Fondamenti di geometria - Foundations of geometry

Fondamenti della geometria è lo studio delle geometrie come sistemi assiomatici . Esistono diversi insiemi di assiomi che danno origine alla geometria euclidea oa geometrie non euclidee . Queste sono fondamentali per lo studio e di importanza storica, ma ci sono moltissime geometrie moderne non euclidee che possono essere studiate da questo punto di vista. Il termine geometria assiomatica può essere applicato a qualsiasi geometria sviluppata da un sistema di assiomi, ma è spesso usato per indicare la geometria euclidea studiata da questo punto di vista. La completezza e l'indipendenza dei sistemi assiomatici generali sono importanti considerazioni matematiche, ma ci sono anche questioni che hanno a che fare con l'insegnamento della geometria che entrano in gioco.

Sistemi assiomatici

Articolo principale: sistema assiomatico

Basato sugli antichi metodi greci, un sistema assiomatico è una descrizione formale di un modo per stabilire la verità matematica che scaturisce da un insieme fisso di ipotesi. Sebbene applicabile a qualsiasi area della matematica, la geometria è il ramo della matematica elementare in cui questo metodo è stato applicato con maggior successo.

Ci sono diversi componenti di un sistema assiomatico.

  1. I primitivi (termini indefiniti) sono le idee più basilari. Tipicamente includono oggetti e relazioni. In geometria, gli oggetti sono cose come punti , linee e piani mentre un rapporto fondamentale è quello di incidenza – di un oggetto che si incontra o si unisce ad un altro. I termini stessi non sono definiti. Hilbert una volta osservò che invece di punti, linee e piani si potrebbe benissimo parlare di tavoli, sedie e boccali di birra. Il suo punto è che i termini primitivi sono solo gusci vuoti, segnaposto se vuoi, e non hanno proprietà intrinseche.
  2. Gli assiomi (o postulati) sono affermazioni su questi primitivi; per esempio, due punti qualsiasi sono insieme incidenti con una sola linea (cioè che per due punti qualsiasi, c'è solo una linea che li attraversa). Gli assiomi sono assunti veri e non dimostrati. Sono gli elementi costitutivi dei concetti geometrici, poiché specificano le proprietà che hanno le primitive.
  3. Le leggi della logica .
  4. I teoremi sono le conseguenze logiche degli assiomi, cioè gli enunciati che si possono ottenere dagli assiomi utilizzando le leggi della logica deduttiva.

Un'interpretazione di un sistema assiomatico è un modo particolare di dare senso concreto alle primitive di quel sistema. Se questa associazione di significati rende vere le affermazioni degli assiomi del sistema, allora l'interpretazione è chiamata modello del sistema. In un modello, tutti i teoremi del sistema sono automaticamente affermazioni vere.

Proprietà dei sistemi assiomatici

Nella discussione dei sistemi assiomatici diverse proprietà sono spesso focalizzate su:

  • Gli assiomi di un sistema assiomatico si dicono coerenti se da essi non si può derivare alcuna contraddizione logica. Tranne che nei sistemi più semplici, la consistenza è una proprietà difficile da stabilire in un sistema assiomatico. D'altra parte, se esiste un modello per il sistema assiomatico, allora qualsiasi contraddizione derivabile nel sistema è anche derivabile nel modello, e il sistema assiomatico è coerente quanto qualsiasi sistema a cui appartiene il modello. Questa proprietà (avere un modello) viene definita consistenza relativa o consistenza del modello .
  • Un assioma si dice indipendente se non può essere dimostrato o confutato dagli altri assiomi del sistema assiomatico. Un sistema assiomatico si dice indipendente se ciascuno dei suoi assiomi è indipendente. Se un'affermazione vera è una conseguenza logica di un sistema assiomatico, allora sarà un'affermazione vera in ogni modello di quel sistema. Per dimostrare che un assioma è indipendente dagli assiomi rimanenti del sistema, è sufficiente trovare due modelli degli assiomi rimanenti, per i quali l'assioma è un'affermazione vera in uno e un'affermazione falsa nell'altro. L'indipendenza non è sempre una proprietà desiderabile da un punto di vista pedagogico.
  • Un sistema assiomatico si dice completo se ogni enunciato esprimibile nei termini del sistema è dimostrabile o ha una negazione dimostrabile. Un altro modo per affermarlo è che nessuna affermazione indipendente può essere aggiunta a un sistema assiomatico completo che sia coerente con gli assiomi di quel sistema.
  • Un sistema assiomatico è categorico se due modelli qualsiasi del sistema sono isomorfi (essenzialmente, esiste un solo modello per il sistema). Un sistema categorico è necessariamente completo, ma la completezza non implica la categorizzazione. In alcune situazioni la categoricità non è una proprietà desiderabile, poiché i sistemi assiomatici categoriali non possono essere generalizzati. Ad esempio, il valore del sistema assiomatico per la teoria dei gruppi è che non è categorico, quindi dimostrare un risultato nella teoria dei gruppi significa che il risultato è valido in tutti i diversi modelli per la teoria dei gruppi e non è necessario riprovare il risultato in ciascuno dei modelli non isomorfi.

geometria euclidea

Articolo principale: geometria euclidea

La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito al matematico greco alessandrino Euclide , che descrisse (sebbene non rigorosamente secondo gli standard moderni) nel suo libro di testo sulla geometria : gli Elementi . Il metodo di Euclide consiste nell'assumere un piccolo insieme di assiomi intuitivamente accattivanti e nel dedurne molte altre proposizioni ( teoremi ). Sebbene molti dei risultati di Euclide fossero stati affermati da matematici precedenti, Euclide fu il primo a mostrare come queste proposizioni potessero inserirsi in un sistema deduttivo e logico completo . Gli Elementi inizia con la geometria piana, insegnata ancora nella scuola secondaria come primo sistema assiomatico e primi esempi di dimostrazione formale . Si passa alla geometria solida di tre dimensioni . Gran parte degli Elementi riporta i risultati di quella che oggi viene chiamata algebra e teoria dei numeri , spiegata in linguaggio geometrico.

Per oltre duemila anni l'aggettivo "euclidea" non è stato necessario perché nessun altro tipo di geometria era stato concepito. Gli assiomi di Euclide sembravano così intuitivamente ovvi (con la possibile eccezione del postulato parallelo ) che qualsiasi teorema dimostrato da essi era ritenuto vero in senso assoluto, spesso metafisico. Oggi, invece, sono note molte altre geometrie non euclidee, le prime scoperte all'inizio del XIX secolo.

Elementi di Euclide

Articolo principale: Elementi di Euclide

Gli elementi di Euclide è un trattato matematico e geometrico composto da 13 libri scritti dall'antico matematico greco Euclide ad Alessandria c. 300 aC. È una raccolta di definizioni, postulati ( assiomi ), proposizioni ( teoremi e costruzioni ) e dimostrazioni matematiche delle proposizioni. I tredici libri trattano la geometria euclidea e l'antica versione greca della teoria elementare dei numeri . Con l'eccezione di Autolico sulla sfera mobile , gli elementi è uno dei più antichi trattati matematici greci esistenti, ed è il più antico trattamento assiomatico deduttivo esistente della matematica . Si è dimostrato determinante nello sviluppo della logica e della scienza moderna .

Euclid's Elements è stato definito il libro di testo di maggior successo e influente mai scritto. Impostata per la prima volta a Venezia nel 1482, è una delle primissime opere matematiche stampate dopo l'invenzione della stampa ed è stata stimata da Carl Benjamin Boyer seconda solo alla Bibbia per numero di edizioni pubblicate, con il numero che raggiunge ben oltre mille. Per secoli, quando il quadrivio è stato incluso nel curriculum di tutti gli studenti universitari, la conoscenza di almeno una parte di di Euclide Elementi è stato richiesto a tutti gli studenti. Solo nel XX secolo, quando il suo contenuto fu universalmente insegnato attraverso altri libri di testo scolastici, cessò di essere considerato qualcosa che tutte le persone istruite avevano letto.

Gli Elementi sono principalmente una sistematizzazione della precedente conoscenza della geometria. Si presume che sia stata riconosciuta la sua superiorità rispetto ai trattamenti precedenti, con la conseguenza che c'era poco interesse a preservare quelli precedenti, ed ora sono quasi tutti perduti.

I libri I-IV e VI trattano la geometria piana. Molti risultati sulle figure piane sono dimostrati, ad esempio, se un triangolo ha due angoli uguali, allora i lati sottesi dagli angoli sono uguali. Il teorema di Pitagora è dimostrato.

I libri V e VII-X trattano della teoria dei numeri, con i numeri trattati geometricamente tramite la loro rappresentazione come segmenti di linea di varie lunghezze. Vengono introdotte nozioni come numeri primi e numeri razionali e irrazionali . L'infinito dei numeri primi è dimostrato.

I libri XI-XIII riguardano la geometria solida. Un risultato tipico è il rapporto 1:3 tra il volume di un cono e un cilindro con la stessa altezza e base.

Il postulato della parallela: se due rette intersecano una terza in modo tale che la somma degli angoli interni da un lato sia minore di due angoli retti, allora le due rette devono inevitabilmente intersecarsi da quel lato se sono abbastanza estese.

All'inizio del primo libro degli Elementi , Euclide dà cinque postulati (assiomi) per la geometria piana, espressi in termini di costruzioni (come tradotto da Thomas Heath):

"Si postuli quanto segue":

  1. "Per tracciare una linea retta da qualsiasi punto a qualsiasi punto."
  2. "Produrre [estendere] una linea retta finita continuamente in una linea retta."
  3. "Per descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza [raggio]."
  4. "Che tutti gli angoli retti sono uguali tra loro."
  5. Il postulato della parallela : "Che, se una retta cadendo su due rette fa gli angoli interni dalla stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, se prodotte indefinitamente, si incontrano da quella parte in cui sono gli angoli minori di i due angoli retti".

Sebbene l'affermazione dei postulati di Euclide affermi solo esplicitamente l'esistenza delle costruzioni, si presume anche che producano oggetti unici.

Il successo degli Elementi è dovuto principalmente alla sua presentazione logica della maggior parte delle conoscenze matematiche a disposizione di Euclide. Gran parte del materiale non è originale per lui, sebbene molte delle prove siano presumibilmente sue. Lo sviluppo sistematico di Euclide del suo soggetto, da un piccolo insieme di assiomi a risultati profondi, e la coerenza del suo approccio in tutti gli Elementi , ne hanno incoraggiato l'uso come libro di testo per circa 2000 anni. Gli elementi influenzano ancora i moderni libri di geometria. Inoltre, il suo approccio assiomatico logico e le sue dimostrazioni rigorose rimangono la pietra angolare della matematica.

Una critica a Euclide

Gli standard del rigore matematico sono cambiati da quando Euclide ha scritto gli Elementi . Gli atteggiamenti e i punti di vista moderni nei confronti di un sistema assiomatico possono far sembrare che Euclide fosse in qualche modo sciatto o negligente nel suo approccio all'argomento, ma questa è un'illusione astorica. È solo dopo che le fondamenta sono state attentamente esaminate in risposta all'introduzione della geometria non euclidea che hanno cominciato a emergere quelli che ora consideriamo difetti . Il matematico e storico WW Rouse Ball ha messo queste critiche in prospettiva, osservando che "il fatto che per duemila anni [gli Elementi ] sia stato il solito libro di testo sull'argomento solleva una forte presunzione che non sia inadatto a tale scopo".

Alcuni dei problemi principali con la presentazione di Euclide sono:

  • Mancanza di riconoscimento del concetto di termini , oggetti e nozioni primitivi che devono essere lasciati indefiniti nello sviluppo di un sistema assiomatico.
  • L'uso della sovrapposizione in alcune dimostrazioni senza che vi sia una giustificazione assiomatica di questo metodo.
  • Mancanza di un concetto di continuità, necessario per dimostrare l'esistenza di alcuni punti e rette che Euclide costruisce.
  • Mancanza di chiarezza sul fatto che una retta sia infinita o senza confini nel secondo postulato.
  • Mancanza del concetto di betweenness utilizzato, tra l'altro, per distinguere l'interno e l'esterno delle varie figure.

L'elenco degli assiomi di Euclide negli Elementi non era esaustivo, ma rappresentava i principi che sembravano i più importanti. Le sue prove spesso invocano nozioni assiomatiche che non erano originariamente presentate nella sua lista di assiomi. Per questo non si smarrisce e prova cose errate, poiché fa uso di assunzioni implicite la cui validità sembra essere giustificata dai diagrammi che accompagnano le sue dimostrazioni. I matematici successivi hanno incorporato le assunzioni assiomatiche implicite di Euclide nell'elenco degli assiomi formali, ampliando così notevolmente tale elenco.

Per esempio, nella prima costruzione del Libro 1, Euclide utilizzò una premessa che non fu né postulata né dimostrata: che due cerchi con centri alla distanza del loro raggio si intersecano in due punti. Successivamente, nella quarta costruzione, usò la sovrapposizione (spostando i triangoli uno sopra l'altro) per dimostrare che se due lati ei loro angoli sono uguali allora sono congruenti; durante queste considerazioni usa alcune proprietà di sovrapposizione, ma queste proprietà non sono descritte esplicitamente nel trattato. Se la sovrapposizione deve essere considerata un valido metodo di dimostrazione geometrica, tutta la geometria sarebbe piena di tali prove. Ad esempio, le proposizioni da I.1 a I.3 possono essere dimostrate banalmente usando la sovrapposizione.

Per affrontare questi problemi nel lavoro di Euclide, autori successivi hanno tentato di riempire i buchi nella presentazione di Euclide - il più notevole di questi tentativi è dovuto a D. Hilbert - o di organizzare il sistema di assiomi attorno a concetti diversi, come ha fatto GD Birkhoff .

Pasqua e Peano

Il matematico tedesco Moritz Pasch (1843-1930) fu il primo a portare a termine il compito di porre la geometria euclidea su una solida base assiomatica. Nel suo libro Vorlesungen über neuere Geometrie pubblicato nel 1882, Pasch pose le basi del moderno metodo assiomatico. Ha dato origine al concetto di nozione primitiva (che ha chiamato Kernbegriffe ) e insieme agli assiomi ( Kernsätzen ) costruisce un sistema formale libero da ogni influenza intuitiva. Secondo Pasch, l'unico luogo in cui l'intuizione dovrebbe svolgere un ruolo è nel decidere quali dovrebbero essere le nozioni e gli assiomi primitivi. Quindi, per Pasch, il punto è una nozione primitiva, ma la linea (retta) non lo è, poiché abbiamo una buona intuizione sui punti ma nessuno ha mai visto o avuto esperienza con una linea infinita. La nozione primitiva che Pasch usa al suo posto è segmento di linea .

Pasch osservò che l'ordinamento dei punti su una retta (o equivalentemente proprietà di contenimento dei segmenti di retta) non è adeguatamente risolto dagli assiomi di Euclide; quindi, il teorema di Pasch , che afferma che se valgono due relazioni di contenimento di segmenti di retta, allora ne vale anche una terza, non può essere dimostrato dagli assiomi di Euclide. Il relativo assioma di Pasch riguarda le proprietà di intersezione di rette e triangoli.

Il lavoro di Pasch sui fondamenti ha fissato lo standard per il rigore, non solo in geometria ma anche nel contesto più ampio della matematica. Le sue idee rivoluzionarie sono ora così comuni che è difficile ricordare che hanno avuto un unico ideatore. Il lavoro di Pasch ha influenzato direttamente molti altri matematici, in particolare D. Hilbert e il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932). L'opera di Peano del 1889 sulla geometria, in gran parte una traduzione del trattato di Pasch nella notazione della logica simbolica (inventata da Peano), usa le nozioni primitive di punto e di mezzo . Peano rompe il legame empirico nella scelta di nozioni e assiomi primitivi che Pasch richiedeva. Per Peano, l'intero sistema è puramente formale, avulso da qualsiasi input empirico.

Pieri e la Scuola Italiana dei Geometri

Il matematico italiano Mario Pieri (1860-1913) adottò un approccio diverso e considerò un sistema in cui esistevano solo due nozioni primitive, quella di punto e quella di moto . Pasch aveva usato quattro primitivi e Peano li aveva ridotti a tre, ma entrambi questi approcci si basavano su un qualche concetto di betweeness che Pieri aveva sostituito con la sua formulazione di moto . Nel 1905 Pieri diede la prima trattazione assiomatica della geometria proiettiva complessa che non partì dalla costruzione della vera geometria proiettiva.

Pieri faceva parte di un gruppo di geometri e logici italiani che Peano aveva raccolto intorno a sé a Torino. Questo gruppo di assistenti, colleghi junior e altri erano dedicati alla realizzazione del programma logico-geometrico di Peano di porre le basi della geometria su solide basi assiomatiche basate sul simbolismo logico di Peano. Oltre a Pieri, Burali-Forti , Padoa e Fano erano in questo gruppo. Nel 1900 si tennero due conferenze internazionali a Parigi, il Congresso Internazionale di Filosofia e il Secondo Congresso Internazionale dei Matematici . Questo gruppo di matematici italiani era molto in evidenza a questi congressi, spingendo la loro agenda assiomatica. Padoa ha tenuto un discorso molto apprezzato e Peano, nel periodo delle domande dopo il famoso discorso di David Hilbert sui problemi irrisolti , ha osservato che i suoi colleghi avevano già risolto il secondo problema di Hilbert.

assiomi di Hilbert

Articolo principale: assiomi di Hilbert
David Hilbert

All'Università di Göttingen, durante il semestre invernale 1898-1899, l'eminente matematico tedesco David Hilbert (1862-1943) tenne un corso di lezioni sui fondamenti della geometria. Su richiesta di Felix Klein , al professor Hilbert fu chiesto di scrivere le dispense per questo corso in tempo per la cerimonia di inaugurazione di un monumento a CF Gauss e Wilhelm Weber nell'estate del 1899 che si sarebbe tenuta all'università. Le lezioni riorganizzate furono pubblicate nel giugno 1899 con il titolo Grundlagen der Geometrie (Fondamenti di geometria). L'influenza del libro è stata immediata. Secondo Eves (1963 , pp. 384-5):

Sviluppando un insieme di postulati per la geometria euclidea che non si discosta troppo nello spirito da quello di Euclide, e impiegando un minimo di simbolismo, Hilbert riuscì a convincere i matematici, in misura molto maggiore di quanto non fecero Pasqua e Peano, del puramente ipotetico-deduttivo natura della geometria. Ma l'influenza dell'opera di Hilbert andò ben oltre questo, poiché, sostenuta dalla grande autorità matematica dell'autore, impiantò saldamente il metodo postulato, non solo nel campo della geometria, ma anche essenzialmente in ogni altro ramo della matematica. Lo stimolo allo sviluppo dei fondamenti della matematica fornito dal libretto di Hilbert è difficile da sopravvalutare. Mancando lo strano simbolismo delle opere di Pasch e Peano, l'opera di Hilbert può essere letta, in gran parte, da qualsiasi studente intelligente di geometria delle scuole superiori.

È difficile specificare gli assiomi usati da Hilbert senza fare riferimento alla storia della pubblicazione dei Grundlagen poiché Hilbert li ha cambiati e modificati più volte. La monografia originale è stata subito seguita da una traduzione francese, in cui Hilbert ha aggiunto V.2, l'assioma di completezza. Una traduzione inglese, autorizzata da Hilbert, fu fatta da EJ Townsend e protetta da copyright nel 1902. Questa traduzione incorporava le modifiche apportate alla traduzione francese e quindi è considerata una traduzione della 2a edizione. Hilbert continuò ad apportare modifiche al testo e apparvero diverse edizioni in tedesco. La settima edizione è stata l'ultima ad apparire nella vita di Hilbert. Alla 7a sono seguite nuove edizioni, ma il testo principale non è stato sostanzialmente rivisto. Le modifiche a queste edizioni si verificano nelle appendici e nei supplementi. I cambiamenti nel testo erano grandi rispetto all'originale e una nuova traduzione inglese è stata commissionata da Open Court Publishers, che aveva pubblicato la traduzione di Townsend. Quindi, la 2a edizione inglese è stata tradotta da Leo Unger dalla 10a edizione tedesca nel 1971. Questa traduzione incorpora diverse revisioni e ampliamenti delle successive edizioni tedesche di Paul Bernays. Le differenze tra le due traduzioni inglesi sono dovute non solo a Hilbert, ma anche alle diverse scelte fatte dai due traduttori. Quanto segue sarà basato sulla traduzione di Unger.

Il sistema di assiomi di Hilbert è costruito con sei nozioni primitive : punto , linea , piano , interezza , giace su (contenimento) e congruenza .

Tutti i punti, le linee e i piani nei seguenti assiomi sono distinti se non diversamente indicato.

I. Incidenza
  1. Per ogni due punti A e B esiste una retta a che li contiene entrambi. Scriviamo AB = a o BA = a . Invece di "contiene", possiamo anche impiegare altre forme di espressione; per esempio, possiamo dire " A giace su a ", " A è un punto di a ", " a passa per A e passa per B ", " a unisce A a B ", ecc. Se A giace su a e al contemporaneamente su un'altra linea b , abbiamo sfruttare anche l'espressione: “le linee a e b hanno il punto a in comune,” etc.
  2. Per ogni due punti non esiste più di una retta che li contenga entrambi; di conseguenza, se AB = a e AC = a , dove B ≠ C , allora anche BC = a .
  3. Esistono almeno due punti su una linea. Esistono almeno tre punti che non giacciono su una retta.
  4. Per ogni tre punti A , B , C non situati sulla stessa retta esiste un piano α che li contiene tutti. Per ogni piano esiste un punto che giace su di esso. Scriviamo ABC = α . Usiamo anche le espressioni: “ A , B , C , giacciono in α”; “A, B, C sono punti di α”, ecc.
  5. Per ogni tre punti A , B , C che non giacciono sulla stessa retta, non esiste più di un piano che li contenga tutti.
  6. Se due punti A , B di una retta a giacciono in un piano α, allora ogni punto di a giace in α. In questo caso diciamo: “La retta a giace nel piano α”, ecc.
  7. Se due piani α, hanno un punto A in comune, allora hanno almeno un secondo punto B in comune.
  8. Esistono almeno quattro punti che non giacciono su un piano.
II. Ordine
  1. Se un punto B si trova tra i punti A e C , anche B è tra C e A , ed esiste una retta contenente i punti distinti A,B,C .
  2. Se A e C sono due punti di una retta, allora esiste almeno un punto B compreso tra A e C .
  3. Di tre punti qualsiasi situati su una linea, non ce n'è più di uno che si trova tra gli altri due.
  4. Assioma di Pasch : Siano A , B , C tre punti non giacenti sulla stessa retta e sia a una retta giacente nel piano ABC e non passante per nessuno dei punti A , B , C . Quindi, se la retta a passa per un punto del segmento AB , passerà anche per un punto del segmento BC o per un punto del segmento AC .
III. Congruenza
  1. Se A , B sono due punti su una retta a , e se A′ è un punto sulla stessa o su un'altra retta a′ , allora su un dato lato di A′ sulla retta a′ , possiamo sempre trovare un punto B′ in modo che il segmento AB sia congruente al segmento A′B′ . Indichiamo questa relazione scrivendo AB ≅ A′ B′ . Ogni segmento è congruente a se stesso; cioè, abbiamo sempre AB ≅ AB .
    Possiamo enunciare brevemente l'assioma di cui sopra dicendo che ogni segmento può essere disposto su un dato lato di un dato punto di una data retta in almeno un modo.
  2. Se un segmento AB è congruente al segmento A′B′ e anche al segmento A″B″ , allora il segmento A′B′ è congruente al segmento A″B″ ; cioè, se AB ≅ A′B′ e AB ≅ A″B″ , allora A′B′ ≅ A″B″ .
  3. Siano AB e BC due segmenti di una retta a che non hanno punti in comune a parte il punto B , e inoltre siano A′B′ e B′C′ due segmenti della stessa o di un'altra retta a′ aventi , allo stesso modo, nessun punto diverso da B′ in comune. Allora, se AB ≅ A′B′ e BC ≅ B′C′ , abbiamo AC ≅ A′C′ .
  4. Sia dato un angolo ∠ ( h , k ) nel piano α e sia data una retta a′ in un piano α′. Supponiamo anche che, nel piano α′, sia assegnato un lato determinato della retta a′ . Indichiamo con h′ un raggio della retta a′ emanante da un punto O′ di tale retta. Allora nel piano α′ esiste uno ed un solo raggio k′ tale che l'angolo ∠ ( h , k ), o ∠ ( k , h ), sia congruente all'angolo ∠ ( h′ , k′ ) e al allo stesso tempo tutti i punti interni dell'angolo ∠ ( h′ , k′ ) giacciono sul lato dato di a′ . Esprimiamo questa relazione mediante la notazione ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ).
  5. Se l'angolo ∠ ( h , k ) è congruente all'angolo ∠ ( h′ , k′ ) e all'angolo ∠ ( h″ , k″ ), allora l'angolo ∠ ( h′ , k′ ) è congruente all'angolo angolo ( h″ , k″ ); vale a dire, se ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) e ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ), allora ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ).
IV. Paralleli
  1. (Assioma di Euclide): Sia a una qualsiasi retta e A un punto non su di essa. Allora c'è al massimo una retta nel piano, determinata da a e A , che passa per A e non interseca a .
V. Continuità
  1. Assioma di Archimede . Se AB e CD sono dei segmenti, allora esiste un numero n tale che n segmenti CD costruiti contigui da A , lungo il raggio da A a B , passeranno oltre il punto B .
  2. Assioma di completezza di linea . Un'estensione di un insieme di punti su una retta con le sue relazioni di ordine e congruenza che conserverebbero le relazioni esistenti tra gli elementi originari nonché le proprietà fondamentali dell'ordine delle rette e della congruenza che segue dagli Assiomi I-III e da V-1 è impossibile.

Cambiamenti negli assiomi di Hilbert

Quando la monografia del 1899 fu tradotta in francese, Hilbert aggiunse:

V.2 Assioma di completezza . Ad un sistema di punti, rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi in modo tale che il sistema così generalizzato formi una nuova geometria che obbedisce a tutti e cinque i gruppi di assiomi. In altre parole, gli elementi della geometria formano un sistema che non è suscettibile di estensione, se consideriamo validi i cinque gruppi di assiomi.

Questo assioma non è necessario per lo sviluppo della geometria euclidea, ma è necessario per stabilire una biiezione tra i numeri reali ei punti su una retta. Questo era un ingrediente essenziale nella prova di Hilbert della coerenza del suo sistema di assiomi.

Nella settima edizione dei Grundlagen , questo assioma era stato sostituito dall'assioma di completezza di linea dato sopra e il vecchio assioma V.2 divenne il Teorema 32.

Si trova anche nella monografia del 1899 (e che appare nella traduzione di Townsend) è:

II.4. Ogni quattro punti A , B , C , D di una linea possono sempre essere etichettati in modo che B si trovi tra A e C e anche tra A e D e, inoltre, che C si trovi tra A e D e anche tra B e d .

Tuttavia, EH Moore e RL Moore hanno dimostrato indipendentemente che questo assioma è ridondante, e il primo ha pubblicato questo risultato in un articolo apparso su Transactions of the American Mathematical Society nel 1902. Hilbert ha spostato l'assioma nel Teorema 5 e ha rinumerato gli assiomi di conseguenza (vecchio assioma II-5 (assioma di Pasqua) ora divenne II-4).

Sebbene non così drammatici come questi cambiamenti, la maggior parte degli assiomi rimanenti sono stati modificati anche nella forma e/o nella funzione nel corso delle prime sette edizioni.

Coerenza e indipendenza

Andando oltre la definizione di un insieme soddisfacente di assiomi, Hilbert dimostrò anche la consistenza del suo sistema rispetto alla teoria dei numeri reali costruendo un modello del suo sistema di assiomi dai numeri reali. Ha dimostrato l'indipendenza di alcuni dei suoi assiomi costruendo modelli di geometrie che soddisfano tutti tranne l'assioma in esame. Quindi, ci sono esempi di geometrie che soddisfano tutti tranne l'assioma di Archimede V.1 (geometrie non Archimede), tutti tranne l'assioma parallelo IV.1 (geometrie non euclidee) e così via. Usando la stessa tecnica mostrò anche come alcuni importanti teoremi dipendessero da certi assiomi e fossero indipendenti da altri. Alcuni dei suoi modelli erano molto complessi e altri matematici cercarono di semplificarli. Ad esempio, il modello di Hilbert per mostrare l'indipendenza del teorema di Desargues da certi assiomi alla fine portò Ray Moulton a scoprire il piano di Moulton non Desarguesiano . Queste ricerche di Hilbert hanno praticamente inaugurato lo studio moderno della geometria astratta nel ventesimo secolo.

Gli assiomi di Birkhoff

Articolo principale: assiomi di Birkhoff
George David Birkhoff

Nel 1932, GD Birkhoff creò una serie di quattro postulati della geometria euclidea a volte indicati come assiomi di Birkhoff . Questi postulati sono tutti basati su una geometria di base che può essere verificata sperimentalmente con una scala e un goniometro . In un radicale allontanamento dall'approccio sintetico di Hilbert, Birkhoff fu il primo a costruire le basi della geometria sul sistema di numeri reali . È questa potente ipotesi che permette il piccolo numero di assiomi in questo sistema.

Postulati

Birkhoff usa quattro termini indefiniti: punto , linea , distanza e angolo . I suoi postulati sono:

Postulato I: Postulato della Linea Misura . I punti A , B , ... di qualsiasi retta possono essere posti in corrispondenza 1:1 con i numeri reali x in modo che | x B  − x A | = d( A, B ) per tutti i punti A e  B .  

Postulato II: Postulato Punto-Linea . Esiste una e una sola retta, ℓ , che contiene due punti distinti P e  Q qualsiasi dati .

Postulato III: Postulato della Misura dell'Angolo . I raggi { ℓ, m, n , ...} passanti per qualsiasi punto O possono essere messi in corrispondenza 1:1 con i numeri reali a  (mod 2 π ) cosicché se A e B sono punti (non uguali a O ) di ℓ e m , rispettivamente, la differenza a m  −  a ℓ  (mod 2π) dei numeri associati alle linee ℓ e m è AOB . Inoltre, se il punto B su m varia continuamente in una retta r che non contiene il vertice O , varia continuamente anche il numero a m .

Postulato IV: Postulato di Somiglianza . Se in due triangoli ABC e A'B'C'  e per qualche costante k  > 0, d ( A', B' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C'  ) =  kd ( A, C ) e B'A'C'   = ± BAC , quindi d ( B', C'  ) =  kd ( B, C ), C'B'A'   = ± CBA e A'C'B'   = ± ACB .  

Geometria scolastica

George Bruce Halsted

Se sia saggio o meno insegnare la geometria euclidea da un punto di vista assiomatico a livello di scuola superiore è stata oggetto di dibattito. Ci sono stati molti tentativi in ​​tal senso e non tutti hanno avuto successo. Nel 1904, George Bruce Halsted pubblicò un testo di geometria per le scuole superiori basato sull'assioma di Hilbert. Le critiche logiche di questo testo hanno portato a una seconda edizione fortemente rivista. In reazione al lancio del satellite russo Sputnik c'è stato un invito a rivedere il curriculum scolastico di matematica. Da questo sforzo nacque il programma New Math degli anni '60. Con questo come sfondo, molti individui e gruppi hanno iniziato a fornire materiale testuale per le lezioni di geometria basate su un approccio assiomatico.

Gli assiomi di Mac Lane

Saunders Mac Lane

Saunders Mac Lane (1909-2005), un matematico, ha scritto un articolo nel 1959 in cui ha proposto una serie di assiomi per la geometria euclidea nello spirito del trattamento di Birkhoff utilizzando una funzione di distanza per associare i numeri reali con i segmenti di linea. Questo non era il primo tentativo di basare un trattamento a livello scolastico sul sistema di Birkhoff, infatti, Birkhoff e Ralph Beatley avevano scritto un testo di scuola superiore nel 1940 che sviluppava la geometria euclidea da cinque assiomi e la capacità di misurare segmenti di linea e angoli. Tuttavia, al fine di adattare il trattamento a un pubblico di scuola superiore, alcuni argomenti matematici e logici sono stati ignorati o ignorati.

Nel sistema di Mac Lane ci sono quattro nozioni primitive (termini indefiniti): punto , distanza , linea e misura dell'angolo . Ci sono anche 14 assiomi, quattro che danno le proprietà della funzione distanza, quattro che descrivono le proprietà delle linee, quattro angoli di discussione (che sono angoli diretti in questo trattamento), un assioma di somiglianza (essenzialmente lo stesso di Birkhoff) e un assioma di continuità che può essere usato per derivare il teorema di Crossbar e il suo inverso. L'aumento del numero di assiomi ha il vantaggio pedagogico di rendere più facili da seguire le prime dimostrazioni nello sviluppo e l'uso di una metrica familiare consente un rapido avanzamento attraverso il materiale di base in modo che gli aspetti più "interessanti" dell'argomento possano essere raggiunti prima.

Assiomi SMSG (School Mathematics Study Group)

Negli anni '60 un nuovo insieme di assiomi per la geometria euclidea, adatto ai corsi di geometria delle scuole superiori, fu introdotto dallo School Mathematics Study Group (SMSG), come parte dei nuovi curricula di matematica . Questo insieme di assiomi segue il modello di Birkhoff dell'uso dei numeri reali per entrare rapidamente nei fondamenti geometrici. Tuttavia, mentre Birkhoff ha cercato di ridurre al minimo il numero di assiomi utilizzati e la maggior parte degli autori era preoccupata dell'indipendenza degli assiomi nei loro trattamenti, l'elenco degli assiomi SMSG è stato intenzionalmente reso ampio e ridondante per ragioni pedagogiche. L'SMSG ha prodotto solo un testo ciclostilato utilizzando questi assiomi, ma Edwin E. Moise , un membro dell'SMSG, ha scritto un testo di scuola superiore basato su questo sistema e un testo di livello universitario, Moise (1974) , con parte della ridondanza rimossa e modifiche apportate agli assiomi per un pubblico più sofisticato.

Ci sono otto termini indefiniti: punto , linea , piano , giace su , distanza , misura dell'angolo , area e volume . Ai 22 assiomi di questo sistema vengono dati nomi individuali per facilità di riferimento. Tra questi si trovano: il Postulato Righello, il Postulato Posizionamento Righe, il Postulato Separazione Piano, il Postulato Addizione Angolo, il Postulato Angolo Laterale (SAS), il Postulato Parallelo (nella forma di Playfair ), ed il Principio di Cavalieri .

Assiomi UCSMP (University of Chicago School Mathematics Project)

Sebbene gran parte del nuovo curriculum di matematica sia stato drasticamente modificato o abbandonato, la parte relativa alla geometria è rimasta relativamente stabile. I moderni libri di testo delle scuole superiori utilizzano sistemi di assiomi molto simili a quelli dell'MSG. Ad esempio, i testi prodotti dall'Università di Chicago School Mathematics Project (UCSMP) utilizzano un sistema che, oltre ad alcuni aggiornamenti del linguaggio, differisce principalmente dal sistema SMSG in quanto include alcuni concetti di trasformazione sotto il suo "Postulato di riflessione".

Ci sono solo tre termini indefiniti: punto , linea e piano . Ci sono otto "postulati", ma la maggior parte di questi ha diverse parti (che in questo sistema sono generalmente chiamate assunzioni ). Contando queste parti, ci sono 32 assiomi in questo sistema. Tra i postulati si possono trovare il postulato punto-linea-piano , il postulato della disuguaglianza del triangolo , i postulati per la distanza, la misurazione degli angoli, gli angoli corrispondenti, l'area e il volume, e il postulato della riflessione. Il postulato di riflessione viene utilizzato in sostituzione del postulato SAS del sistema SMSG.

Altri sistemi

Oswald Veblen (1880-1960) fornì un nuovo sistema di assiomi nel 1904 quando sostituì il concetto di "metà", come usato da Hilbert e Pasch, con un nuovo ordine primitivo . Ciò ha permesso a diversi termini primitivi usati da Hilbert di diventare entità definite, riducendo a due il numero delle nozioni primitive, punto e ordine .

Nel corso degli anni sono stati proposti molti altri sistemi assiomatici per la geometria euclidea. Un confronto tra molti di questi può essere trovato in una monografia del 1927 di Henry George Forder. Forder dà anche, combinando assiomi di sistemi diversi, il proprio trattamento basato sulle due nozioni primitive di punto e ordine . Fornisce anche una trattazione più astratta di uno dei sistemi di Pieri (dal 1909) basato sul punto e sulla congruenza dei primitivi .

A partire da Peano, c'è stato un parallelo filone di interesse tra i logici riguardo ai fondamenti assiomatici della geometria euclidea. Questo può essere visto, in parte, nella notazione usata per descrivere gli assiomi. Pieri sosteneva che pur scrivendo nel linguaggio tradizionale della geometria, pensava sempre nei termini della notazione logica introdotta da Peano, e usava quel formalismo per vedere come dimostrare le cose. Un tipico esempio di questo tipo di notazione si trova nel lavoro di EV Huntington (1874 – 1952) che, nel 1913, produsse una trattazione assiomatica della geometria euclidea tridimensionale basata sulle nozioni primitive di sfera e inclusione (una sfera giacente dentro un altro). Oltre alla notazione c'è anche interesse per la struttura logica della teoria della geometria. Alfred Tarski dimostrò che una parte della geometria, che chiamò geometria elementare , è una teoria logica del primo ordine (vedi gli assiomi di Tarski ).

I moderni trattamenti testuali dei fondamenti assiomatici della geometria euclidea seguono lo schema di HG Forder e Gilbert de B. Robinson che mescolano e abbinano assiomi di sistemi diversi per produrre accenti diversi. Venema (2006) è un moderno esempio di questo approccio.

Geometria non euclidea

Articolo principale: geometria non euclidea

In considerazione del ruolo che la matematica svolge nella scienza e delle implicazioni della conoscenza scientifica per tutte le nostre credenze, i cambiamenti rivoluzionari nella comprensione dell'uomo della natura della matematica non potevano che significare cambiamenti rivoluzionari nella sua comprensione della scienza, delle dottrine filosofiche, religiose ed etiche. credenze e, di fatto, tutte le discipline intellettuali.

Nella prima metà del diciannovesimo secolo ebbe luogo una rivoluzione nel campo della geometria che fu scientificamente importante quanto la rivoluzione copernicana in astronomia e filosoficamente profonda quanto la teoria darwiniana dell'evoluzione nel suo impatto sul nostro modo di pensare. Questa fu la conseguenza della scoperta della geometria non euclidea. Per oltre duemila anni, a partire dai tempi di Euclide, i postulati che fondavano la geometria furono considerati verità evidenti sullo spazio fisico. I geometri pensavano di dedurne altre verità più oscure, senza possibilità di errore. Questa visione è diventata insostenibile con lo sviluppo della geometria iperbolica. C'erano ora due sistemi di geometria incompatibili (e altri vennero dopo) che erano autoconsistenti e compatibili con il mondo fisico osservabile. "Da questo punto in poi, l'intera discussione sulla relazione tra geometria e spazio fisico è stata portata avanti in termini molto diversi." ( Moise 1974 , p. 388)

Per ottenere una geometria non euclidea, il postulato delle parallele (o un suo equivalente) deve essere sostituito dalla sua negazione . La negazione della forma dell'assioma di Playfair , poiché è un'affermazione composta (... ne esiste una e una sola...), può essere eseguita in due modi. O esisterà più di una retta per il punto parallelo alla retta data oppure non esisteranno rette per il punto parallelo alla retta data. Nel primo caso, sostituendo il postulato della parallela (o il suo equivalente) con l'enunciato "In un piano, dato un punto P e una retta ℓ non passante per P, esistono due rette per P che non si incontrano ℓ " e mantenendo tutte gli altri assiomi, produce geometria iperbolica . Il secondo caso non viene affrontato con la stessa facilità. La semplice sostituzione del postulato delle parallele con l'affermazione: "In un piano, dato un punto P e una retta ℓ non passante per P, tutte le rette passanti per P si incontrano ℓ ", non fornisce un insieme coerente di assiomi. Ciò segue poiché le linee parallele esistono nella geometria assoluta, ma questa affermazione direbbe che non ci sono linee parallele. Questo problema era noto (in forma diversa) a Khayyam, Saccheri e Lambert e fu la base per rifiutare quello che era noto come il "caso dell'angolo ottuso". Per ottenere un insieme coerente di assiomi che includa questo assioma sull'assenza di linee parallele, alcuni degli altri assiomi devono essere modificati. Le regolazioni da apportare dipendono dal sistema di assiomi utilizzato. Tra le altre cose, queste modifiche avranno l'effetto di modificare il secondo postulato di Euclide dall'affermazione che i segmenti di linea possono essere estesi indefinitamente all'affermazione che le linee sono illimitate. La geometria ellittica di Riemann emerge come la geometria più naturale che soddisfa questo assioma.

Fu Gauss a coniare il termine "geometria non euclidea". Si riferiva alla sua opera, inedita, che oggi chiamiamo geometria iperbolica . Diversi autori considerano ancora "geometria non euclidea" e "geometria iperbolica" come sinonimi. Nel 1871, Felix Klein , adattando una metrica discussa da Arthur Cayley nel 1852, fu in grado di portare le proprietà metriche in un ambiente proiettivo e fu così in grado di unificare i trattamenti della geometria iperbolica, euclidea ed ellittica sotto l'ombrello della geometria proiettiva . Klein è responsabile dei termini "iperbolico" ed "ellittico" (nel suo sistema chiamò la geometria euclidea "parabolica", termine che non è sopravvissuto alla prova del tempo ed è usato oggi solo in poche discipline). La sua influenza ha portato all'uso comune del termine "geometria non euclidea" per indicare la geometria "iperbolica" o "ellittica".

Ci sono alcuni matematici che estenderebbero l'elenco delle geometrie che dovrebbero essere chiamate "non euclidee" in vari modi. In altre discipline, in particolare la fisica matematica , dove l'influenza di Klein non era così forte, il termine "non euclideo" è spesso inteso come non euclideo.

Postulato parallelo di Euclide

Articolo principale: Postulato parallelo

Per duemila anni furono fatti molti tentativi per dimostrare il postulato del parallelo usando i primi quattro postulati di Euclide. Una possibile ragione per cui tale prova era così ricercata era che, a differenza dei primi quattro postulati, il postulato parallelo non è auto-evidente. Se l'ordine in cui erano elencati i postulati negli Elementi è significativo, indica che Euclide ha incluso questo postulato solo quando si è reso conto che non poteva dimostrarlo o procedere senza di esso. Furono fatti molti tentativi per dimostrare il quinto postulato dagli altri quattro, molti dei quali furono accettati come prove per lunghi periodi di tempo fino a quando l'errore non fu scoperto. Invariabilmente l'errore è stato quello di assumere qualche proprietà “ovvia” che si è rivelata equivalente al quinto postulato. Alla fine ci si rese conto che questo postulato potrebbe non essere dimostrabile dagli altri quattro. Secondo Trudeau (1987 , p. 154) questa opinione sul postulato parallelo (Postulato 5) appare in stampa:

Apparentemente il primo a farlo fu GS Klügel (1739-1812), uno studente di dottorato presso l'Università di Gottinga, con il sostegno del suo insegnante AG Kästner, nella sua dissertazione del 1763 Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio (Rassegna del più celebre Tentativi di dimostrazione della teoria dei paralleli). In questo lavoro Klügel ha esaminato 28 tentativi di dimostrare il Postulato 5 (compreso quello di Saccheri), li ha trovati tutti carenti e ha offerto l'opinione che il Postulato 5 è indimostrabile ed è supportato esclusivamente dal giudizio dei nostri sensi.

L'inizio del XIX secolo assisterà finalmente a passi decisivi nella creazione della geometria non euclidea. Intorno al 1813, Carl Friedrich Gauss e indipendentemente intorno al 1818, il professore di diritto tedesco Ferdinand Karl Schweikart elaborò le idee germinali della geometria non euclidea, ma nessuno dei due pubblicò alcun risultato. Poi, intorno al 1830, il matematico ungherese János Bolyai e il matematico russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky pubblicarono separatamente trattati su quella che oggi chiamiamo geometria iperbolica . Di conseguenza, la geometria iperbolica è stata chiamata geometria Bolyai-Lobachevskian, poiché entrambi i matematici, indipendenti l'uno dall'altro, sono gli autori fondamentali della geometria non euclidea. Gauss menzionò al padre di Bolyai, quando gli fu mostrato il lavoro del più giovane Bolyai, che aveva sviluppato una tale geometria diversi anni prima, anche se non pubblicò. Mentre Lobachevsky ha creato una geometria non euclidea negando il postulato delle parallele, Bolyai ha elaborato una geometria in cui sia la geometria euclidea che quella iperbolica sono possibili a seconda di un parametro k . Bolyai conclude il suo lavoro ricordando che non è possibile decidere attraverso il solo ragionamento matematico se la geometria dell'universo fisico è euclidea o non euclidea; questo è un compito delle scienze fisiche. L' indipendenza del postulato parallelo dagli altri assiomi di Euclide fu infine dimostrata da Eugenio Beltrami nel 1868.

I vari tentativi di dimostrazione del postulato delle parallele hanno prodotto un lungo elenco di teoremi equivalenti al postulato delle parallele. L'equivalenza qui significa che in presenza degli altri assiomi della geometria ciascuno di questi teoremi può essere assunto come vero e il postulato delle parallele può essere dimostrato da questo insieme alterato di assiomi. Questa non è la stessa cosa dell'equivalenza logica . In diversi insiemi di assiomi per la geometria euclidea, ognuno di questi può sostituire il postulato del parallelo euclideo. Il seguente elenco parziale indica alcuni di questi teoremi di interesse storico.

  1. Le rette parallele sono equidistanti. (Poseidonio, I secolo a.C.)
  2. Tutti i punti equidistanti da una data retta, su un dato lato di essa, costituiscono una retta. (Christoph Clavio, 1574)
  3. L'assioma di Playfair . In un piano esiste al massimo una retta che può essere tracciata parallela ad un'altra data per un punto esterno. (Proclo, V secolo, ma reso popolare da John Playfair, fine XVIII secolo)
  4. La somma degli angoli in ogni triangolo è 180° (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, inizio XIX secolo)
  5. Esiste un triangolo la cui somma degli angoli è di 180°. (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, inizio XIX secolo)
  6. Esiste una coppia di triangoli simili , ma non congruenti . (Gerolamo Saccheri, 1733)
  7. Ogni triangolo può essere circoscritto . (Adrien-Marie Legendre, Farkas Bolyai, inizio XIX secolo)
  8. Se tre angoli di un quadrilatero sono retti , anche il quarto angolo è retto. (Alexis-Claude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)
  9. Esiste un quadrilatero in cui tutti gli angoli sono retti. (Geralamo Saccheri, 1733)
  10. Postulato di Wallis . Su una data retta finita è sempre possibile costruire un triangolo simile a un dato triangolo. (John Wallis, 1663; Lazare-Nicholas-Marguerite Carnot, 1803; Adrien-Marie Legendre, 1824)
  11. Non esiste un limite superiore all'area di un triangolo. (Carl Friedrich Gauss, 1799)
  12. Gli angoli al vertice del quadrilatero Saccheri sono di 90°. (Geralamo Saccheri, 1733)
  13. assioma di Proclo . Se una linea interseca una delle due linee parallele, entrambe complanari alla linea originale, interseca anche l'altra. (Proclo, V secolo)

Geometria neutra (o assoluta)

Articolo principale: geometria assoluta

La geometria assoluta è una geometria basata su un sistema di assiomi costituito da tutti gli assiomi che danno la geometria euclidea ad eccezione del postulato del parallelo o di una delle sue alternative. Il termine è stato introdotto da János Bolyai nel 1832. A volte è indicato come geometria neutra , poiché è neutrale rispetto al postulato parallelo.

Relazione con altre geometrie

Negli Elementi di Euclide , le prime 28 proposizioni e la Proposizione I.31 evitano di usare il postulato delle parallele, e quindi sono teoremi validi in geometria assoluta. La Proposizione I.31 dimostra l'esistenza di rette parallele (per costruzione). Inoltre, si può dimostrare il teorema di Saccheri-Legendre , che afferma che la somma degli angoli in un triangolo è al massimo 180°.

I teoremi della geometria assoluta valgono sia nella geometria iperbolica che nella geometria euclidea .

La geometria assoluta è incompatibile con la geometria ellittica : nella geometria ellittica non ci sono affatto linee parallele, ma nella geometria assoluta esistono linee parallele. Inoltre, nella geometria ellittica, la somma degli angoli in qualsiasi triangolo è maggiore di 180°.

Incompletezza

Logicamente, gli assiomi non formano una teoria completa poiché si possono aggiungere assiomi extra indipendenti senza rendere incoerente il sistema di assiomi. Si può estendere la geometria assoluta aggiungendo diversi assiomi sul parallelismo e ottenere sistemi di assiomi incompatibili ma coerenti, dando origine alla geometria euclidea o iperbolica. Quindi ogni teorema di geometria assoluta è un teorema di geometria iperbolica e geometria euclidea. Tuttavia non è vero il contrario. Inoltre, la geometria assoluta non è una teoria categorica , poiché ha modelli che non sono isomorfi.

Geometria iperbolica

Articolo principale: geometria iperbolica

Nell'approccio assiomatico alla geometria iperbolica (noto anche come geometria Lobachevskian o geometria Bolyai-Lobachevskian), un assioma aggiuntivo viene aggiunto agli assiomi che danno la geometria assoluta . Il nuovo assioma è il postulato parallelo di Lobachevsky (noto anche come postulato caratteristico della geometria iperbolica ):

Per un punto non su una retta data esistono (nel piano determinato da questo punto e da questa retta) almeno due rette che non incontrano la retta data.

Con questa aggiunta, il sistema di assiomi è ora completo.

Sebbene il nuovo assioma affermi solo l'esistenza di due rette, si stabilisce facilmente che ci sono un numero infinito di rette passanti per il punto dato che non incontrano la retta data. Data questa pienezza, bisogna stare attenti alla terminologia in questo contesto, poiché il termine linea parallela non ha più il significato unico che ha nella geometria euclidea. In particolare, sia P un punto non su una retta data . Sia PA la perpendicolare tracciata da P a (incontro nel punto A ). Le linee attraverso P si dividono in due classi, quelle che si incontrano e quelle che non lo fanno. Il postulato caratteristico della geometria iperbolica dice che ci sono almeno due linee di quest'ultimo tipo. Delle linee che non si incontrano , ci sarà (su ciascun lato di PA ) una linea che forma l'angolo più piccolo con PA . A volte queste rette sono indicate come le prime rette passanti per P che non si incontrano e vengono chiamate variamente rette limitanti, asintotiche o parallele (quando si usa quest'ultimo termine, queste sono le uniche rette parallele). Tutte le altre rette passanti per P che non si incontrano sono dette rette non intersecanti o ultraparallele .

Poiché la geometria iperbolica e la geometria euclidea sono entrambe costruite sugli assiomi della geometria assoluta, condividono molte proprietà e proposizioni. Tuttavia, le conseguenze della sostituzione del postulato parallelo della geometria euclidea con il postulato caratteristico della geometria iperbolica possono essere drammatiche. Per citarne alcuni:

Quadrilatero di Lambert in geometria iperbolica
  • Un quadrilatero di Lambert è un quadrilatero che ha tre angoli retti. Il quarto angolo di un quadrilatero di Lambert è acuto se la geometria è iperbolica e un angolo retto se la geometria è euclidea. Inoltre, i rettangoli possono esistere (affermazione equivalente al postulato delle parallele) solo nella geometria euclidea.
  • Un quadrilatero Saccheri è un quadrilatero che ha due lati di uguale lunghezza, entrambi perpendicolari ad un lato chiamato base . Gli altri due angoli di un quadrilatero Saccheri sono detti angoli al vertice e hanno uguale misura. Gli angoli al vertice di un quadrilatero di Saccheri sono acuti se la geometria è iperbolica, e retti se la geometria è euclidea.
  • La somma delle misure degli angoli di un qualsiasi triangolo è minore di 180° se la geometria è iperbolica, e uguale a 180° se la geometria è euclidea. Il difetto di un triangolo è il valore numerico (180° – somma delle misure degli angoli del triangolo). Questo risultato può anche essere affermato come: il difetto dei triangoli nella geometria iperbolica è positivo e il difetto dei triangoli nella geometria euclidea è zero.
  • L' area di un triangolo in geometria iperbolica è delimitata mentre esistono triangoli con aree arbitrariamente grandi in geometria euclidea.
  • L'insieme dei punti sullo stesso lato e ugualmente lontani da una data retta formano essi stessi una linea nella geometria euclidea, ma non nella geometria iperbolica (formano un iperciclo .)

I sostenitori della posizione secondo cui la geometria euclidea è l'unica e unica geometria "vera" ricevettero una battuta d'arresto quando, in una memoria pubblicata nel 1868, "Teoria fondamentale degli spazi di curvatura costante", Eugenio Beltrami diede una prova astratta dell'equiconsistenza tra iperbolico ed euclideo geometria per qualsiasi dimensione. Ha realizzato questo introducendo diversi modelli di geometria non euclidea che ora sono conosciuti come il modello Beltrami-Klein , il modello del disco di Poincaré e il modello semipiano di Poincaré , insieme alle trasformazioni che li mettono in relazione. Per il modello semipiano Beltrami cita una nota di Liouville nel trattato di Monge sulla geometria differenziale . Beltrami ha anche mostrato che la geometria euclidea n- dimensionale è realizzata su un'orosfera dello  spazio iperbolico ( n +1)-dimensionale , quindi la relazione logica tra consistenza delle geometrie euclidee e non-euclidea è simmetrica.

Geometria ellittica

Articolo principale: geometria ellittica

Un altro modo per modificare il postulato euclideo delle parallele consiste nell'assumere che non ci siano rette parallele in un piano. A differenza della situazione con la geometria iperbolica , dove aggiungiamo solo un nuovo assioma, non possiamo ottenere un sistema coerente aggiungendo questa affermazione come un nuovo assioma agli assiomi della geometria assoluta . Ciò segue poiché le linee parallele esistono dimostrabilmente in geometria assoluta. Altri assiomi devono essere cambiati.

Partendo dagli assiomi di Hilbert, le modifiche necessarie comportano la rimozione dei quattro assiomi dell'ordine di Hilbert e la loro sostituzione con questi sette assiomi di separazione relativi a una nuova relazione indefinita.

Esiste una relazione indefinita ( primitiva ) tra quattro punti, A , B , C e D indicati con ( A , C | B , D ) e letti come " A e C separano B e D ", che soddisfa questi assiomi:

  1. Se ( A , B | C , D ), allora i punti A , B , C e D sono collineari e distinti.
  2. Se ( A , B | C , D ), allora ( C , D | A , B ) e ( B , A | D , C ).
  3. Se ( A , B | C , D ), allora no ( A , C | B , D ).
  4. Se i punti A , B , C e D sono collineari e distinti allora ( A , B | C , D ) o ( A , C | B , D ) o ( A , D | B , C ).
  5. Se i punti A , B e C sono collineari e distinti, allora esiste un punto D tale che ( A , B | C , D ).
  6. Per ogni cinque punti collineari distinti A , B , C , D ed E , se ( A , B | D , E ), allora o ( A , B | C , D ) o ( A , B | C , E ).
  7. Le prospettive preservano la separazione.

Poiché la nozione di Hilbert di "metà" è stata rimossa, i termini che sono stati definiti utilizzando quel concetto devono essere ridefiniti. Quindi, un segmento di linea AB definito come i punti A e B e tutti i punti tra A e B in geometria assoluta, deve essere riformulato. Un segmento di linea in questa nuova geometria è determinata da tre punti allineati A , B e C ed è composto da questi tre punti e tutti i punti non separato da B da A e C . Ci sono ulteriori conseguenze. Poiché due punti non determinano un segmento di linea in modo univoco, tre punti non collineari non determinano un triangolo univoco e la definizione di triangolo deve essere riformulata.

Una volta ridefinite queste nozioni, gli altri assiomi della geometria assoluta (incidenza, congruenza e continuità) acquistano un senso e vengono lasciati soli. Insieme al nuovo assioma sulla non esistenza di rette parallele abbiamo un sistema coerente di assiomi che danno una nuova geometria. La geometria che ne risulta è detta (piano) Geometria ellittica .

Quadrilateri di Saccheri in geometria euclidea, ellittica e iperbolica

Anche se la geometria ellittica non è un'estensione della geometria assoluta (come lo sono la geometria euclidea e iperbolica), c'è una certa "simmetria" nelle proposizioni delle tre geometrie che riflette una connessione più profonda che è stata osservata da Felix Klein. Alcune delle proposte che esibiscono questa proprietà sono:

  • Il quarto angolo di un quadrilatero di Lambert è un angolo ottuso in geometria ellittica.
  • Gli angoli al vertice di un quadrilatero Saccheri sono ottusi in geometria ellittica.
  • La somma delle misure degli angoli di un qualsiasi triangolo è maggiore di 180° se la geometria è ellittica. Cioè, il difetto di un triangolo è negativo.
  • Tutte le rette perpendicolari ad una data retta si incontrano in un punto comune nella geometria ellittica, chiamato polo della retta. Nella geometria iperbolica queste rette sono tra loro non intersecanti, mentre nella geometria euclidea sono tra loro parallele.

Altri risultati, come il teorema dell'angolo esterno , sottolineano chiaramente la differenza tra l'ellittica e le geometrie che sono estensioni della geometria assoluta.

Geometria sferica

Articolo principale: geometria sferica

Altre geometrie

Geometria proiettiva

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Geometria affine

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Geometria ordinata

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La geometria assoluta è un'estensione della geometria ordinata e quindi tutti i teoremi nella geometria ordinata valgono nella geometria assoluta. Non è vero il contrario. La geometria assoluta assume i primi quattro assiomi di Euclide (o loro equivalenti), da contrapporre alla geometria affine , che non assume il terzo e il quarto assioma di Euclide. La geometria ordinata è un fondamento comune della geometria assoluta e affine.

Geometria finita

Articolo principale: geometria finita

Guarda anche

Appunti

Riferimenti

(3 voll.): ISBN  0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN  0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN  0-486-60090-4 (vol. 3).

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