Equazione di Duffing - Duffing equation

Una sezione di Poincaré dell'equazione di Duffing forzata che suggerisce un comportamento caotico e .${\displaystyle (\alpha =1,}$ ${\displaystyle \beta =5,}$ ${\displaystyle \delta =0.02,}$ ${\displaystyle \gamma =8}$${\displaystyle \omega =0,5)}$

L' equazione di Duffing (o oscillatore di Duffing ), dal nome di Georg Duffing (1861-1944), è un'equazione differenziale non lineare del secondo ordine utilizzata per modellare alcuni oscillatori smorzati e pilotati . L'equazione è data da

${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t)\,}$

dove la funzione (sconosciuta) è lo spostamento nel tempo è la prima derivata di rispetto al tempo, cioè la velocità , ed è la seconda derivata nel tempo di cioè l' accelerazione . I numeri e sono dati costanti. ${\displaystyle x=x(t)}$${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\ddot {x}}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \delta ,}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta,}$ ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle\omega}$

L'equazione descrive il moto di un oscillatore smorzato con un potenziale più complesso rispetto al moto armonico semplice (che corrisponde al caso ); in termini fisici, modella, ad esempio, un pendolo elastico la cui rigidità della molla non obbedisce esattamente alla legge di Hooke . ${\displaystyle \beta =\delta =0}$

L'equazione di Duffing è un esempio di un sistema dinamico che mostra un comportamento caotico . Inoltre, il sistema Duffing presenta nella risposta in frequenza il fenomeno della risonanza di salto che è una sorta di comportamento di isteresi di frequenza .

Parametri

I parametri nell'equazione di cui sopra sono:

• ${\displaystyle \delta}$controlla la quantità di smorzamento ,
• ${\displaystyle\alpha}$controlla la rigidezza lineare ,
• ${\displaystyle \beta}$controlla la quantità di non linearità nella forza di ripristino; se l'equazione di Duffing descrive un oscillatore armonico semplice smorzato e pilotato ,${\displaystyle \beta =0,}$
• ${\displaystyle \gamma}$è l' ampiezza della forza motrice periodica; se il sistema è senza forza motrice, e${\displaystyle \gamma =0}$
• ${\displaystyle\omega}$è la frequenza angolare della forza motrice periodica.

L'equazione di Duffing può essere vista come la descrizione delle oscillazioni di una massa attaccata a una molla non lineare e a uno smorzatore lineare. La forza di richiamo fornita dalla molla non lineare è quindi${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}.}$

Quando e la molla è chiamata molla di indurimento . Al contrario, perché è una molla addolcente (sempre con ). Di conseguenza, gli aggettivi indurimento e rammollimento vengono utilizzati rispetto all'equazione di Duffing in generale, dipendente dai valori di (e ). ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \beta <0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle\alpha}$

Il numero di parametri nell'equazione di Duffing può essere ridotto di due tramite la scala (in accordo con il teorema di Buckingham π ), ad esempio l'escursione e il tempo possono essere scalati come: e assumendo che sia positivo (sono possibili altre scale per diversi intervalli dei parametri , o per diversa enfasi nel problema studiato). Poi: ${\displaystyle x}$${\displaystyle}$${\displaystyle \tau =t{\sqrt {\alpha }}}$${\displaystyle y=x\alpha /\gamma,}$${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau),}$  dove e  ${\displaystyle \eta ={\frac {\delta}{2{\sqrt {\alpha }}}},}$   ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}}.}$    ${\displaystyle \sigma ={\frac {\omega}{\sqrt {\alpha }}}.}$

I punti indicano la differenziazione di rispetto a Ciò mostra che le soluzioni dell'equazione di Duffing forzata e smorzata possono essere descritte nei termini dei tre parametri ( e ) e delle due condizioni iniziali (per e ). ${\displaystyle y(\tau)}$${\displaystyle \tau.}$${\displaystyle \varepsilon,}$ ${\displaystyle\eta}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle y(t_{0})}$${\displaystyle {\dot {y}}(t_{0})}$

Metodi di soluzione

In generale, l'equazione di Duffing non ammette una soluzione simbolica esatta. Tuttavia, molti metodi approssimativi funzionano bene:

• L'espansione in una serie di Fourier può fornire un'equazione del moto con precisione arbitraria.
• Il termine, chiamato anche termine di Duffing , può essere approssimato come piccolo e il sistema trattato come un oscillatore armonico semplice perturbato .${\displaystyle x^{3}}$
• Il metodo Frobenius fornisce una soluzione complessa ma praticabile.
• È possibile utilizzare uno qualsiasi dei vari metodi numerici come il metodo di Eulero e Runge-Kutta .
• È stato riportato anche il metodo di analisi dell'omotopia (HAM) per ottenere soluzioni approssimate dell'equazione di Duffing, anche per forte non linearità.

Nel caso particolare del smorzato ( ) e undriven ( ) equazione Duffing, una soluzione esatta può essere ottenuta utilizzando funzioni ellittiche di Jacobi . ${\displaystyle \delta =0}$${\displaystyle \gamma =0}$

Limite della soluzione per l'oscillatore non forzato

Oscillatore non smorzato

Moltiplicazione dell'equazione di Duffing non smorzata e non forzata, con dà: ${\displaystyle \gamma =\delta =0,}$${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\begin{allineato}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\ frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\ tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\tfrac {1}{ 2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\ beta x^{4}=H,\end{allineato}}}$

con H una costante. Il valore di H è determinato dalle condizioni iniziali e${\displaystyle x(0)}$${\displaystyle {\dot {x}}(0).}$

La sostituzione in H mostra che il sistema è Hamiltoniano : ${\displaystyle y={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},}$   ${\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}}$   con   ${\displaystyle \quad H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4} }\beta x^{4}.}$

Quando entrambi e sono positivi, la soluzione è limitata: ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle |x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}}$   e   ${\displaystyle |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},}$

con l'Hamiltoniana H positiva.

Oscillatore smorzato

Allo stesso modo, per l'oscillatore smorzato,

${\displaystyle {\begin{allineato}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right )=0\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}} \right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \, \left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{allineato}}}$

poiché per lo smorzamento. Senza forzare l'oscillatore Duffing smorzato finirà in (uno dei) suoi punti di equilibrio stabili . I punti di equilibrio, stabile e instabile, sono a Se l'equilibrio stabile è a Se e gli equilibri stabili sono a e${\displaystyle \delta \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}=0.}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle \alpha <0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$${\displaystyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta}}.}$

Risposta in frequenza

Risposta in frequenza in funzione di per l'equazione di Duffing, con e smorzamento Le parti tratteggiate della risposta in frequenza sono instabili.${\displaystyle z/\gamma}$${\displaystyle \omega /{\sqrt {\alpha }}}$${\displaystyle \alpha =\gamma =1}$${\displaystyle \delta =0.1.}$

L'oscillatore forzato di Duffing con non linearità cubica è descritto dalla seguente equazione differenziale ordinaria:

${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).}$

La risposta in frequenza di questo oscillatore descrive l' ampiezza della risposta allo stato stazionario dell'equazione (cioè ) ad una data frequenza di eccitazione Per un oscillatore lineare con la risposta in frequenza è anche lineare. Tuttavia, per un coefficiente cubico diverso da zero , la risposta in frequenza diventa non lineare. A seconda del tipo di non linearità, l'oscillatore Duffing può mostrare una risposta in frequenza di indurimento, rammollimento o misto tra indurimento e rammollimento. In ogni caso, utilizzando il metodo di analisi dell'omotopia o equilibrio armonico , si può derivare un'equazione di risposta in frequenza nella forma seguente: ${\displaystyle z}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle\omega.}$${\displaystyle \beta =0,}$${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \ omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.}$

Per i parametri dell'equazione di Duffing, l'equazione algebrica di cui sopra fornisce l' ampiezza dell'oscillazione in regime stazionario ad una data frequenza di eccitazione. ${\displaystyle z}$

Salti

Salti nella risposta in frequenza. I parametri sono: , e${\displaystyle \alpha =\gamma =1,}$${\displaystyle \beta =0.04}$${\displaystyle \delta =0.1.}$

Per alcuni intervalli dei parametri nell'equazione di Duffing, la risposta in frequenza potrebbe non essere più una funzione a valore singolo della frequenza di forzatura Per un oscillatore a molla indurita ( e abbastanza grande positivo ) la risposta in frequenza sporge dal lato delle alte frequenze, e per il lato a bassa frequenza per l'oscillatore della molla di rammollimento ( e ). Il lato a sbalzo inferiore è instabile – cioè le parti tratteggiate nelle figure della risposta in frequenza – e non può essere realizzato per un tempo prolungato. Di conseguenza, il fenomeno del salto si presenta: ${\displaystyle\omega.}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >\beta _{c+}>0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta <\beta _{c-}<0}$

• quando la frequenza angolare viene aumentata lentamente (con altri parametri fissati), l' ampiezza della risposta scende improvvisamente da A a B,${\displaystyle\omega}$ ${\displaystyle z}$
• se la frequenza viene diminuita lentamente, allora in C l'ampiezza salta fino a D, seguendo poi il ramo superiore della risposta in frequenza.${\displaystyle\omega}$

I salti A–B e C–D non coincidono, quindi il sistema mostra l' isteresi a seconda della direzione di scansione della frequenza.

Esempi

Tracce temporali e ritratti di fase phase

periodo-1 oscillazione a ${\displaystyle \gamma =0.20}$

oscillazione del periodo 2 a ${\displaystyle \gamma =0.28}$

periodo-4 oscillazione a ${\displaystyle \gamma =0.29}$

periodo-5 oscillazione a ${\displaystyle \gamma =0,37}$

caos a ${\displaystyle \gamma =0.50}$

oscillazione del periodo 2 a ${\displaystyle \gamma =0.65}$

Alcuni esempi tipici delle serie temporali e dei ritratti di fase dell'equazione di Duffing, che mostrano la comparsa di subarmoniche attraverso la biforcazione del raddoppio del periodo , nonché il comportamento caotico, sono mostrati nelle figure seguenti. L'ampiezza della forzatura aumenta da a Gli altri parametri hanno i valori: e Le condizioni iniziali sono e I puntini rossi nei ritratti di fase sono a volte un multiplo intero del periodo${\displaystyle \gamma =0.20}$${\displaystyle \gamma =0.65.}$${\displaystyle \alpha =-1,}$ ${\displaystyle \beta =+1,}$ ${\displaystyle \delta =0.3}$${\displaystyle \omega =1.2.}$${\displaystyle x(0)=1}$${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.}$${\displaystyle}$ ${\displaystyle T=2\pi /\omega.}$

Riferimenti

In linea

Storico

Altro

link esterno

• Oscillatore Duffing su Scholarpedia
• Pagina MathWorld
• Pchelintsev, AN; Ahmad, S. (2020). "Soluzione dell'equazione di Duffing con il metodo delle serie di potenze" (PDF) . Transazioni di TSTU . 26 (1): 118-123.