh \rho}$${\displaystyle t\equiv\alpha \tau}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\, d\Omega _{n-2}^{2}}$

dove ${\displaystyle f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

Coordinate di Poincaré

Con la seguente parametrizzazione:

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4 }}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{ \alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1} ={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}- {\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{casi}},}$

la metrica nelle coordinate di Poincaré è: ${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r ^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}}$

in cui . La superficie della codimensione 2 è l'orizzonte di Poincaré Killing e si avvicina al confine dello spaziotempo. Quindi, a differenza delle coordinate globali, le coordinate di Poincaré non coprono tutte le varietà . Utilizzando questa metrica può essere scritto nel modo seguente: ${\displaystyle 0\leq r}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r\to \infty}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)}$

dove . Per la trasformazione si può anche scrivere come: ${\displaystyle x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)}$${\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^ {\mu }\destra).}$

Queste ultime coordinate sono le coordinate che vengono solitamente utilizzate nella corrispondenza AdS/CFT , con il confine di AdS a . ${\displaystyle z\to 0}$

Proprietà geometriche

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$metrico con raggio è uno degli spaziotempi n -dimensionali simmetrici massimi . Ha le seguenti proprietà geometriche: ${\displaystyle\alpha}$

Tensore di curvatura di Riemann

${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\ mu \beta }g_{\nu \alpha })}$

Curvatura Ricci

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {-(n-1)}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$

Curvatura scalare

${\displaystyle R={\frac {-n(n-1)}{\alpha ^{2}}}}$

Riferimenti

• Bengtsson, Ingemar. "Spazio anti-de Sitter" (PDF) . Appunti delle lezioni (da Archive.org) . Archiviato dall'originale (PDF) il 08/03/2018.
• Qingming Cheng (2001) [1994], "Spazio Anti-de Sitter" , Enciclopedia della matematica , EMS Press
• Ellis, GFR ; Hawking, SW (1973), La struttura su larga scala dello spazio-tempo , Cambridge University Press , pp. 131-134
• Francesca, C. (2005). "Il confine conforme dello spazio-tempo anti-de Sitter" (PDF) . Corrispondenza AdS/CFT: metriche di Einstein e loro confini conformi . IRMA lect. Matematica. Teore. Fis. 8 . Zurigo: Eur. Matematica. Soc. pp. 205-216.
• Matsuda, H. (1984). "Una nota su un'immersione isometrica del semispazio superiore nello spazio anti-de Sitter" (PDF) . Giornale di matematica dell'Hokkaido . 13 (2): 123-132. doi : 10.14492/hokmj/1381757712 . Estratto 04/02/2017.
• Lupo, Joseph A. (1967). Spazi di Curvatura Costante . P. 334.

link esterno

• Guida Semplificata agli Spazi de Sitter e anti-de Sitter Un'introduzione pedagogica agli spazi de Sitter e anti-de Sitter. L'articolo principale è semplificato, quasi senza matematica. L'appendice è tecnica e destinata a lettori con conoscenze di fisica o matematica.