Polytope complesso - Complex polytope

In geometria , un politopo complesso è una generalizzazione di un politopo nello spazio reale a una struttura analoga in uno spazio di Hilbert complesso , dove ogni dimensione reale è accompagnata da una dimensione immaginaria .

Un politopo complesso può essere inteso come una raccolta di punti, linee, piani e così via complessi, in cui ogni punto è la giunzione di più linee, ogni linea di più piani e così via.

Esistono definizioni precise solo per i politopi complessi regolari , che sono configurazioni . I politopi complessi regolari sono stati completamente caratterizzati e possono essere descritti utilizzando una notazione simbolica sviluppata da Coxeter .

Sono stati descritti anche alcuni politopi complessi che non sono completamente regolari.

Definizioni e introduzione

La linea complessa ha una dimensione con coordinate reali e un'altra con coordinate immaginarie . Si dice che l'applicazione di coordinate reali a entrambe le dimensioni gli dia due dimensioni rispetto ai numeri reali. Un piano reale, con l'asse immaginario etichettato come tale, è chiamato diagramma di Argand . Per questo motivo a volte viene chiamato il piano complesso. Il 2-spazio complesso (a volte chiamato anche il piano complesso) è quindi uno spazio quadridimensionale sui reali, e così via nelle dimensioni superiori. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}$

Un n -politopo complesso nello spazio n complesso è l'analogo di un n - politopo reale nello spazio n reale .

Non esiste un analogo complesso naturale dell'ordine dei punti su una retta reale (o delle proprietà combinatorie associate). Per questo motivo un politopo complesso non può essere visto come una superficie contigua e non delimita un interno come fa un politopo reale.

Nel caso di politopi regolari , una definizione precisa può essere fatta utilizzando la nozione di simmetria. Per ogni politopo regolare il gruppo di simmetria (qui un gruppo di riflessione complesso , chiamato gruppo di Shephard ) agisce transitivamente sulle bandiere , cioè sulle sequenze annidate di un punto contenuto in una linea contenuta in un piano e così via.

Più completamente, diciamo che una raccolta P di sottospazi affini (o appartamenti ) di uno spazio unitario complesso V di dimensione n è un politopo complesso regolare se soddisfa le seguenti condizioni:

• per ogni −1 ≤ i < j < k ≤ n , se F è un appartamento in P di dimensione i e H è un appartamento in P di dimensione k tale che F ⊂ H allora ci sono almeno due appartamenti G in P di dimensione j tale che F ⊂ G ⊂ H ;
• per ogni i , j tale che −1 ≤ i < j - 2, j ≤ n , se F ⊂ G sono appartamenti di P di dimensioni i , j , allora l'insieme di appartamenti tra F e G è connesso, nel senso che si può passare da qualsiasi membro di questo insieme a qualsiasi altro mediante una sequenza di contenimenti; e
• il sottoinsieme delle trasformazioni unitarie di V che fissano P è transitivo sulle bandiere F ₀ ⊂ F ₁ ⊂… ⊂ F _n di appartamenti di P (con F _i di dimensione i per ogni i ).

(Qui, un piatto di dimensione -1 è inteso come l'insieme vuoto.) Quindi, per definizione, i politopi complessi regolari sono configurazioni nello spazio unitario complesso.

I politopi complessi regolari furono scoperti da Shephard (1952) e la teoria fu ulteriormente sviluppata da Coxeter (1974).

Tre viste del poligono complesso regolare ₄ {4} ₂ ,

Questo complesso poligono ha 8 bordi (linee complessi), classificati come un .. h , e 16 vertici. Quattro vertici giacciono in ogni bordo e due bordi si intersecano in ogni vertice. Nell'immagine a sinistra, i quadrati delineati non sono elementi del politopo ma sono inclusi semplicemente per aiutare a identificare i vertici che si trovano nella stessa linea complessa. Il perimetro ottagonale dell'immagine di sinistra non è un elemento del politopo, ma è un poligono pietrie . Nell'immagine centrale, ogni bordo è rappresentato come una linea reale ei quattro vertici di ciascuna linea possono essere visti più chiaramente.

Uno schizzo prospettico che rappresenta i 16 punti del vertice come grandi punti neri e gli 8 4 bordi come quadrati delimitati all'interno di ciascun bordo. Il percorso verde rappresenta il perimetro ottagonale dell'immagine a sinistra.

Un politopo complesso esiste nello spazio complesso di dimensione equivalente. Ad esempio, i vertici di un poligono complesso sono punti nel piano complesso e i bordi sono linee complesse esistenti come sottospazi (affini) del piano e che si intersecano ai vertici. Pertanto, a un bordo può essere assegnato un sistema di coordinate costituito da un singolo numero complesso. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}$

In un politopo complesso regolare i vertici incidenti sul bordo sono disposti simmetricamente rispetto al loro baricentro , che è spesso usato come origine del sistema di coordinate del bordo (nel caso reale il centroide è solo il punto medio del bordo). La simmetria nasce da una complessa riflessione sul baricentro; questa riflessione lascerà invariata la grandezza di ogni vertice, ma cambierà il suo argomento di una quantità fissa, spostandolo in ordine alle coordinate del vertice successivo. Quindi possiamo assumere (dopo un'opportuna scelta di scala) che i vertici sul bordo soddisfano l'equazione dove p è il numero di vertici incidenti. Pertanto, nel diagramma di Argand del bordo, i punti dei vertici si trovano ai vertici di un poligono regolare centrato sull'origine. ${\ displaystyle x ^ {p} -1 = 0}$

Tre proiezioni reali del poligono complesso regolare 4 {4} 2 sono illustrate sopra, con bordi a, b, c, d, e, f, g, h . Ha 16 vertici, che per chiarezza non sono stati contrassegnati individualmente. Ogni bordo ha quattro vertici e ogni vertice giace su due bordi, quindi ogni bordo incontra altri quattro bordi. Nel primo diagramma, ogni bordo è rappresentato da un quadrato. I lati del quadrato non sono parti del poligono ma sono disegnati esclusivamente per aiutare a mettere in relazione visivamente i quattro vertici. I bordi sono disposti simmetricamente. (Si noti che il diagramma è simile alla proiezione sul piano di B ₄ Coxeter del tesseract , ma è strutturalmente diverso).

Il diagramma centrale abbandona la simmetria ottagonale a favore della chiarezza. Ogni bordo è mostrato come una linea reale e ogni punto di incontro di due linee è un vertice. La connettività tra i vari bordi è evidente.

L'ultimo diagramma dà un'idea della struttura proiettata in tre dimensioni: i due cubi di vertici hanno infatti le stesse dimensioni ma sono visti in prospettiva a distanze diverse nella quarta dimensione.

Polytopes unidimensionali complessi regolari

1-politopi complessi rappresentati nel piano Argand come poligoni regolari per p = 2, 3, 4, 5 e 6, con vertici neri. Il baricentro dei vertici p è mostrato in rosso. I lati dei poligoni rappresentano un'applicazione del generatore di simmetria, mappando ogni vertice alla successiva copia in senso antiorario. Questi lati poligonali non sono elementi di bordo del politopo, poiché un 1-politopo complesso non può avere bordi (spesso è un bordo complesso) e contiene solo elementi di vertice.

Un vero politopo monodimensionale esiste come un segmento chiuso nella linea reale , definito dai suoi due punti finali o vertici nella linea. Il suo simbolo Schläfli è {}. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

Analogamente, un 1-politopo complesso esiste come un insieme di punti vertici p nella retta complessa . Questi possono essere rappresentati come un insieme di punti in un diagramma di Argand ( x , y ) = x + iy . Un politopo monodimensionale complesso regolare _p {} ha p ( p ≥ 2) punti ai vertici disposti in modo da formare un poligono regolare convesso { p } nel piano di Argand. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}$

A differenza dei punti sulla linea reale, i punti sulla linea complessa non hanno un ordine naturale. Quindi, a differenza dei veri politopi, nessun interno può essere definito. Nonostante ciò, i complessi 1-politopi sono spesso disegnati, come qui, come un poligono regolare delimitato nel piano Argand.

Un bordo reale viene generato come linea tra un punto e la sua immagine riflettente attraverso uno specchio. Un ordine di riflessione unitario 2 può essere visto come una rotazione di 180 gradi attorno a un centro. Un bordo è inattivo se il punto generatore si trova sulla linea riflettente o al centro.

Un normale politopo monodimensionale reale è rappresentato da un simbolo Schläfli vuoto {}, o diagramma di Coxeter-Dynkin . Il punto o il nodo del diagramma di Coxeter-Dynkin stesso rappresenta un generatore di riflessioni mentre il cerchio attorno al nodo indica che il punto generatore non è sul riflesso, quindi la sua immagine riflettente è un punto distinto da se stessa. Per estensione, un politopo monodimensionale complesso regolare ha il diagramma di Coxeter-Dynkin${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}$ , per qualsiasi numero intero positivo p , 2 o maggiore, contenente p vertici. p può essere soppresso se è 2. Può anche essere rappresentato da un simbolo Schläfli vuoto _p {},} _p {, {} _p o _p {2} ₁ . L'1 è un segnaposto notazionale, che rappresenta una riflessione inesistente o un generatore di identità del periodo 1. (Un politopo 0, reale o complesso è un punto ed è rappresentato come} {o ₁ {2} ₁ ).

La simmetria è indicata dal diagramma di Coxeter , e in alternativa può essere descritto nella notazione di Coxeter come _p [], [] _p o] _p [, _p [2] ₁ o _p [1] _p . La simmetria è isomorfa al gruppo ciclico , ordine p . I sottogruppi di _p [] sono qualsiasi divisore intero d , _d [], dove d ≥2.

Un generatore di operatori unitari per è visto come una rotazione di 2π / p radianti in senso antiorario e a edge è creato da applicazioni sequenziali di una singola riflessione unitaria. Un generatore di riflessione unitaria per un 1-politopo con p vertici è e ^{2π i / p} = cos (2π / p ) + i sin (2π / p ) . Quando p = 2, il generatore è e ^{π i} = –1, lo stesso di una riflessione puntuale nel piano reale.

In politopi complessi superiori, 1-politopi formano p- bordi. Un 2-bordo è simile a un normale bordo reale, in quanto contiene due vertici, ma non è necessario che esista su una linea reale.

Poligoni complessi regolari

Mentre i politopi 1 possono avere p illimitato , i poligoni complessi regolari finiti, esclusi i poligoni a doppio prisma _p {4} ₂ , sono limitati a elementi a 5 bordi (bordi pentagonali) e gli apeirogoni regolari infiniti includono anche 6 bordi (bordi esagonali) elementi.

Notazioni

Notazione Schläfli modificata di Shephard

Shephard originariamente ideò una forma modificata della notazione di Schläfli per i politopi regolari. Per un poligono delimitato da p _1- bordi, con un p ₂ -set come figura del vertice e gruppo di simmetria generale di ordine g , denotiamo il poligono come p ₁ ( g ) p ₂ .

Il numero di vertici V è quindi g / p ₂ e il numero di archi E è g / p ₁ .

Il poligono complesso illustrato sopra ha otto bordi quadrati ( p ₁ = 4) e sedici vertici ( p ₂ = 2). Da questo possiamo ricavare che g = 32, dando il simbolo Schläfli modificato 4 (32) 2.

Notazione Schläfli modificata riveduta di Coxeter

Una notazione più moderna _{p 1} { q } _{p 2} è dovuta a Coxeter e si basa sulla teoria dei gruppi. Come gruppo di simmetria, il suo simbolo è _{p 1} [ q ] _{p 2} .

Il gruppo di simmetria _{p 1} [ q ] _{p 2} è rappresentato da 2 generatori R ₁ , R ₂ , dove: R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I. Se q è pari, (R ₂ R ₁ ) ^{q / 2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q / 2} . Se q è dispari, (R ₂ R ₁ ) ^{(q-1) / 2} R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q -1) / 2} R ₁ . Quando q è dispari, p ₁ = p ₂ .

Per ₄ [4] ₂ ha R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I, (R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ² .

Per ₃ [5] ₃ ha R ₁ ³ = R ₂ ³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

Diagrammi di Coxeter-Dynkin

Coxeter ha anche generalizzato l'uso dei diagrammi di Coxeter-Dynkin a politopi complessi, ad esempio il poligono complesso _p { q } _r è rappresentato da e il gruppo di simmetria equivalente, _p [ q ] _r , è un diagramma senza anelli . I nodi p e r rappresentano specchi che producono immagini p e r nel piano. I nodi senza etichetta in un diagramma hanno 2 etichette implicite. Ad esempio, un poligono regolare reale è ₂ { q } ₂ o { q } o .

Una limitazione, i nodi collegati da ordini di diramazione dispari devono avere ordini di nodo identici. In caso contrario, il gruppo creerà poligoni "stellati", con elementi sovrapposti. Così e sono normali, mentre è stellato.

12 gruppi di Shephard irriducibili

12 gruppi di Shephard irriducibili con le loro relazioni di indice di sottogruppo. I sottogruppi indice 2 si riferiscono rimuovendo un riflesso reale:
_p [2 q ] ₂ -> _p [ q ] _p , indice 2.
_p [4] _q -> _p [ q ] _p , indice q .

_p [4] ₂ sottogruppi: p = 2,3,4 ...
_p [4] ₂ -> [ p ], indice p
_p [4] ₂ -> _p [] × _p [], indice 2

Coxeter ha enumerato questo elenco di poligoni complessi regolari in formato . Un poligono complesso regolare, _p { q } _r o ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ , ha p- bordi e cifre dei vertici r -gonali . _p { q } _r è un politopo finito se ( p + r ) q > pr ( q -2).

La sua simmetria è scritta come _p [ q ] _r , chiamato un gruppo di Shephard , analogo a un gruppo di Coxeter , pur consentendo anche riflessioni unitarie .

Per i gruppi non stellati, l'ordine del gruppo _p [ q ] _r può essere calcolato come . ${\ Displaystyle g = 8 / q \ cdot (1 / p + 2 / q + 1 / r-1) ^ {- 2}}$

Il numero di Coxeter per _p [ q ] _r è , quindi l'ordine di gruppo può anche essere calcolato come . Un poligono complesso regolare può essere disegnato in proiezione ortogonale con simmetria h -gonale. ${\ displaystyle h = 2 / (1 / p + 2 / q + 1 / r-1)}$${\ displaystyle g = 2h ^ {2} / q}$

Le soluzioni di rango 2 che generano poligoni complessi sono:

Gruppo	G 3 = G ( q , 1,1)	G 2 = G ( p , 1,2)	G 4	G 6	G 5	G 8	G 14	G 9	G 10	G 20	G 16	G 21	G 17	G 18
	2 [ q ] 2 , q = 3,4 ...	p [4] 2 , p = 2,3 ...	3 [3] 3	3 [6] 2	3 [4] 3	4 [3] 4	3 [8] 2	4 [6] 2	4 [4] 3	3 [5] 3	5 [3] 5	3 [10] 2	5 [6] 2	5 [4] 3
Ordine	2 q	2 p 2	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
h	q	2 p	6	12			24			30		60

Soluzioni esclusi con dispari q e diseguale p e r sono: ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ e ₃ [11] ₂ .

Altro intero q con ineguale p e r , creare gruppi stellato con sovrapposizione domini fondamentali: , , , , , e .

Il doppio poligono di _p { q } _r è _r { q } _p . Un poligono della forma _p { q } _p è auto-duale. I gruppi della forma _p [2 q ] ₂ hanno mezza simmetria _p [ q ] _p , quindi un poligono regolare è uguale a quasiregular . Inoltre, poligono regolare con gli stessi ordini di nodi, , hanno una costruzione alternata , consentendo ai bordi adiacenti di essere di due colori diversi.

L'ordine del gruppo, g , viene utilizzato per calcolare il numero totale di vertici e bordi. Avrà vertici g / r e bordi g / p . Quando p = r , il numero di vertici e archi è uguale. Questa condizione è richiesta quando q è dispari.

Generatori di matrici

Il gruppo p [ q ] r , , può essere rappresentato da due matrici:

Nome	R 1	R 2
Ordine	p	r
Matrice	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} e ^ {2 \ pi i / p} & 0 \\ (e ^ {2 \ pi i / p} -1) k & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right ]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & (e ^ {2 \ pi i / r} -1) k \\ 0 & e ^ {2 \ pi i / r} \\\ end {smallmatrix}} \ right ]}$

Con

k = ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {cos ({\ frac {\ pi} {p}} - {\ frac {\ pi} {r}}) + cos ({\ frac {2 \ pi} {q} })} {2 \ sin {\ frac {\ pi} {p}} \ sin {\ frac {\ pi} {r}}}}}}$

Esempi

Nome R 1 R 2 Ordine p q Matrice ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} e ^ {2 \ pi i / p} & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e ^ {2 \ pi i / q} \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	Nome R 1 R 2 Ordine p 2 Matrice ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} e ^ {2 \ pi i / p} & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	Nome R 1 R 2 Ordine 3 3 Matrice ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} {\ frac {-1 + {\ sqrt {3}} i} {2}} & 0 \\ {\ frac {-3 + {\ sqrt {3}} i } {2}} & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & {\ frac {-3 + {\ sqrt {3}} i} {2}} \\ 0 & {\ frac {-1 + {\ sqrt {3}} i} {2}} \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$
Nome R 1 R 2 Ordine 4 4 Matrice ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	Nome R 1 R 2 Ordine 4 2 Matrice ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	Nome R 1 R 2 Ordine 3 2 Matrice ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} {\ frac {-1 + {\ sqrt {3}} i} {2}} & 0 \\ {\ frac {-3 + {\ sqrt {3}} i } {2}} & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$

Enumerazione di poligoni complessi regolari

Coxeter ha enumerato i poligoni complessi nella Tabella III dei Polytopes complessi regolari.

Gruppo	Ordine	Numero di Coxeter	Poligono		Vertici	Bordi		Appunti
G (q, q, 2) 2 [ q ] 2 = [ q ] q = 2,3,4, ...	2 q	q	2 { q } 2		q	q	{}	Poligoni regolari reali Uguale a Uguale a se q pari

Gruppo	Ordine	Numero di Coxeter	Poligono			Vertici	Bordi		Appunti
G ( p , 1,2) p [4] 2 p = 2,3,4, ...	2 p 2	2 p	p (2 p 2 ) 2	p {4} 2		p 2	2 p	p {}	uguale a p {} × p {} o ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come duoprismo p - p
			2 (2 p 2 ) p	2 {4} p		2 p	p 2	{}	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come duopiramide p - p
G (2,1,2) 2 [4] 2 = [4]	8	4		2 {4} 2 = {4}		4	4	{}	uguale a {} × {} o Piazza reale
G (3,1,2) 3 [4] 2	18	6	6 (18) 2	3 {4} 2		9	6	3 {}	uguale a 3 {} × 3 {} o ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come 3-3 duoprismo
			2 (18) 3	2 {4} 3		6	9	{}	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come 3-3 duopiramide
G (4,1,2) 4 [4] 2	32	8	8 (32) 2	4 {4} 2		16	8	4 {}	uguale a 4 {} × 4 {} o ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come 4-4 duoprismo o {4,3,3}
			2 (32) 4	2 {4} 4		8	16	{}	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come 4-4 duopiramide o {3,3,4}
G (5,1,2) 5 [4] 2	50	25	5 (50) 2	5 {4} 2		25	10	5 {}	uguale a 5 {} × 5 {} o ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come 5-5 duoprismo
			2 (50) 5	2 {4} 5		10	25	{}	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come 5-5 duopiramide
G (6,1,2) 6 [4] 2	72	36	6 (72) 2	6 {4} 2		36	12	6 {}	uguale a 6 {} × 6 {} o ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come 6-6 duoprismo
			2 (72) 6	2 {4} 6		12	36	{}	${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come 6-6 duopiramide
G 4 = G (1,1,2) 3 [3] 3 <2,3,3>	24	6	3 (24) 3	3 {3} 3		8	8	3 {}	Configurazione Möbius – Kantor auto-duale, uguale a ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come {3,3,4}
G 6 3 [6] 2	48	12	3 (48) 2	3 {6} 2		24	16	3 {}	uguale a
				3 {3} 2					poligono stellato
			2 (48) 3	2 {6} 3		16	24	{}
				2 {3} 3					poligono stellato
G 5 3 [4] 3	72	12	3 (72) 3	3 {4} 3		24	24	3 {}	auto-duale, come ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come {3,4,3}
G 8 4 [3] 4	96	12	4 (96) 4	4 {3} 4		24	24	4 {}	auto-duale, come ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come {3,4,3}
G 14 3 [8] 2	144	24	3 (144) 2	3 {8} 2		72	48	3 {}	uguale a
				3 {8/3} 2					poligono stellato, uguale a
			2 (144) 3	2 {8} 3		48	72	{}
				2 {8/3} 3					poligono stellato
G 9 4 [6] 2	192	24	4 (192) 2	4 {6} 2		96	48	4 {}	uguale a
			2 (192) 4	2 {6} 4		48	96	{}
				4 {3} 2		96	48	{}	poligono stellato
				2 {3} 4		48	96	{}	poligono stellato
G 10 4 [4] 3	288	24	4 (288) 3	4 {4} 3		96	72	4 {}
		12		4 {8/3} 3					poligono stellato
		24	3 (288) 4	3 {4} 4		72	96	3 {}
		12		3 {8/3} 4					poligono stellato
G 20 3 [5] 3	360	30	3 (360) 3	3 {5} 3		120	120	3 {}	auto-duale, come ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come {3,3,5}
				3 {5/2} 3					auto-duplice, poligono stellato
G 16 5 [3] 5	600	30	5 (600) 5	5 {3} 5		120	120	5 {}	auto-duale, come ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ rappresentazione come {3,3,5}
		10		5 {5/2} 5					auto-duplice, poligono stellato
G 21 3 [10] 2	720	60	3 (720) 2	3 {10} 2		360	240	3 {}	uguale a
				3 {5} 2					poligono stellato
				3 {10/3} 2					poligono stellato, uguale a
				3 {5/2} 2					poligono stellato
			2 (720) 3	2 {10} 3		240	360	{}
				2 {5} 3					poligono stellato
				2 {10/3} 3					poligono stellato
				2 {5/2} 3					poligono stellato
G 17 5 [6] 2	1200	60	5 (1200) 2	5 {6} 2		600	240	5 {}	uguale a
		20		5 {5} 2					poligono stellato
		20		5 {10/3} 2					poligono stellato
		60		5 {3} 2					poligono stellato
		60	2 (1200) 5	2 {6} 5		240	600	{}
		20		2 {5} 5					poligono stellato
		20		2 {10/3} 5					poligono stellato
		60		2 {3} 5					poligono stellato
G 18 5 [4] 3	1800	60	5 (1800) 3	5 {4} 3		600	360	5 {}
		15		5 {10/3} 3					poligono stellato
		30		5 {3} 3					poligono stellato
		30		5 {5/2} 3					poligono stellato
		60	3 (1800) 5	3 {4} 5		360	600	3 {}
		15		3 {10/3} 5					poligono stellato
		30		3 {3} 5					poligono stellato
		30		3 {5/2} 5					poligono stellato

Visualizzazioni di poligoni complessi regolari

I poligoni della forma _p {2 r } _q possono essere visualizzati da q set di colori di p -edge. Ciascun p -edge è visto come un poligono regolare, mentre non esistono facce.

Proiezioni ortogonali 2D di poligoni complessi ₂ { r } _q

I poligoni della forma ₂ {4} _q sono chiamati ortoplessi generalizzati . Condividono i vertici con le duopiramidi 4D q - q , vertici collegati da 2 bordi.

• 

  ₂ {4} ₂ , , con 4 vertici e 4 bordi

• 

  ₂ {4} ₃ , , con 6 vertici e 9 bordi

• 

  ₂ {4} ₄ , , con 8 vertici e 16 bordi

• 

  ₂ {4} ₅ , , con 10 vertici e 25 bordi

• 

  ₂ {4} ₆ , , con 12 vertici e 36 bordi

• 

  ₂ {4} ₇ , , con 14 vertici e 49 bordi

• 

  ₂ {4} ₈ , , con 16 vertici e 64 bordi

• 

  ₂ {4} ₉ , , con 18 vertici e 81 bordi

• 

  ₂ {4} ₁₀ , , con 20 vertici e 100 bordi

Poligoni complessi _p {4} ₂

I poligoni della forma _p {4} ₂ sono chiamati ipercubi generalizzati (quadrati per poligoni). Condividono i vertici con i duoprismi 4D p - p , vertici collegati da archi p. Vertici sono disegnati in verde, e p -edges sono disegnati in colori alternati, rosso e blu. La prospettiva è leggermente distorta affinché le dimensioni dispari spostino i vertici sovrapposti dal centro.

• 

  ₂ {4} ₂ , o , con 4 vertici e 4 2 lati

• 

  ₃ {4} ₂ , o , con 9 vertici e 6 3 lati (triangolari)

• 

  ₄ {4} ₂ , o , con 16 vertici e 8 (quadrati) a 4 bordi

• 

  ₅ {4} ₂ , o , con 25 vertici e 10 (pentagonali) a 5 bordi

• 

  ₆ {4} ₂ , o , con 36 vertici e 12 (esagonali) a 6 bordi

• 

  ₇ {4} ₂ , o , con 49 vertici e 14 (ettagonali) a 7 bordi

• 

  ₈ {4} ₂ , o , con 64 vertici e 16 (ottagonali) a 8 bordi

• 

  ₉ {4} ₂ , o , con 81 vertici e 18 (enneagonali) a 9 bordi

• 

  ₁₀ {4} ₂ , o , con 100 vertici e 20 (decagonali) a 10 bordi

Proiezioni prospettiche 3D di poligoni complessi _p {4} ₂ . I doppi ₂ {4} _p

si vedono aggiungendo vertici all'interno dei bordi e aggiungendo bordi al posto dei vertici.

• 

  ₃ {4} ₂ , o con 9 vertici, 6 3 bordi in 2 set di colori

• 

  ₂ {4} ₃ , con 6 vertici, 9 bordi in 3 set

• 

  ₄ {4} ₂ , o con 16 vertici, 8 4 bordi in 2 set di colori e 4 bordi quadrati riempiti

• 

  ₅ {4} ₂ , o con 25 vertici, 10 5 bordi in 2 set di colori

Altri poligoni complessi _p { r } ₂

• 

  ₃ {6} ₂ , o , con 24 vertici in nero e 16 3 bordi colorati in 2 set di 3 bordi in rosso e blu

• 

  ₃ {8} ₂ , o , con 72 vertici in nero e 48 a 3 bordi colorati in 2 set di 3 bordi in rosso e blu

Proiezioni ortogonali 2D di poligoni complessi, _p { r } _p

I poligoni della forma _p { r } _p hanno lo stesso numero di vertici e bordi. Sono anche auto-duali.

• 

  ₃ {3} ₃ , o , con 8 vertici in nero e 8 3 bordi colorati in 2 set di 3 bordi in rosso e blu

• 

  ₃ {4} ₃ , o , con 24 vertici e 24 3-bordi mostrati in 3 set di colori, un set riempito

• 

  ₄ {3} ₄ , o , con 24 vertici e 24 4 bordi mostrati in 4 set di colori

• 

  ₃ {5} ₃ , o , con 120 vertici e 120 3 lati

• 

  ₅ {3} ₅ , o , con 120 vertici e 120 a 5 bordi

Polytopes complessi regolari

In generale, un politopo complesso regolare è rappresentato da Coxeter come _p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s ... o diagramma di Coxeter …, Avente simmetria _p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _s … o ….

Esistono infinite famiglie di politopi complessi regolari che si verificano in tutte le dimensioni, generalizzando gli ipercubi e i politopi incrociati nello spazio reale. L '"ortotopo generalizzato" di Shephard generalizza l'ipercubo; ha il simbolo dato da γ ^p
_n = _p {4} ₂ {3} ₂ … ₂ {3} ₂ e diagramma ... . Il suo gruppo di simmetria ha il diagramma _p [4] ₂ [3] ₂ … ₂ [3] ₂ ; nella classificazione Shephard-Todd, questo è il gruppo G ( p , 1, n ) che generalizza le matrici di permutazioni con segno. Il suo doppio politopo regolare, il "politopo incrociato generalizzato", è rappresentato dal simbolo β ^p
_n = ₂ {3} ₂ {3} ₂ … ₂ {4} _pe diagramma ... .

Un politopo complesso regolare unidimensionale in è rappresentato come ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}$ , avente p vertici, con la sua rappresentazione reale un poligono regolare , { p }. Coxeter gli dà anche il simbolo γ ^p
₁ o β ^p
₁ come ipercubo generalizzato monodimensionale o politopo incrociato. La sua simmetria è _p [] o , un gruppo ciclico di ordine p . In un politopo superiore, _p {} o rappresenta un elemento p -edge, con 2-edge, {} o , che rappresenta un normale bordo reale tra due vertici.

Un politopo complesso duale viene costruito scambiando k e ( n -1- k ) -elementi di un n -politopo. Ad esempio, un poligono doppio complesso ha vertici centrati su ciascun bordo e i nuovi bordi sono centrati sui vecchi vertici. Un vertice di v -valence crea un nuovo v -edge e gli e- edge diventano vertici di e -valence. Il duale di un politopo complesso regolare ha un simbolo invertito. Polytopes complessi regolari con simboli simmetrici, cioè _p { q } _p , _p { q } _r { q } _p , _p { q } _r { s } _r { q } _p , ecc. Sono auto duali .

Enumerazione di poliedri complessi regolari

Alcuni classificano 3 gruppi di Shephard con i loro ordini di gruppo e le relazioni di sottogruppo riflessive

Coxeter ha enumerato questo elenco di poliedri complessi regolari non stellati in , inclusi i 5 solidi platonici in . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Un poliedro complesso regolare, _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r o , ha facce, bordi e figure dei vertici .

Un poliedro regolare complesso _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r richiede che sia g ₁ = ordine ( _p [ n ₁ ] _q ) sia g ₂ = ordine ( _q [ n ₂ ] _r ) siano finiti.

Dato g = ordine ( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r ), il numero di vertici è g / g ₂ e il numero di facce è g / g ₁ . Il numero di bordi è g / pr .

Spazio	Gruppo	Ordine	Numero di Coxeter	Poligono		Vertici	Bordi		Facce		Figura del vertice	Poligono di Van Oss	Appunti
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	G (1,1,3) 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3]	24	4	α 3 = 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3}		4	6	{}	4	{3}	{3}	nessuna	Tetraedro reale Uguale a
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	G 23 2 [3] 2 [5] 2 = [3,5]	120	10	2 {3} 2 {5} 2 = {3,5}		12	30	{}	20	{3}	{5}	nessuna	Vero icosaedro
				2 {5} 2 {3} 2 = {5,3}		20	30	{}	12	{5}	{3}	nessuna	Dodecaedro reale
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	G (2,1,3) 2 [3] 2 [4] 2 = [3,4]	48	6	β 2 3 = β 3 = {3,4}		6	12	{}	8	{3}	{4}	{4}	Ottaedro reale Uguale a {} + {} + {}, ordine 8 Uguale a , ordine 24
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$				γ 2 3 = γ 3 = {4,3}		8	12	{}	6	{4}	{3}	nessuna	Cubo reale Uguale a {} × {} × {} o
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	G (p, 1,3) 2 [3] 2 [4] p p = 2,3,4, ...	6 p 3	3 p	β p 3 = 2 {3} 2 {4} p		3 p	3 p 2	{}	p 3	{3}	2 {4} p	2 {4} p	Ottaedro generalizzato Uguale a p {} + p {} + p {}, ordine p 3 Uguale a , ordina 6 p 2
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$				γ p 3 = p {4} 2 {3} 2		p 3	3 p 2	p {}	3 p	p {4} 2	{3}	nessuna	Cubo generalizzato Uguale a p {} × p {} × p {} o
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	G (3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	β 3 3 = 2 {3} 2 {4} 3		9	27	{}	27	{3}	2 {4} 3	2 {4} 3	Come 3 {} + 3 {} + 3 {}, ordina 27 Come , ordine 54
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$				γ 3 3 = 3 {4} 2 {3} 2		27	27	3 {}	9	3 {4} 2	{3}	nessuna	Uguale a 3 {} × 3 {} × 3 {} o
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	G (4,1,3) 2 [3] 2 [4] 4	384	12	β 4 3 = 2 {3} 2 {4} 4		12	48	{}	64	{3}	2 {4} 4	2 {4} 4	Uguale a 4 {} + 4 {} + 4 {}, ordina 64 Uguale a , ordine 96
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$				γ 4 3 = 4 {4} 2 {3} 2		64	48	4 {}	12	4 {4} 2	{3}	nessuna	Uguale a 4 {} × 4 {} × 4 {} o
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	G (5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	15	β 5 3 = 2 {3} 2 {4} 5		15	75	{}	125	{3}	2 {4} 5	2 {4} 5	Uguale a 5 {} + 5 {} + 5 {}, ordina 125 Uguale a , ordina 150
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$				γ 5 3 = 5 {4} 2 {3} 2		125	75	5 {}	15	5 {4} 2	{3}	nessuna	Uguale a 5 {} × 5 {} × 5 {} o
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	G (6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	18	β 6 3 = 2 {3} 2 {4} 6		36	108	{}	216	{3}	2 {4} 6	2 {4} 6	Come 6 {} + 6 {} + 6 {}, ordina 216 Come , ordina 216
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$				γ 6 3 = 6 {4} 2 {3} 2		216	108	6 {}	18	6 {4} 2	{3}	nessuna	Uguale a 6 {} × 6 {} × 6 {} o
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$	G 25 3 [3] 3 [3] 3	648	9	3 {3} 3 {3} 3		27	72	3 {}	27	3 {3} 3	3 {3} 3	3 {4} 2	Uguale a . rappresentazione come 2 21 poliedro dell'Assia ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}$
	G 26 2 [4] 3 [3] 3	1296	18	2 {4} 3 {3} 3		54	216	{}	72	2 {4} 3	3 {3} 3	{6}
				3 {3} 3 {4} 2		72	216	3 {}	54	3 {3} 3	3 {4} 2	3 {4} 3	Uguale a ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}$ rappresentazione come 1 22

Visualizzazioni di poliedri complessi regolari

Proiezioni ortogonali 2D di poliedri complessi, _p { s } _t { r } _r

• 

  Reale {3,3} , o ha 4 vertici, 6 bordi e 4 facce

• 

  ₃ {3} ₃ {3} ₃ , o , ha 27 vertici, 72 3 bordi e 27 facce, con una faccia evidenziata in blu.

• 

  ₂ {4} ₃ {3} ₃ , ha 54 vertici, 216 spigoli semplici e 72 facce, con una faccia evidenziata in blu.

• 

  ₃ {3} ₃ {4} ₂ , o , ha 72 vertici, 216 a 3 lati e 54 vertici, con una faccia evidenziata in blu.

Ottaedri generalizzati

Gli ottaedri generalizzati hanno una costruzione regolare come e forma quasiregolare come . Tutti gli elementi sono semplici .

• 

  Reale {3,4} , o , con 6 vertici, 12 bordi e 8 facce

• 

  ₂ {3} ₂ {4} ₃ , o , con 9 vertici, 27 bordi e 27 facce

• 

  ₂ {3} ₂ {4} ₄ , o , con 12 vertici, 48 bordi e 64 facce

• 

  ₂ {3} ₂ {4} ₅ , o , con 15 vertici, 75 bordi e 125 facce

• 

  ₂ {3} ₂ {4} ₆ , o , con 18 vertici, 108 bordi e 216 facce

• 

  ₂ {3} ₂ {4} ₇ , o , con 21 vertici, 147 bordi e 343 facce

• 

  ₂ {3} ₂ {4} ₈ , o , con 24 vertici, 192 bordi e 512 facce

• 

  ₂ {3} ₂ {4} ₉ , o , con 27 vertici, 243 bordi e 729 facce

• 

  ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , o , con 30 vertici, 300 bordi e 1000 facce

Cubi generalizzati

I cubi generalizzati hanno una costruzione regolare come e costruzione prismatica come , un prodotto di tre 1 politopi p -gonali. Gli elementi sono cubi generalizzati di dimensione inferiore.

• 

  Reale {4,3} , o ha 8 vertici, 12 bordi e 6 facce

• 

  ₃ {4} ₂ {3} ₂ , o ha 27 vertici, 27 3 lati e 9 facce

• 

  ₄ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 64 vertici, 48 bordi e 12 facce

• 

  ₅ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 125 vertici, 75 bordi e 15 facce

• 

  ₆ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 216 vertici, 108 bordi e 18 facce

• 

  ₇ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 343 vertici, 147 bordi e 21 facce

• 

  ₈ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 512 vertici, 192 bordi e 24 facce

• 

  ₉ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 729 vertici, 243 bordi e 27 facce

• 

  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ , o , con 1000 vertici, 300 bordi e 30 facce

Enumerazione di 4 politopi complessi regolari

Coxeter ha enumerato questo elenco di 4-politopi complessi regolari non stellati in , inclusi i 6 4-politopi regolari convessi in . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Spazio	Gruppo	Ordine	Numero di Coxeter	Polytope	Vertici	Bordi	Facce	Cellule	Poligono di Van Oss	Appunti
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	G (1,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3,3]	120	5	α 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3,3}	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	nessuna	5 celle reali (simplex)
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	G 28 2 [3] 2 [4] 2 [3] 2 = [3,4,3]	1152	12	2 {3} 2 {4} 2 {3} 2 = {3,4,3}	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	24 celle reali
	G 30 2 [3] 2 [3] 2 [5] 2 = [3,3,5]	14400	30	2 {3} 2 {3} 2 {5} 2 = {3,3,5}	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{10}	600 celle reali
				2 {5} 2 {3} 2 {3} 2 = {5,3,3}	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}		120 celle reali
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	G (2,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p = [3,3,4]	384	8	β 2 4 = β 4 = {3,3,4}	8	24 {}	32 {3}	16 {3,3}	{4}	16 celle reali Come , ordine 192
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$				γ 2 4 = γ 4 = {4,3,3}	16	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	nessuna	Real tesseract Uguale a {} 4 o , ordine 16
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	G (p, 1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p p = 2,3,4, ...	24 p 4	4 p	β p 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} p	4 p	6 p 2 {}	4 p 3 {3}	p 4 {3,3}	2 {4} p	4- orthoplex generalizzato Uguale a , ordina 24 p 3
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$				γ p 4 = p {4} 2 {3} 2 {3} 2	p 4	4 p 3 p {}	6 p 2 p {4} 2	4 p p {4} 2 {3} 2	nessuna	Tesseract generalizzato Uguale a p {} 4 o , ordine p 4
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	G (3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	1944	12	β 3 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	2 {4} 3	4- orthoplex generalizzato Uguale a , ordine 648
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$				γ 3 4 = 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2	81	108 3 {}	54 3 {4} 2	12 3 {4} 2 {3} 2	nessuna	Uguale a 3 {} 4 o , ordine 81
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	G (4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	6144	16	β 4 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4	16	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	2 {4} 4	Uguale a , ordine 1536
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$				γ 4 4 = 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2	256	256 4 {}	96 4 {4} 2	16 4 {4} 2 {3} 2	nessuna	Uguale a 4 {} 4 o , ordine 256
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	G (5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	15000	20	β 5 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5	20	150 {}	500 {3}	625 {3,3}	2 {4} 5	Uguale a , ordina 3000
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$				γ 5 4 = 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2	625	500 5 {}	150 5 {4} 2	20 5 {4} 2 {3} 2	nessuna	Uguale a 5 {} 4 o , ordina 625
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	G (6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	31104	24	β 6 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	2 {4} 6	Uguale a , ordina 5184
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$				γ 6 4 = 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2	1296	864 6 {}	216 6 {4} 2	24 6 {4} 2 {3} 2	nessuna	Uguale a 6 {} 4 o , ordine 1296
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {4}}$	G 32 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3	155520	30	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	240	2160 3 {}	2160 3 {3} 3	240 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 3	Witting polytope rappresentazione come 4 21 ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$

Visualizzazioni di 4 politopi complessi regolari

• 

  Reale {3,3,3} , , aveva 5 vertici, 10 bordi, 10 {3} facce e 5 {3,3} celle

• 

  Reale {3,4,3} , , aveva 24 vertici, 96 bordi, 96 {3} facce e 24 {3,4} celle

• 

  Reale {5,3,3} , , aveva 600 vertici, 1200 bordi, 720 {5} facce e 120 {5,3} celle

• 

  Reale {3,3,5} , , aveva 120 vertici, 720 bordi, 1200 {3} facce e 600 {3,3} celle

• 

  Witting polytope , , ha 240 vertici, 2160 3 lati, 2160 3 {3} 3 facce e 240 3 {3} 3 {3} 3 celle

4-ortoplessi generalizzati

I 4-orthoplex generalizzati hanno una costruzione regolare come e forma quasiregolare come . Tutti gli elementi sono semplici .

• 

  Reale {3,3,4} , o , con 8 vertici, 24 bordi, 32 facce e 16 celle

• 

  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ , o , con 12 vertici, 54 bordi, 108 facce e 81 celle

• 

  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ , o , con 16 vertici, 96 bordi, 256 facce e 256 celle

• 

  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ , o , con 20 vertici, 150 bordi, 500 facce e 625 celle

• 

  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ , o , con 24 vertici, 216 bordi, 864 facce e 1296 celle

• 

  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ , o , con 28 vertici, 294 bordi, 1372 facce e 2401 celle

• 

  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ , o , con 32 vertici, 384 bordi, 2048 facce e 4096 celle

• 

  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ , o , con 36 vertici, 486 bordi, 2916 facce e 6561 celle

• 

  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , o , con 40 vertici, 600 bordi, 4000 facce e 10000 celle

4 cubi generalizzati

I tesseratti generalizzati hanno una costruzione regolare come e costruzione prismatica come , un prodotto di quattro 1 politopi p -gonali. Gli elementi sono cubi generalizzati di dimensione inferiore.

• 

  Reale {4,3,3} , o , con 16 vertici, 32 bordi, 24 facce e 8 celle

• 

  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 81 vertici, 108 bordi, 54 facce e 12 celle

• 

  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 256 vertici, 96 bordi, 96 facce e 16 celle

• 

  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 625 vertici, 500 bordi, 150 facce e 20 celle

• 

  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 1296 vertici, 864 bordi, 216 facce e 24 celle

• 

  ₇ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 2401 vertici, 1372 bordi, 294 facce e 28 celle

• 

  ₈ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 4096 vertici, 2048 bordi, 384 facce e 32 celle

• 

  ₉ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 6561 vertici, 2916 bordi, 486 facce e 36 celle

• 

  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , o , con 10000 vertici, 4000 bordi, 600 facce e 40 celle

Enumerazione di 5 politopi complessi regolari

I 5 politopi complessi regolari in o superiori esistono in tre famiglie, i simplex reali e l' ipercubo generalizzato e l' ortoplessia . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$

Spazio	Gruppo	Ordine	Polytope	Vertici	Bordi	Facce	Cellule	4 facce	Poligono di Van Oss	Appunti
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$	G (1,1,5) = [3,3,3,3]	720	α 5 = {3,3,3,3}	6	15 {}	20 {3}	15 {3,3}	6 {3,3,3}	nessuna	5-simplex reale
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$	G (2,1,5) = [3,3,3,4]	3840	β 2 5 = β 5 = {3,3,3,4}	10	40 {}	80 {3}	80 {3,3}	32 {3,3,3}	{4}	5-orthoplex reale Uguale a , ordine 1920
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$			γ 2 5 = γ 5 = {4,3,3,3}	32	80 {}	80 {4}	40 {4,3}	10 {4,3,3}	nessuna	5 cubi reali Uguale a {} 5 o , ordine 32
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$	G (p, 1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p	120 p 5	β p 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} p	5 p	10 p 2 {}	10 p 3 {3}	5 p 4 {3,3}	p 5 {3,3,3}	2 {4} p	5-orthoplex generalizzato Uguale a , ordina 120 p 4
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$			γ p 5 = p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	p 5	5 p 4 p {}	10 p 3 p {4} 2	10 p 2 p {4} 2 {3} 2	5 p p {4} 2 {3} 2 {3} 2	nessuna	5 cubi generalizzati Uguale a p {} 5 o , ordine p 5
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$	G (3,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	29160	β 3 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3	15	90 {}	270 {3}	405 {3,3}	243 {3,3,3}	2 {4} 3	Uguale a , ordina 9720
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$			γ 3 5 = 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	243	405 3 {}	270 3 {4} 2	90 3 {4} 2 {3} 2	15 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2	nessuna	Uguale a 3 {} 5 o , ordina 243
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$	G (4,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	122880	β 4 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4	20	160 {}	640 {3}	1280 {3,3}	1024 {3,3,3}	2 {4} 4	Uguale a , ordina 30720
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$			γ 4 5 = 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	1024	1280 4 {}	640 4 {4} 2	160 4 {4} 2 {3} 2	20 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2	nessuna	Uguale a 4 {} 5 o , ordina 1024
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$	G (5,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	375000	β 5 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {5} 5	25	250 {}	1250 {3}	3125 {3,3}	3125 {3,3,3}	2 {5} 5	Uguale a , ordina 75000
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$			γ 5 5 = 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	3125	3125 5 {}	1250 5 {5} 2	250 5 {5} 2 {3} 2	25 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2	nessuna	Uguale a 5 {} 5 o , ordina 3125
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$	G (6,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	933210	β 6 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6	30	360 {}	2160 {3}	6480 {3,3}	7776 {3,3,3}	2 {4} 6	Uguale a , ordina 155520
${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$			γ 6 5 = 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	7776	6480 6 {}	2160 6 {4} 2	360 6 {4} 2 {3} 2	30 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2	nessuna	Uguale a 6 {} 5 o , ordina 7776