Teoria delle stringhe bosoniche - Bosonic string theory

Teoria delle stringhe
Oggetti fondamentali
Corda Stringa cosmica Brane D-brane
Teoria perturbativa
bosonico Superstringa ( Tipo I , Tipo II , Eterotico )
Risultati non perturbativi
S-dualità T-dualità U-dualità M-teoria F-teoria Corrispondenza AdS/CFT
Fenomenologia
Fenomenologia Cosmologia Paesaggio
Matematica
Simmetria speculare Chiaro di luna mostruoso
Concetti correlati Teoria del tutto Teoria del campo conforme Gravità quantistica Supersimmetria supergravità Teoria delle stringhe Twistor N = 4 teoria Yang-Mills supersimmetrica Teoria di Kaluza-Klein Multiverso Principio olografico
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Storia Glossario
v T e

La teoria delle stringhe bosonica è la versione originale della teoria delle stringhe , sviluppata alla fine degli anni '60. È così chiamato perché contiene solo bosoni nello spettro.

Negli anni '80, la supersimmetria fu scoperta nel contesto della teoria delle stringhe e una nuova versione della teoria delle stringhe chiamata teoria delle superstringhe (teoria delle stringhe supersimmetriche) divenne il vero obiettivo. Tuttavia, la teoria delle stringhe bosoniche rimane un modello molto utile per comprendere molte caratteristiche generali della teoria delle stringhe perturbative , e molte difficoltà teoriche delle superstringhe possono già essere trovate nel contesto delle stringhe bosoniche.

I problemi

Sebbene la teoria delle stringhe bosonica abbia molte caratteristiche interessanti, non è un modello fisico praticabile in due aree significative.

Primo, prevede solo l'esistenza di bosoni mentre molte particelle fisiche sono fermioni .

In secondo luogo, predice l'esistenza di un modo della stringa con massa immaginaria , implicando che la teoria ha un'instabilità per un processo noto come " condensazione tachionica ".

Inoltre, la teoria delle stringhe bosoniche in una dimensione spaziotempo generale mostra incongruenze dovute all'anomalia conforme . Ma, come notò per la prima volta Claud Lovelace , in uno spaziotempo di 26 dimensioni (25 dimensioni dello spazio e una del tempo), la dimensione critica per la teoria, l'anomalia si annulla. Questa elevata dimensionalità non è necessariamente un problema per la teoria delle stringhe, perché può essere formulata in modo tale che lungo le 22 dimensioni in eccesso lo spaziotempo sia ripiegato a formare un piccolo toro o altra varietà compatta. Ciò lascerebbe solo le familiari quattro dimensioni dello spaziotempo visibili agli esperimenti a bassa energia. L'esistenza di una dimensione critica in cui l'anomalia si annulla è una caratteristica generale di tutte le teorie delle stringhe.

Tipi di stringhe bosoniche

Esistono quattro possibili teorie delle stringhe bosoniche, a seconda che siano consentite stringhe aperte e se le stringhe abbiano un orientamento specifico . Ricordiamo che una teoria delle stringhe aperte deve includere anche le stringhe chiuse; si può pensare che le stringhe aperte abbiano i loro punti finali fissati su una brana D25 che riempie tutto lo spaziotempo. Un orientamento specifico della stringa significa che sono consentite solo le interazioni corrispondenti a un worldsheet orientabile (ad esempio, due stringhe possono fondersi solo con lo stesso orientamento). Uno schizzo degli spettri delle quattro possibili teorie è il seguente:

Teoria delle stringhe bosoniche	Stati non positivi${\displaystyle M^{2}}$
Aperto e chiuso, orientato	tachione, gravitone , dilatone , tensore antisimmetrico senza massa
Aperto e chiuso, non orientato	tachione, gravitone, dilatatore
Chiuso, orientato	tachione, gravitone, dilatone, tensore antisimmetrico, bosone vettore U(1)
Chiuso, non orientato	tachione, gravitone, dilatatore

Si noti che tutte e quattro le teorie hanno un tachione a energia negativa ( ) e un gravitone senza massa. ${\displaystyle M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}}$

Il resto di questo articolo si applica alla teoria chiusa e orientata, corrispondente a fogli del mondo orientabili e senza confini.

Matematica

Teoria delle perturbazioni integrali di percorso

Stringa bosonica può dirsi definita dal percorso quantizzazione integrale della azione di poljakov :

${\displaystyle I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn} \partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)}$

${\displaystyle x^{\mu}(\xi)}$è il campo sul foglio del mondo che descrive l'incorporamento della stringa nello spaziotempo 25+1; nella formulazione di Polyakov, non è da intendersi come la metrica indotta dall'immersione, ma come un campo dinamico indipendente. è la metrica sullo spaziotempo target, che di solito è considerata la metrica Minkowski nella teoria perturbativa. Sotto una rotazione di Wick , questo è portato a una metrica euclidea . M è il foglio del mondo come varietà topologica parametrizzata dalle coordinate. è la tensione della corda e relativa alla pendenza di Regge come . ${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }}$${\displaystyle\xi}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}}$

${\displaystyle I_{0}}$ha diffeomorfismo e invarianza di Weyl . La simmetria di Weyl viene rotta alla quantizzazione ( Anomalia conforme ) e quindi questa azione deve essere integrata con un controtermine, insieme ad un ipotetico termine puramente topologico, proporzionale alla caratteristica di Eulero :

${\displaystyle I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}}$

La rottura esplicita dell'invarianza di Weyl da parte del controtermine può essere cancellata nella dimensione critica 26.

Le grandezze fisiche sono quindi costruite dalla funzione di partizione (euclidea) e dalla funzione N-punti :

${\displaystyle Z=\sum _{h=0}^{\infty}\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{ \mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])}$

${\displaystyle \left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle = \sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N} }}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu } )}$

La serie perturbativa è espressa come somma su topologie, indicizzate per genere.

La somma discreta è una somma su possibili topologie, che per le stringhe chiuse bosoniche orientabili euclidee sono superfici Riemanniane orientabili compatte e sono quindi identificate da un genere . Viene introdotto un fattore di normalizzazione per compensare il conteggio eccessivo delle simmetrie. Mentre il calcolo della funzione di partizione corrisponde alla costante cosmologica , la funzione N-punti, inclusi gli operatori di vertice, descrive l'ampiezza di scattering delle stringhe. ${\displaystyleh}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle p}$

Il gruppo di simmetria dell'azione riduce infatti drasticamente lo spazio di integrazione ad una varietà finita dimensionale. L' integrale di cammino nella funzione di partizione è a priori una somma su possibili strutture Riemanniane; tuttavia, il quoziente rispetto alle trasformazioni di Weyl permette di considerare solo strutture conformi , cioè classi di equivalenza di metriche sotto le identificazioni di metriche legate da ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )}$

Poiché il foglio del mondo è bidimensionale, esiste una corrispondenza 1-1 tra strutture conformi e strutture complesse . Bisogna ancora quoziente per eliminare i diffeomorfismi. Questo ci lascia con un'integrazione sullo spazio di tutte le possibili strutture complesse modulo diffeomorfismi, che è semplicemente lo spazio dei moduli della data superficie topologica, ed è infatti una varietà complessa finita-dimensionale . Il problema fondamentale delle stringhe bosoniche perturbative diventa quindi la parametrizzazione dello spazio Moduli, che per genere non è banale . ${\displaystyle h\geq 4}$

h = 0

A livello dell'albero, corrispondente al genere 0, la costante cosmologica si annulla: . ${\displaystyle Z_{0}=0}$

La funzione a quattro punti per la diffusione di quattro tachioni è l'ampiezza di Shapiro-Virasoro:

${\displaystyle A_{4}\propto (2\pi)^{26}\delta ^{26}(k){\frac {\Gamma (-1-s/2)\Gamma (-1-t/2 )\Gamma (-1-u/2)}{\Gamma (2+s/2)\Gamma (2+t/2)\Gamma (2+u/2)}}}$

Dove è la quantità di moto totale e , , sono le variabili di Mandelstam . ${\displaystyle k}$${\displaystyle}$${\displaystyle}$${\displaystyle u}$

h = 1

La regione ombreggiata è un possibile dominio fondamentale per il gruppo modulare.

Il genere 1 è il toro e corrisponde al livello a un ciclo . La funzione di partizione è pari a:

${\displaystyle Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2} ^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48 }}$

${\displaystyle \tau}$è un numero complesso con parte immaginaria positiva ; , olomorfo allo spazio dei moduli del toro, è un qualsiasi dominio fondamentale per il gruppo modulare agente sul semipiano superiore , per esempio . è la funzione eta di Dedekind . L'integrando è ovviamente invariante rispetto al gruppo modulare: la misura è semplicemente la metrica di Poincaré che ha PSL(2,R) come gruppo di isometria; anche il resto dell'integrando è invariante in virtù del fatto che è una forma modulare di peso 1/2. ${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac { 1}{2}}\destra\}}$${\displaystyle \eta (\tau)}$${\displaystyle {\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}}$${\displaystyle \tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}}$${\displaystyle \eta (\tau)}$

Questo integrale diverge. Ciò è dovuto alla presenza del tachione ed è correlato all'instabilità del vuoto perturbativo.

Guarda anche

• Nambu-Goto azione
• Azione Polyakov

Appunti

Riferimenti

D'Hoker, Eric & Phong, DH (ottobre 1988). "La geometria della teoria delle perturbazioni delle stringhe". Rev. Mod. Fis . Società di fisica americana. 60 (4): 917–1065. Bibcode : 1988RvMP...60..917D . doi : 10.1103/RevModPhys.60.917 .

Belavin, AA & Knizhnik, VG (febbraio 1986). "Geometria complessa e teoria delle stringhe quantistiche" . ZhETF . 91 (2): 364-390. Bibcode : 1986ZhETF..91..364B .

link esterno

• Quante teorie delle stringhe esistono?
• PIRSA:C09001 - Introduzione alla corda bosonica