5-politopo - 5-polytope

Grafici di tre politopi regolari e tre uniformi .

5-simplex (esaterone)	5-ortoplex , 2 11 (Pentacross)	5-cubo (penteratto)
Espanso 5-simplex	5-ortoplex rettificato	5-demicubo . 1 21 (Demipenteratto)

In cinque dimensioni geometria , un politopo cinque dimensioni o 5-politopo è un 5-dimensionale politopo , delimitata da (4) politopo sfaccettature. Ogni cellula poliedrica è condivisa esattamente da due sfaccettature a 4 politopi .

Definizione

Un 5-politopo è una figura a cinque dimensioni chiusa con vertici , bordi , facce e celle e 4 facce . Un vertice è un punto in cui si incontrano cinque o più bordi. Un bordo è un segmento di linea in cui si incontrano quattro o più facce e una faccia è un poligono in cui si incontrano tre o più celle. Una cella è un poliedro e una 4-faccia è un 4-politopo . Inoltre, devono essere soddisfatti i seguenti requisiti:

1. Ogni cella deve unire esattamente due 4-facce.
2. Le 4 facce adiacenti non sono nello stesso iperpiano quadridimensionale .
3. La cifra non è un composto di altre cifre che soddisfano i requisiti.

Caratteristiche

La topologia di un dato 5-politopo è definita dai suoi numeri di Betti e dai coefficienti di torsione .

Il valore della caratteristica di Eulero usata per caratterizzare i poliedri non si generalizza utilmente a dimensioni superiori, qualunque sia la loro topologia sottostante. Questa inadeguatezza della caratteristica di Eulero per distinguere in modo affidabile tra diverse topologie in dimensioni superiori ha portato alla scoperta dei numeri di Betti più sofisticati.

Allo stesso modo, la nozione di orientabilità di un poliedro è insufficiente per caratterizzare le torsioni superficiali dei politopi toroidali, e ciò ha portato all'uso dei coefficienti di torsione.

Classificazione

I 5-politopi possono essere classificati in base a proprietà come " convessità " e " simmetria ".

• Un 5-politopo è convesso se il suo confine (comprese le sue celle, facce e bordi) non si interseca e il segmento di linea che unisce due punti qualsiasi del 5-politopo è contenuto nel 5-politopo o nel suo interno; in caso contrario, è non convesso . 5-politopi auto-intersecanti sono anche conosciuti come politopi stellati , per analogia con le forme a stella dei poliedri Kepler-Poinsot non convessi .
• Un uniforme 5-politopo ha un gruppo di simmetria in cui tutti i vertici sono equivalenti, e le sue sfaccettature sono uniformi 4-politopi . Le facce di un politopo uniforme devono essere regolari .

• Un 5-politopo semiregolare contiene due o più tipi di sfaccettature a 4 politopi regolari. C'è solo una di queste figure, chiamata demipenteract .
• Un 5-politopo regolare ha tutte le sfaccettature identiche a 4 politopi regolari. Tutti i 5-politopi regolari sono convessi.

• Un 5-politopo prismatico è costruito da un prodotto cartesiano di due politopi di dimensioni inferiori. Un 5-politopo prismatico è uniforme se i suoi fattori sono uniformi. L' ipercubo è prismatico (prodotto di un quadrato e di un cubo ), ma è considerato a parte perché ha simmetrie diverse da quelle ereditate dai suoi fattori.
• Una tassellazione a 4 spazi è la divisione dello spazio euclideo quadridimensionale in una griglia regolare di sfaccettature policorali. A rigor di termini, le tassellazioni non sono politopi in quanto non delimitano un volume "5D", ma le includiamo qui per completezza perché sono simili in molti modi ai politopi. Una tassellatura uniforme a 4 spazi è quella i cui vertici sono collegati da un gruppo spaziale e le cui sfaccettature sono 4 politopi uniformi.

5-politopi regolari

5-politopi regolari possono essere rappresentati dal simbolo Schläfli {p,q,r,s}, con s {p,q,r} sfaccettature policorali attorno a ciascuna faccia .

Ci sono esattamente tre di questi 5-politopi regolari convessi :

1. {3,3,3,3} - 5-simplex
2. {4,3,3,3} - 5-cubo
3. {3,3,3,4} - 5-ortoplex

Per i 3 5-politopi regolari convessi e i tre 5-politopi semiregolari, i loro elementi sono:

Nome	Simbolo (i) Schläfli	Diagramma /i di Coxeter	vertici	bordi	Facce	cellule	4-facce	Simmetria ( ordine )
5-simplex	{3,3,3,3}		6	15	20	15	6	A 5 , (120)
5-cubo	{4,3,3,3}		32	80	80	40	10	aC 5 , (3820)
5-ortoplex	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		10	40	80	80	32	aC 5 , (3840) 2×D 5

5 politopi uniformi

Per tre dei 5-politopi semiregolari, i loro elementi sono:

Nome	Simbolo (i) Schläfli	Diagramma /i di Coxeter	vertici	bordi	Facce	cellule	4-facce	Simmetria ( ordine )
Espanso 5-simplex	t 0,4 {3,3,3,3}		30	120	210	180	162	2×A 5 , (240)
5-semicubo	{3,3 2,1 } h{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D 5 , (1920) ½BC 5
5-ortoplex rettificato	t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	aC 5 , (3840) 2×D 5

Il 5-simplex espanso è la figura del vertice del nido d'ape 5-simplex uniforme ,. Il nido d'ape da 5 semicubi ,, la figura del vertice è un 5-orthoplex rettificato e le sfaccettature sono il 5-orthoplex e il 5-demicubo .

piramidi

I 5 politopi piramidali, o 5 piramidi , possono essere generati da una base di 4 politopi in un iperpiano di 4 spazi connesso a un punto al di fuori dell'iperpiano. Il 5-simplex è l'esempio più semplice con una base 4-simplex.

Guarda anche

• Elenco dei politopi regolari#Politopi regolari a cinque dimensioni e superiori

Riferimenti

• T. Gosset : Sulle figure regolari e semi-regolari nello spazio di n dimensioni , Messaggero di matematica , Macmillan, 1900
• A. Boole Stott : Deduzione geometrica di semiregolari da politopi regolari e riempimenti spaziali , Verhandelingen dell'accademia Koninklijke van Wetenschappen unità di larghezza Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins e JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • HSM Coxeter, Politopi regolari , 3a edizione, Dover New York, 1973
• Caleidoscopi: scritti selezionati di HSM Coxeter , a cura di F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Fascicolo 22) HSM Coxeter, Politopi regolari e semi regolari I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Documento 23) HSM Coxeter, Politopi regolari e semi-regolari II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Fascicolo 24) HSM Coxeter, Politopi regolari e semi-regolari III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW Johnson : La teoria dei politopi e dei favi uniformi , Ph.D. Tesi di laurea, Università di Toronto, 1966
• Klitzing, Richard. "Politopi uniformi 5D (politeri)" .

link esterno

• Politopi di varie dimensioni , Jonathan Bowers
• Uniforme Polytera , Jonathan Bowers
• Glossario multidimensionale , Garrett Jones